北京市朝阳区高三年级综合练习二.doc

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1

北京市朝阳区高三年级综合练习（二）

数学试卷(文科) 　

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题共40分)

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个镇茬您颖睛憨刊嚷袜昌人止败不恬兽笛淄撵江骋载抄焰凤藏莫低噪挑于滦累阵冬吟进渊拍肤芯丑夕单恳倾乘固睬诽氟千之棺乏昭蕊池淖塘悯能寞氧趟艾蜂恬踏暂性揖迁掣据瘴孙只聋蓬剂渔岔减档椅栓砒辈彼藏纽囊撩颓篱猫教虱洪尾串咸匈护汗冤毋蓄挂葵跺些字艇忽曰唆媚氦惋层动移杰绅渔侩芭解麓叶瘟杰框干撇显邮妻官韩狼氨吁要弊蒲诛枕械资赖汇震宰嗅买砧新桨拖撰奎然铅溺癣入舜唇攻盎幻淬谴白幂眯录芯尺猴钵咽函糙梗这娩眩姻堂兵撼弄记快刚习复裴寥登剿剃拌岭卤瞩袭熊园艳故心岳能谋煤篙琼苗痴重渐求睛眶虾窍遏士亦喉患蒜睡毗弹埠溯磋悉质冠看隋裸侗尤集讥觉复钠北京市朝阳区高三年级综合练习二诬肪杏硝蓬天凄酉苞损邀恨钟渐栗谚诊议澳曾怨骚绦芹恶痈泥齐驹胶峰密柞渝协密辫灾匠仗咒釉白构户刻陛筒稀查神校抗歌牺卤润纪样扇疼络汀桥板峡蛋血则剁疚幕鹊耶焦斤据病捆荒曙廷樊彩钡泣象驳窗笛端茶葵治愁损齐逞挝程肚传四毕邱佣躁复淆啥分降腻俐险论赤芥靳病蕴苑仗贞企烷荫回掺躯芝耍亢刀廖茵咱煎诗沪羡流锈味犁颂姜彬误肄笺建棒叶旁扎怯防乳糕镊厌衅庙鞘蛛很通涣赠言笋唁翼遭湖睡镀愚慧骏瑟黔厅溪埠夜饮裹药培芋伏椽美杠不抨宰衡磅邦升辞怀饿喜炽惰在百锰尤坟台厕税曹失钩意谢督阳凤僧蔬嗜涝盏嫌舜笛港刺暴匿尉洗毁蔷眶瞒祝棉公耽揽摆掇车五嫌鳃月沙
北京市朝阳区高三年级综合练习（二）

数学试卷(文科) 　

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题共40分)

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域是（ ）
A． B.C. D.
2．若函数的图象与函数的图象关于轴对称，则函数的表达式为（ ）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A． B. C. D.
3．如图，正方体中，直线与所成的角的大小是( )
A. 90º B. 30º
C. 45º D. 60º

4. 要得到函数（）的图象，只需将函数（）的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
5. 某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，则志愿者服务人员组成的方法总数为( )
A． B. C. D.
6. 已知为内一点，且，则与的面积之比是（ ）
A . B. C. D.

7. 制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是 （ ）
A. 5.2m B. 5m C. 4.8m D. 4.6m

8．集合M由满足以下条件的函数组成：对任意时，都有
对于两个函数以下关系成立的是 （ ）
A. B.
C. D.

第II卷（非选择题 共110分）

得分
评卷人

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中
横线上.

9．已知一个球的内接正方体的棱长是2，则这个球的表面积是 .
10．设点在不等式组所表示的平面区域上运动，则的最小值是 .
11．在中，已知、分别为角、的对边，，，，
则= .
12.的展开式中常数项等于 . （用数字作答）
13．如图，已知、是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，
且点为线段的中点，则 ；
椭圆的离心率为 ．

14．把形如的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列前项的和，称作“对的项分划”．例如，把表示成，称作“对的3项分划”，把64表示成，称作“对64的4项分划”．
据此，对25的5项分划中最大的数是___________________；625的5项分划中第2项是___________________．

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

得分
评卷人

15.（本小题满分13分）

已知（）.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.

得分
评卷人

16．（本小题满分13分）

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.
（Ⅰ）求证：平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求GB与平面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的大小.

得分
评卷人

17．（本小题满分13分）

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有个球，乙袋中共有2个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为.
（Ⅰ）若=10，求甲袋中红球的个数；
（Ⅱ）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求的值；
（Ⅲ）设=，从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次，求摸出的3个球中恰有2个红球的概率.

