江苏省高中数学学案：集合(苏教版必修1).doc

第7课时 集合复习
【学习目标】
1．掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题；
2．掌握集合的包含关系（子集、真子集）；
3．掌握集合的运算(交、并、补)；
4．解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.
【课前导学】
【复习回顾】
1．判断下列命题的正误：
①全集只有一个；
②“正整数集”的补集是“负整数集”；
③空集没有子集；
④任一集合至少有两个子集；
⑤若，则；
⑥若，则A、B之中至少有一个为空集；
解：只有⑤ √，其余均X
2．设集合,,且，则实数的取值范围是 ．
3．设，集合，．若，求的值．
解：，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或．

【课堂活动】
一、建构数学：
本单元主要介绍了以下三个问题：
1．集合的含义与特征；
2．集合的表示与转化；
3．集合的基本运算．
（一）集合的含义与表示(含分类)
1．具有共同特征的对象的全体,称一个集合；
2．集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类；
3．集合的表示
（二）集合表示法间的转化

说明：高中数学解题的关键也是着“四化” ．
（三）集合的基本运算
1．子集：A B定义为，对任意x∈A，有x∈B,表现图为A在B中包含着；
2．集合运算比较：
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）S
A
记作，即
CSA=
韦
恩
图
示

S
A

性

质
AA=A
AΦ=Φ
AB=BA
ABA
ABB
AA=A
AΦ=A
AB=BA
ABＡ
ABB
(CuA) (CuB)
= Cu (AB)
(CuA) (CuB)
= Cu(AB)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．
容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．
二、应用数学：
1、注意集合中代表元素
“代表元素”实质是认识和区别集合的核心．代表元素不同，即使同一个表达式，所表示的集合也不同．例如A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},D={y=x2}.
例1 P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},S={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1}.则相等的集合有
．
答案：Q=N
【变式】Q S=？

2、注意集合中元素的互异性
注意集合中元素的互异性，计算出的结果都必须代入到原集合当中，检验是否违反互异性的原则．例如对于数集{2a,a2-a}，实数a的取值范围是_______________.且
例2 (1)已知集合A={1,4,a},B={1,a2},且BA,求集合A和集合B；
(2)已知x∈R,A={-3,x2,x+1},B={x-3,2x-1,x2+1},如果={-3}，求．
解：（1）当a= 4时，有a=2或-2 ，经检验符合题意，
此时A={1,2,4}或A={1，-2,4}, B={1,4}；
当a=a 时，有a= 1或0 ，经检验a=0 符合题意,此时A={0,1,4},B={0,1}．
（2）由={-3}有，x-3= -3或2x-1= -3或x2+1= -3故有x=0 或-1
当x=0时，A={-3,0,1},B={-3，-1,1}，不合题意={-3}；
当x= -1 时，A={-3,1,0} ,B ={-4，-3,2}，符合题意．
综上所述，x= -1.
【解后反思】
1、注意分类讨论；
2、注意检验题意和集合中元素的互异性．

3、准确掌握元素和集合、集合和集合的关系
例3 (1)下列关系式:①;②N∈R;③高一(1)班学生的笔∈{x|x是高一(1)班学生};④3.14∈{x∈R|x-π>0}.其中正确命题的序号是 ．①
(2) ①1;②{1}③;④{0};⑤{0},上述五个关系式中错误的个数是 ．2个
4、注意空集特殊性和两重性
空集是任意集合的子集，即，是任一非空集合的真子集，即A(A≠).有三种情况：,AB.另外还要分清楚,的关系．
例4 下列五个命题:①空集没有子集;②空集是任何一个集合真子集;③④任何一个集合必有两个或两个以上的子集;⑤若，则A、B之中至少有一个为空集；其中真命题的个数 ．0个
例5 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},若，
且A∩C=，求a的值．
解：B={2,3} ,C={2，-4} 由题意有3A, 2A，
把3代入A对应方程有a-3a -10 =0 解方程有a=5 或 -2.，
经检验a=-2（a=5舍去）．

