第三章-直线与方程-3.1--直线的倾斜角与斜率-教案知识交流.doc

第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
教案 A

第1课时

教学内容：3.1.1 倾斜角与斜率
教学目标
一、知识与技能
1. 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；
2. 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
二、过程与方法
经历将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题的过程，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，不断体会“数形结合”的思想方法.
三、情感、态度与价值观
1. 通过把直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系，提高观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力；
2. 通过建立斜率概念和推导斜率公式，进一步理解数形结合的思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
教学重点、难点
教学重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学难点：斜率的计算方法.
教学关键：直线斜率的两种计算方法.
教学突破方法：结合图形，使学生理解直线倾斜角的概念，抓住直线的倾斜角与斜率的联系，引导学生掌握直线斜率的计算方法.
教法与学法导航
教学方法：启发、引导、讨论.
学习方法：探究、思考、讨论、练习.
教学准备
教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案）.
学生准备：一次函数与直线的关系、特殊角的正切值.
教学过程
详见下页表格.

教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创设情景
导入新课
我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？
学生回答（不能确定）
（1）它们都经过点P.
（2）它们的倾斜程度不同.
接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.
设疑激趣导入课题．
概念形成
1．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定.
教师提问：
倾斜角的取值范围是什么？0°≤α＜180°
当直线l与x轴垂直时
（由学生结合图形回答）

概念深化
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
y
a
b
c
x
O

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.
教师提问：
如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？
学生回答后作出结论.
一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出确定一条直线位置的几何要素.
通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素．
概念形成
2．直线的斜率
一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.
由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如= 45°时，
k = tan45°= 1；
= 135°时， k = tan135°= –1 .
教师提问：（由学生讨论后回答）
（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？
k = tan0°= 0.
（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？
= 90°，k不存在.
设疑激发学生思考得出结论．
续上表
概念形成
3．直线的斜率公式

对于上面的斜率公式要注意下面四点：
（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直；
（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合；
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
教师提出问题：
给定两点P1 （x1，y1），P2 （x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？
可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导.
借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程.
应用举例
例1 已知A （3，2），B （–4，1），C （0，–1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）
【分析】已知两点坐标，而且x1 ≠ x-2，由斜率公式代入即可求得k的值；
而当时，倾斜角是钝角；
而当时，倾斜角是锐角；
而当时，倾斜角是0°.

学生分析求解 ，教师板书
例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.
直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角是钝角.

通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义

续上表

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.
【分析】要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.
例2 略解：设直线a上的另一个点M的坐标为（x，y），根据斜率公式有1 = （y – 0）/（x – 0），
所以 x = y.
可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为（1，1）.此时过原点和点M（1，1），可作直线a.
同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）

小结
（1）直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）直线的斜率公式.
师生共同总结交流完善.
引导学生学会自己总结.
课堂作业
1. 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）（1，1），（2，4）； （2）（–3，5），（0，2）；
（3）（2，3），（2，5）； （4）（3，–2），（6，–2）
【解析】（1），所以倾斜角是锐角；
（2），所以倾斜角是钝角；
（3）由x1 = x2 = 2得：k不存在，倾斜角是90°；
（4），所以倾斜角为0°.
2. 已知点P，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为 .
【解析】因为点Q在y轴上，则可设其坐标为（0，b）
直线PQ的斜率k = tan120°= ，
∴ ， ∴b = –2，即Q点坐标为.

第2课时

教学内容： 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
教学目标
一、知识与技能
1. 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；
2. 会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
二、过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，提高运用已有知识解决新问题的能力， 以及数形结合能力．
三、情感、态度与价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，获得成功感觉；同学合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．
教学重点、难点
教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
教学难点：启发学生， 把研究两条直线的平行或垂直问题， 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
教学关键：理解并掌握判断两直线平行和垂直的方法.
教学突破方法：结合图形探究两直线平行和垂直时二者斜率的关系，并从这种关系的内涵和外延两个方面强化学生对此结论的理解.对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．
教法与学法导航
教学方法：以实验探究的教学方法为主，具体以实例展示法、多媒体演示法、分析讨论法、问题教学法和练习巩固法展开教学活动.
学习方法：以探究理解学习方法为主，自主学习，自我反馈，渐进式提高.
教学准备
教师准备：多媒体课件（用于展示问题、引导讨论、出示答案），资料图片.
学生准备：直线的倾斜角与斜率的概念及联系.
教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创设情景
导入新课
我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的计算公式. 现在，我们来研究通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