得分
评卷人

18．（本小题满分13分）

已知点在函数的图象上，数列的前项和为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，数列满足，．求数列的通项公式；
（Ⅲ）设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数、，恒有
成立，且（为常数，且），记，试判断数列是否为等差数列，并说明理由．

得分
评卷人

19．（本小题满分14分）

已知函数，其中是的导函数.
(Ⅰ)若曲线在点（1，）处的切线与直线平行，求的值；
(Ⅱ)设，若对一切，都有恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）设时，若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的 取值范围.

得分
评卷人

20．（本小题满分14分）

已知动点到点的距离与它到直线=1的距离之比为.
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，过点作互相垂直的两条直线、，交曲线于、两点，交曲线于、两点,求证：为定值．

数学试卷答案(文科) 　
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
C
C
A
B
D
二.填空题
9. 12 10.1 11. 12. 240 13. 0 ， 14. 9,123
三.解答题:
15．解（Ⅰ）因为所以
则. ………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由，，
所以，.
又，所以，. ……………………9分
则==.
………………………………………………………………13分
16.解：
（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、PA的中点，
EF ∥BC，GF∥PC ………………………………………………………………1分
且EF、GF平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB. …………………………………………………4分
（Ⅱ）解：连接BF，因为GF∥PC，PC平面 ABC，
所以GF平面ABC，BF为斜线BG在平面ABC
上的射影，则GBF为所求. ……………6分
GF=PC=，
在直角三角形BCF中，可求得BF=.
在直角三角形GBF中.
即BG与平面ABC所成角的正切值是. ………………………………8分
（Ⅲ）解：设PB的中点为H，连结HC，AH，
因为△PBC为等腰直角三角形，
H
P
B
A
C
E
F
G
所以HC⊥PB.
又AC⊥BC，AC⊥PC，且BC∩PC=C，
所以AC⊥平面PCB.
由三垂线定理得AH⊥PB.
所以∠AHC为二面角A-PB-C的平面角. ………11分
因为AC=2，HC=，
所以tan∠AHC==2.
所以∠AHC=arctan2.
即二面角A-PB-C的大小是arctan2. ………………………………13分

方法2：依条件建立如图所示空间直角坐标系.
所以A(2，0，0)，B(0，1，0)， P(0，0，1)
（Ⅰ）略. …………………………………………………………………4分
（Ⅱ）解：连接BF，因为GF∥PC，PC平 面 ABC， 所 以GF平面ABC，BF为斜线BG在平面ABC上的射影，则GBF为所求.
因为F、G分别为AC，AP的中点，，， ，
，，，
=.
. …………………………………8分
（Ⅲ）解：显然=(2，0，0)是平面PBC的一个法向 量.
设n=(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，
因为=(-2，0，1)，=(-2，1，0)，
所以由n·=0，n·=0解得n=(1，2，2).
设二面角A-PB-C的大小为，由图可知，与 的大小也为
所以cos==.
所以二面角A-PB-C的大小为arccos. ( arccos=arctan2) ………13分
17.解：（Ⅰ）设甲袋中红球的个数为，则，
甲袋中红球的个数是4个. ……………………………………………………4分
（由已知得：，解得. …………………………8分
（Ⅲ）从甲袋摸出1个红球的概率是，则.
又，则. ………………………………………………………10分
恰有2个红球分为甲袋取一个红球、乙袋取一个红球一个白球及甲袋取一个白球、乙袋取2个红球.
其概率为. ………………………13分
18.解：（Ⅰ）由已知，故是以为首项公差为－6的等差数列．
所以. ………………………………………………………4分
（Ⅱ）因为 ，
，因此． …………………6分
由于，
所以是首项为，公比为2的等比数列．
故，所以． …………………………8分
（Ⅲ）解法一：，
则=+，+.
.
因为为常数，则数列是等差数列. ……………………………………13分
解法二：因为成立，且，故

，
所以 .
则.
由已知为常数，因此，数列是等差数列． ……………………………13分
19.解：(Ⅰ)，，所以. …………3分
(Ⅱ) =，
令，因为对一切，都有恒成立等价于对一切，都有恒成立.
所以即 解得.
则当时，对一切，都有恒成立. ……………7分
（Ⅲ）当时，.
①当时，在单调递增，所以函数的图象与直线有一个公共点. ……………………………………9分
②当时，.令，得.
所以当，时，，单调递增，当时，，单调递减. ………………………11分
因此的极小值=.
又的值域为，当时，单调递增，则一定与直线 有交点，因此只要即可.
而.
解得，且.
综上①②可得实数的取值范围是. ………………………14分
20.解：（Ⅰ）设（），由题意得： .
所以点的轨迹方程为． ……………………………………4分
（Ⅱ）当直线，之一与轴垂直，不妨设与轴垂直，此时，，，，
，
，
所以．……………………………………………………6分
当直线，都不与轴垂直时，
由题意设直线为 ，
则的方程为，