例6 已知A={x|ax-1=0},B={x|x2-5x+6=0},若=A,求a的值，并确定集合A．
解：=A, AB 而 B={2,3}，
当a = 0 时，A = ，符合题意；
当a=时，A={2}，符合题意；当a=时，A={3 }，符合题意．
【解后反思】注意空集的特殊性，空集是任意集合的子集，即．
例7 已知A={x|x2+(m+2)x+1=0},且AR+=.试求实数m的取值范围．
解：因为AR+=.
若，则方程无实数解，
所以， - 4< m<0;
若，则方程有非正实数根，
因为，所以方程有两个负根，
所以解得，
综上可知，实数m的取值范围是m > - 4.
【解后反思】注意空集的特殊性及分类讨论思想的应用．

5、 综合运用
例8 已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}， B={x|x2+(a-1)x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.
分析：此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则
只有一种情况，即三个集合全是空集.
【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，
即

解此不等式组，得
∴所求实数a的取值范围为：a≤,或a≥-1.
点评:采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求
出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.
三、理解数学：
1．已知全集U=R，集合A={x|x2-x-6<0}，B={x|x2+2x-8>0}，C={x|x2-4ax+3a2<0}．
(1)试求a的取值范围，使A∩BC；
(2)试求a的取值范围，使．
分析：U=R，A=（-2，3），B=（-，-4）∪（2，+），
故A∩B=（2，3），（-，-2]∪[3，+），[-4，2]，
∴=[-4，-2]，
又x2-4ax+3a2<0即(x-3a)(x-a)<0，
∴当a<0时，C=（3a，a），
当a=0时，C=，
当a>0时，C=（a，3a），
(1) 要使A∩BC，集合数轴知， 解得 1≤a≤2；
(2) 类似地，要使必有
， 解得 ．
【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.
点评:①研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便
于分析与转化；
②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则.
2．(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若,求实数a的取值范围；
(2)已知集合A={x|ax2-3x+2=0},
①若=，求的取值范围；
②若中只有一个元素，求的值并写出这个集合的元素；
③若中至多有一个元素，求的取值范围；
④若中有两个元素，求的取值范围．
(3)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+2=0},若，求实数a的取值范围．
解：(1) 而 B={ 1,2 }
当a = 0 时，B = 符合题意；
当a=时，A={1}符合题意；当a=1时，A={2 }符合题意；
(2)(3)略
【解后反思】注意对方程最高次项系数是否为零的讨论．
【课后提升】
1．下列命题正确的有 个．
（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集．
答案：
2．若且，则 ．
答案：
3．已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ．
答案：
4．下列表述中正确的是 （只填序号）：⑴若 ；⑵若；⑶ ；⑷ ．
答案：⑴、⑵、⑷
5．已知，则集合中元素x所应满足的条件为 ．
答案：
6．满足的集合的个数为_____________．
答案：7
7．某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化学都参加的有x人，则x的取值范围是 ．
答案：
8．设全集，，则= ．
答案：
9．集合，，
满足，实数值为 ．
答案：
10．设 ．
答案：
11．设，集合，；若， = ．
答案：或
12．已知，，,则的取值范围为 ．
答案：
13．设是集合A中元素的一种运算，如果对于任意的，都有，则称运算对集合A是封闭的，若，则对集合M不封闭的运算是 （选填：加法、减法、乘法、除法）．
答案：除法
14．设全集,集合，,
那么等于________________．
答案：
二、解答题：
15 ．已知集合,,,
且,求的取值范围．
解：，当时，，
而 则 这是矛盾的；
当时，，而，
则；
当时，，而，
则； ∴．

16．已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2－4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A,
求m的取值范围.
解：由已知A={x|x2+3x+2}得得 .（1）∵A非空 ，∴B=；（2）∵A={x|x}∴另一方面，，于是上面（2）不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B=.由已知B=结合B=,得对一切x恒成立，于是，有的取值范围是．

17．，试求实数的取值范围，使．
解：依题意得：

（1）当，；
（2） 当,
要使，则，解得：；
（3）当,
，不符合题设．
综合上述得：．

18．已知集合A＝{(x, y)|y＝－x2＋mx－1},B＝{(x, y)|x＋y＝3, 0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，求实数m的取值范围．
解：由题意， 得
x2－(m＋1)x＋4＝0在[0，3]上有且仅有一解
①△＝0时方程有相等实根且在[0，3]上，即
　 ∴m＝3
②△＞0时，只有一根在[0，3]上，两根之积为4＞0，
则32－(m＋1)×3＋4＜0，∴m＞
所以，m的取值范围是m＝3或m＞．
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