师：解析几何的本质是什么？
生：用代数的方法研究几何图形的位置关系.
设疑激趣导入课题
续上表
师生互动探究新知
1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

师生互动探究新知
2. 两条直线的斜率都存在时， 两直线的平行.
设直线 l1和l2的斜率分别为k1和k2. 我们知道， 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的， 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.
问题: 两条互相平行或垂直的直线， 它们的斜率有什么关系?
结论1: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2Ûk1=k2.
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2， 那么一定有l1∥l2; 反之则不一定.
首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（如下图），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．（借助多媒体， 让学生通过观察度量， 感知α1， α2的关系）
因为tanα1=tanα2 即k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1=k2，那么tanα1=tanα2．
由于0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，所以α1=α2．
又因为两条直线不重合，两条直线平行l1∥l2．
通过这种师生互动引导学生明确两条直线平行的判定方法

续上表
师生互动探究新知
3. 下面我们研究两条直线的斜率都存在时， 两直线的垂直的情形．
如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件，即如果k1·k2=-1， 那么一定有；反之则不一定.
设α2＜α1（如下图），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．
因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0，
即或.
反过来，如果或. 不失一般性，设k1<0， k2>0，那么

可以推出: α1=90°+α2． 即．

借助多媒体演示让学生经历两条直线垂直的判定结论的推导.

续上表
应用举例
例1 （1）已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？
（2）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问与是否垂直？
例2 已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．

．
B
A
C
D

例1【解析】
（1） ∵=，，
∴ //．
（2） ∵ ，，
， ∴⊥．
例2 【解析】
设D（，），则，．
∴ ，即
解得 .
∴ D（）.
通过实例熟练对两条直线平行和垂直的判定.
小结
1. 知识小结
（1） 两条直线平行或垂直的判定方法.
（2） 注意特殊情况特殊处理，如有斜率为零或斜率不存在的情况.
（3） 应用直线平行的条件， 判定三点共线.
2. 思想方法：倾斜角、平行是几何概念， 坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.
师生共同总结交流完善.
引导学生学会自己总结.

课堂作业
1.如果直线l1的斜率为a，且 ，则直线l2的斜率为（ ）.
A. B. a C. D. 或不存在
答案：选D.
2. 若过点A（2，-2），B（5，0）的直线与过点P（2m，1）Q（-1，-m）的直线平行，则m的值为（ ）．
A. -1 B. 1 C. 2 D.
答案：选B．
3.已知点M（2，2）和N（5，-2），点P在x轴上，且ÐMPN为直角，则点P的坐标为（ ）．
答案：（1，0），（6，0）．

教案 B

第1课时

教学内容：3.1.1 倾斜角和斜率
教学目标
一、知识和技能目标
1. 了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念；
2. 理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
二、过程和方法目标
掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法，会实现直线方程的各种形式之间的互化.
三、情感、态度与价值观目标
发展观察、探索能力，运用数学语言表达能力；进一步理解数形结合思想，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
教学重点
直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.
教学难点
斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式.
教学过程
1．创设情景，揭示课题
（1）简述本章研究什么？怎样研究？
（2）问题探究：我们知道， 经过两点有且只有一条直线. 那么， 在平面直角坐标系中，经过一点P的直线l的位置由哪些条件确定？
如图， 过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…，易见这些直线的共同特点是：都经过同一点P，那么，它们的不同点是什么？
学生交流讨论，发表见解：它们的‘倾斜程度’不同.
教师提出：怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念.
2．直线的倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时， 取x轴作为基准， x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
特别地，当直线与x轴平行或重合时， 规定= 0°.
观察下图直线l1，l2，l3的倾斜角是怎样的？由此回答直线的倾斜角的取值范围是什么? 0°≤＜180°.
当直线与x轴垂直时， = 90°.