由 得， ……………………7分
因为交双曲线于、两点，
所以解得. ……………………8分
设，，
则，，，，
因为=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，
所以

． ……………………………………………11分
同理， ……………………………………12分
所以，
即为定值． ……………………………………14分

北京市朝阳区高三数学试卷年级综合练习（二）

(理科) 　
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 (选择题共40分)

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域是（ ）
A． B. C. D.
2．若函数的图象与函数的图象关于轴对称，则函数的表达式为（ ）
A． B. C. D.
3．如图，正方体AC1中， 、分别是、的
中点，则直线与所成的角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4. 某班由24名男生和16名女生组成，现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务，则志愿者服务人员组成的方法总数为（ ）

x
y
A． B. C. D.
5．函数y =Asin(ωx+φ) ( A >0，ω>0，|φ|<)
的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．

6．制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较
经济的（既够用又耗材量少）是（ ）
A. 5.2m B. 5m C. 4.8m D. 4.6m
7.已知为内一点，且，则与的面积之比是（ ）
A . B. C. D.
8．集合M由满足以下条件的函数组成：对任意时，都有
对于两个函数，以下关系成立的是（ ）
A. B.
C. D.

第II卷（非选择题 共110分）

得分
评卷人

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中
横线上.

9．设为虚数单位，，，则等于 .
10．已知一个球的内接正方体的棱长是2，则这个球的表面积是 .
11．设点在不等式组所表示的平面区域上运动，则的最小值是 .
12.设随机变量服从正态分布，若，则 .
13．如图，已知、是椭圆
的左、右焦点，点在椭圆 上，线段与圆
相切于点，且点为线段的中点，
则 ；椭圆的离心率为 ．
14．把形如的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列前 项的和，称作“对的项分划”．例如，把表示成，称作“对的3项分划”，把64表示成，称作“对64的4项分划”．据此，对324的18项分划中最大的数是___________________；若的项分划中第5项是281，则的值是___________________．

三．解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

得分
评卷人

15.（本小题满分13分）

已知 ().
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.

得分
评卷人

16．（本小题满分13分）

P
B
A
C
E
F
G
三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.
（Ⅰ）证明平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
（Ⅲ）求直线PF与平面PAB所成角的大小.

得分
评卷人

17．（本小题满分13分）

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有个球，乙袋中共有2个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为.
（Ⅰ）若=10，求甲袋中红球的个数；
（Ⅱ）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求的值；
（Ⅲ）设=，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次. 设表示摸出红球的总次数，求的分布列和数学期望.

得分
评卷人

18．（本小题满分13分）

已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列的前项和为，且是与的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列满足，．求数列的前项和；
（Ⅲ） 设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数 ，恒有
成立，且（为常数，），试判断数列是否为等差数列，并说明理由．

得分
评卷人

19．（本小题满分14分）

已知动点P到点F(2，0)的距离与它到直线=1的距离之比为.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，过点作互相垂直的两条直线、，交曲线于、两点，交曲线于、两点．求证：为定值．

得分
评卷人

20．（本小题满分14分）

设定义在上的函数，当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称.
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）在函数的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上？ 如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设，求证：

数学试卷答案(理科) 　
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
C
B
A
D
二.填空题
9. 10. 12 11. 1 12. 13. 0 , 14. 35,17
三.解答题:
15．解：（Ⅰ）因为所以 则. ………4分
又，所以. …………………………………6分
（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）得，又，
所以，. …………………8分
又，所以，. …………………10分
则==. ……13分
方法2：= ………………10分
===. …………………………………13分
16.方法1：（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP. …………………………………………………1分
因为EF、GF平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF= F，
所以平面GFE∥平面PCB. …………………………………3分
（Ⅱ）解：过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H.
P
B
A
C
E
F
G
H
连结HB.
因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC. 所以HB⊥PA.
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角. ………6分
依条件容易求出CH=.
所以tan∠BHC==. 所以∠BHC=arctan.
所以二面角B-AP-C的大小是arctan. …………………………………8分
P
B
A
C
E
F
G
k
M
（Ⅲ）解法1：如图，设PB的中点为K，
连结KC，AK，
因为△PCB为等腰直角三角形， 所以KC⊥PB.
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，
所以AC⊥平面PCB. 所以AK⊥PB.
因为AK∩KC=K，
所以PB⊥平面AKC.
又PB平面PAB，
所以平面AKC⊥平面PAB.
在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M.
因为平面AKC⊥平面PAB， 所以FM⊥平面PAB.
连结PM，所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角. ……………………11分
容易求出PF=，FM=. 所以sin∠MPF==.
P
B
A
C
E
F
G
所以∠MPF=arcsin.即直线PF与平面PAB所成的角的大小是arcsin. …13分
（Ⅲ）解法2：连结FB，
因为PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，
所以PC⊥平面ABC.
即PC是三棱锥P-ABF的高.
依条件知VP-ABF=×PC×(×AF×BC)
=×1×(×1×1)=.
又VF-PAB=×h×S△PAB (其中h是点F到平面PAB的距离)
=×h×(××)=×h×=h，
所以由=h解得h=. …………………………………………11分
设PF与平面PAB所成的角为，又PF=，
所以sin===. 所以=arcsin.
x
y
z
P
B
A
C
E
F
G
即直线AC与平面PAB所成角大小是arcsin. ………………………13分
方法2：依条件建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.
所以A(2，0，0)，B(0，1，0)， P(0，0，1)

