高二数列和基本不等式常见题型.doc

一、最全的数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。
◆1、直接法又称观察法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：
………
◆2、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.
(注意：求完后一定要考虑合并通项)
◆3、累加或累乘法
对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
例4. 若在数列中，，，求通项。
解析：由得，所以
，，…，，
将以上各式相加得：，又
所以 =
◆4、待定系数法：
一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数
a+k=p（ a+k）
二、一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
例1、已知，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得（利用常用公式）
＝＝＝1－
练习：求的和。
解：

由等差数列的求和公式得
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
例2求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设……………………….②（设制错位）
①－②得（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
练习：求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②
①－②得
（错位相减）

∴
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
例3求的值
解：设………….①
将①式右边倒序得
…………..②（倒序）
又因为
①+②得（倒序相加）
＝89
∴S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例4、求和:

解:原式=
==
练习：求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝（分组求和）
当时，＝
练习：求数列的前n项和。
解：
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）
例5求数列的前n项和.
解：设（裂项）
则（裂项求和）
＝
＝

练习:
解：
在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质（找特殊性质项）
和对数的运算性质得
（合并求和）
＝
＝
＝10
六、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
例6、求5，55，555，…，的前n项和。
解：∵an=59(10n-1)
∴Sn=59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n-1)
=59[（10+102+103+……+10n）-n]
=（10n＋1-9n-10）
练习：求数列：1，，，的前n项和。
解：　=
=
（1）（2）
四、利用基本不等式求最值的技巧
在运用基本不等式与或其变式解题时,要注意如下技巧
◆1：配系数凑常数
【例1】 已知，求的最大值.
答案时，.
◆2:添加项凑常数
【例2】已知，求的最小值.
答案：当且仅当即.
◆3:拆项配凑法
【例3】已知，求的最小值.
【解】由于,所以,
当且仅当即时，.
◆4:常数代换法（如用”1”代换）
◆5:由等式转化为不等式
【例9】已知正数满足,求的取值范围.
【分析】由于条件式含有,它们都在式中出现,故可直接运用基本不等式转化为待求式的关系式后再求.
【解】利用基本不等式得,令,则得,所以,由于,所以即,故的取值范围是.