第25届北京市高中力学竞赛决赛试卷.doc

第25届北京市高中力学竞赛决赛试卷
（北京四中杯）
(全卷满分150分） 2012年5月20日9:30~11:30
题 号
一
（填空）
二(计算题）
总 分
7
8
9
10
11
分 数

阅卷人

复查人

得 分
一、填空题（6小题，每小题8分，共48分）
1。 一跳远运动员在地球表面跳远,起跳时速度为10m/s，能跳出7。5m远。 已知月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6，如果他在月球表面跳远，起跳速度大小也是10m/s，他跳远的记录将是 m。
2。 一举重运动员能举起100kg的重物，他对一根羽毛能施加1000N的力吗?答: ，理由是
。
3。 嫦娥飞船绕月球做匀速圆周运动，测出其周期为T，则飞船距月球表面的距离为h,可否不计地球引力而近似表述为，其中M是月球的质量，R是月球半径。 答： ，理由是
。
v/m•s-1
t/s
图1
4. 据北京晚报2012年3月17日和参考消息3月18日报道，奥地利勇士鲍姆加持纳从2.18万米高空的氦气球吊篮中跃下,下落的最高速度到163m/s.下落约3分43秒，距地面2400m高处打开伞,整个下落到地面的时间持续8分8秒。 试根据报纸报道和你的分析,在图1中比较准确地画出奥地利勇士下落到地面过程的v-t图线.
5。 下雨天,假设无风，雨滴以速度υ1竖直下落，雨滴在空中的分布是均匀的，单位体积的雨量是ρ. 如图2所示,一个人要从A处运动到B处，他没有带伞，A、B的距离为l，人的运动速度为υ2. 把人简化为长方体模型，头和肩的水平面积为S1,身体前方正面的竖直面积为S2. 则人从A到B过程中，打到面积S1上的雨量为 ，打到面积S2上的雨量为 .
υ1
υ2
S1
S2
A
B
l
图2

6. 三个质量均为m的小球A、B、C，用轻杆连接，如图3所示。 A、B与B、C的距离相等，A、B、C与地球中心O在一条直线上. 三个小
球在高空绕地球做匀速圆周运动，如果轻杆收到扰动而偏离直线一小角度θ，则轻杆与直线的偏角θ将 （增大、减小、不变）,理由是
。(本题说明控制卫星天线总指向地球的基本原理)
A
B
C
O
地球
θ
图3

二、计算题（共102分）
A
B
C
b
θ
图4
得 分
7。（16分）两个相同的半球，半径都是r，质量为0。5m,放在静摩擦因数为μ = 0。5的水平面上. 在两个半球上放一个半径为r，质量为m的光滑球，如图4所示。 求在平衡状态下两球球心之间的最大距离b。
得 分
8．(16分）两个质量分别为和的小球，它们之间的相互作用表现为斥力(斥力大小表达式为，是常数,为两球之间距离)。 现已知以速度接近，瞄准距离为b,即到速度方向的垂直距离为b，如图5所示. 求小球接近小球的最近距离d. 设，小球可近似看作静止.
图5

得 分
9．(20分）如图6所示，质量为m的小球，用不可伸长的线悬于固定点O，线长为l,初始线与铅垂线有一个夹角，初速为0。 在小球开始运动后,线碰到铁钉O1。 铁钉的方向与小球运动的平面垂直。 OO1=h<l，且已知OO1与铅垂线夹角为β，设与铅垂线夹角为。 假设碰后小球恰能做圆周运动。 求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化.
图6
O1
β
l
O

图7
m
m
得 分
10。 （25分） 如图7所示,理想滑轮（轻质,无摩擦）两端悬挂两个质量均为m的砝码盘. 用轻线拴住劲度系数很大的轻弹簧（弹簧劲度系数为k）两端使它压缩的长度为l，将此弹簧竖直放在左侧砝码盘上，弹簧上放一质量为m的砝码。 右侧砝码盘上也放置质量为m的砝码，使两盘静止. 燃断轻线,轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离. 求(1)此系统（包括两个盘、两个砝码、弹簧和细绳)中哪些量守恒?（2）使用守恒定律求砝码脱离弹簧后升起的高度。

得 分

1
3
2
图8
11．（25分）三个质量为m的小球用两根长为l的不可伸长细绳相连. 初始时刻,三个小球在一条线上,静止放在光滑水平面上，标号分别为1、2、3，如图8所示. 给标号为3的小球以初速度，则这三个小球运动起来,求1、2两球相遇时的速度为多大？
第25届北京市高中力学竞赛决赛试题答案
(北京四中杯）
一、填空题
1． 45 ．（8 分)
2． 不能 (2分）．一根羽毛不能对运动员施加1000N的力，根据牛顿第三定律,运动员也不能对羽毛施加1000N的力．（6分）
3．可以(2分)．在地球引力所用下，月球（携带飞船）绕地球做匀速圆周运动，可认为月球飞船处于失重状态，可只考虑月球对飞船的引力作用(6分)．
t/s
163
233
488
v/m•s-1
4．
5．；(4分） ．（4分）
6. 减少（2分），B球受地球引力与惯性离心力平衡，A球受引力大于惯性离心力，合力指向地球,C球受引力小于惯性离心力，合力背向地球,A、C球受力的力矩使θ角减少（6分）．
A
B
C
O
地球
θ

二、计算题
7. mg
NB
fmax
y
x

解：设最大距离时摩擦力为fmax，AB球心连线
与竖直夹角θ．
N
对A球y方向： （3分)

对B球y方向： （3分）

对B球x方向： (3分）
（1分）

（3分)
（3分）
8．解：小球受力始终指向小球中心，小球在一平面内运

动．如图所示．设z轴垂直于此平面且通过小球中心，则小球所受力对z轴的力矩为零，即对z轴角动量守恒．小球以速度v0运动，对z轴角动量是,但，故,小球最接近小球(距离为d）时，即无继续向小球运动的速度，又无远离小球的速度,此刻的速度v应与小球至小球的连线垂直，角动量是．于是
（1） （5分)
得
在散射过程中,只有斥力作用,故能量守恒。最初，其能量为动能，到达离小球最近时，其总能量为
，
后一项为斥力势能，k为一常数．因此，
（2） （5分）
有（1）（2）得
（4分）
d只能为正,故式中负号无物理意义，舍去．
(2分)
9．解：假设碰后小球能作圆周运动,运动到最高点的速度可由
（3分）
得出
设初始夹角为α
由机械能守恒得到: （5分)

假设碰前瞬时速度为v1
则： （2分）

碰前： （3分）
（3分）
（4分）
10. 解：（1）该质点系能量守恒（3分），对滑轮轴的角动量守恒（2分)。
（2）设滑轮半径为R，弹簧释放后，弹簧上边的砝码获得的速度为v，方向向上，左边砝码盘及右边砝码盘及砝码获得的速度大小是v'。该质点系对滑轮轴的角动量守恒，有：
- mvR+mv’R+2mv’R = 0，（6分）即 v = 3 v’ （1） （3分）
能量守恒（因为弹簧弹性系数很大，所以忽略重力势能的微小变化），有： （6分)
即 (2)
左盘中的砝码脱离弹簧获得速度v后做竖直上抛运动
（3) (3分）
由⑴⑵可求得v2=3kl2/4m，代入⑶中得：
h = 3 k l2/8mg (2分）
11．解：设运动起来后三小球竖直方向速度大小为，1、2球相遇时速度大小为．由于是光滑水平面，所以运动起来前后动量守恒、能量守恒，有
（1） (10分）
（2) （10分）
解得