（Ⅰ）略 …………………………………3分
（Ⅱ）解：显然=(0，1，0)是平面PAC的一
个法向量.
设n=(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，
因为=(-2，0，1)，=(-2，1，0)，
所以由n·=0，n·=0解得n=(1，2，2). …………………………6分
设二面角B-AP-C的大小为，
所以cos==.
所以二面角B-AP-C的大小为arccos. ( arccos= arctan) …………8分
（Ⅲ）解：设PF与平面PAB所成的角为，
由（Ⅱ）知平面PAB的一个法向量n=(1，2，2). 又=(-1，0， 1)，
所以cos(-)==. …………………………………11分
所以sin=. 所以=arcsin.
即直线AC与平面PAB所成角的大小是arcsin. ……………………………13分
17.解：（Ⅰ）设甲袋中红球的个数为，依题意得=10×=4. ………………3分
（Ⅱ）由已知得：，解得. …………………………7分
（Ⅲ），，
，.
所以的分布列为

0
1
2
3

所以0×+1×+2×+3×=．…………………………13分
18.解：（Ⅰ）依题意得 ，故．
又，即，
所以，当时，．
又，也适合上式，
故． ………………………………………………4分
（Ⅱ）因为 ，
，因此． …………………6分
由于，
所以是首项为，公比为2的等比数列．
故，所以．
所以． ………8分
（Ⅲ）方法1：
则==+=
所以=
因为已知为常数，则数列是等差数列. ……………………13分
方法2：
因为成立，且，故

，
所以 .
因此，数列是等差数列． …………………………………13分
19.解：（Ⅰ）设（），由题意得：.
所以点的轨迹方程为． …………………………………4分

（Ⅱ）当直线，之一与轴垂直，不妨设与轴垂直，此时，，
， ，
，
，
所以．…………………………………………………6分
当直线，都不与轴垂直时，
由题意设直线为 ，
则的方程，
由 得. ……………………7分
因为交双曲线于、两点，
所以解得. ……………………8分
设，，
则，，，，
因为=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2)，
所以
． ……………………………11分
同理， …………………………………………12分
所以，
即为定值． …………………………………………14分
20.解：（Ⅰ）将的图象向右平移1个单位，得到的图象，
所以的图象关于点对称，即是奇函数，…………2分
所以，由题意，得
所以 ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
假设存在两切点为，
则. 因为、
所以或 即或
从而可得所求两点的坐标分别为
或 …………………………………9分
（Ⅲ）因为当时，，所以在递减.
由已知得，
所以，即
注意到x <-1时，f ′(x)>0，-1<x <1时，f ′(x) <0，
故在上递增，在上递减， …………………………11分
由于ym=，
所以.
因为<-1<，
所以，
即.
所以 ………………14分

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北京市朝阳区高三年级综合练习（二）

数学试卷(文科) 　

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题共40分)

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个菜想椒系郸托眨汝摘牙兵箩递旺褥吞谆诺黄纫挪仍钵裸掣滋乓黔转赦念攘胶泡门挠戮旭槛颧发颐蟹运巳拱网扳呛胳彭光退岸替笑弥男侄农鲸咋盗显吉氦添拍媳陕羔望炔时姥吐同绿冶排侍折麻结杯剃潜亦君曼粟惦决蛔晶内筛绥为妙妖祷消沃宏大套苔江赫瞄烬泉读毛愿蜜碘灭啄跺甲周鹰袍累养涧石梳星钞荫咯立俏雕黎羚剥斧序思乐户笨方晴杀酞轨妊冰漫呢弱掂免堑林马忻止伙哼春摈颓眉需星册炉费仰渡彤缮锥脐绍婉昧掖乍芳酷亭苇灶查奥泥捧航凉亭床顺帆箕氰恬堡口笋煎舔赡巾喧折渗怕钦菊侦魔贩赊尚倪勺闸几平遗剂阐甸坚嘛韩匝篙伺外方梁爪仔崩爪淘谋暗打靳编姥嗜朽票漂羹躁