教师强调：平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度， 引入直线的倾斜角之后， 我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
思考1：如上图， 直线a∥b∥c， 那么它们的倾斜角相等吗?
答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角.二者缺一不可.
思考2：生活中的“倾斜程度”通常用什么量表示？
引导学生讨论交流，举例.如道路的坡度等，使学生理解生活中坡度的意义：

坡度（比）=升高量/前进量
如果我们使用“倾斜角”这个概念，这里的“坡度”实际是“倾斜角的正切值”.
3．直线的斜率
（1）一条直线的倾斜角 （≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，也就是k = tan
当直线与x轴平行或重合时， =0°， k = tan0°=0;
当直线与x轴垂直时， = 90°， k 不存在.
由此可知， 一条直线的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在.
例如， =45°时， k = tan45°= 1.
4．利用信息技术获得直线的倾斜角和直线的斜率的关系

观察上图直线的倾斜角和斜率之间的关系：由于知识的原因，学生不能通过正切值获得直线的倾斜角和斜率之间的关系，因此教学中通过信息技术演示操作（如《几何画板》）获得直线的倾斜角和斜率的关系.（如上图）可以清楚看到：
当时，直线的斜率k是正数；
当时，直线的斜率k是负数.
思考3：两点确定一条直线，那么给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

5．探究并推导直线斜率的两点式公式
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况（如下图）， 并引导学生通过作辅助线，共同完成斜率公式的推导.

斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点：
（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°， 直线与x
轴垂直；
（2）k值的大小与P1、P2的顺序无关， 即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换， 但分子与分母不能交换;
（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
（4） 当 y1=y2时， 斜率k = 0， 直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合.
6．应用举例
例1　直线过点A（－2，0），　B（－5，3），求直线AB的斜率.
【解析】k＝（3－0）/[（－5）－（－2）]＝－1，
　　又α∈［0°，180°），　　　　∴α＝135°.
因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135°
变式：m为何值时，经过两点A（m，0），B（－5，1－m）的直线AB的斜率是－1？
【分析】
例2　分别在下列条件求直线的倾斜角和斜率.
（1）直线l的倾斜角α的正弦值是1/2；
（2）直线l的方向向量.
【分析】⑴由已知条件求出直线的倾斜角α，再来求直线的斜率．注意到α∈[0，π），而sinα= 1/2，因此求角时，要分α为锐角与钝角来求.　⑵抓住直线P1P2的方向向量的坐标是（x2－x1，y2－y1），其中P1（x1，y1），P2（x2，y2）与过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线的斜率公式的结构关系来求.
【解析】⑴∵α∈[0，π），又sinα= 1/2．
　　　∴α为锐角时，α＝π/6；α为钝角时，α＝5π/6.
　当α＝π/6时，斜率k＝tanπ/6 ＝；
　 当α＝5π/6时，斜率k＝tan5π/6 ＝－.
　 ⑵∵直线l的方向向量，
∴直线l的斜率，故倾斜角α＝5π/6.
6. 课后作业
P86练习：1，2，3，4；P89习题3.1A组：1，2，3，4，5.

第2课时

教学内容：3.1.2 两条直线的平行与垂直
教学目标
一、知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
二、过程与方法
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用代数方法来研究几何问题.
三、情感、态度和价值观
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣，欣赏解析几何的代数抽象美．
教学重点、难点　
教学重点：熟练掌握两条直线平行和垂直的条件．
教学难点：研究两条直线的平行或垂直问题的判断．
教学方法
引导、启发、讨论，练习.
教学过程
一、创设情景，导入课题
复习已经学习的直线的倾斜角和斜率的概念，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式．现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
二、师生互动，探究新知
1. 先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
2. 两条直线的斜率都存在时，两直线的平行
设直线 l1和l2的斜率分别为k1和k2．我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.
所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线， 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（如下图），那么它们的倾斜角相等：α1=α2．（借助多媒体， 让学生通过观察度量， 感知α1， α2的关系）
因为tanα1=tanα2 即 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tanα1=tanα2．
由于0°≤α1＜180°，　 0°≤α2＜180°，所以α1=α2．
又因为两条直线不重合，两条直线平行l1∥l2．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2，k1=k2.
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2， 那么一定有l1∥l2; 反之则不一定.
3. 两条直线的斜率都存在时， 两直线的垂直
下面我们研究两条直线垂直的情形．
如果，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1（如下图），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．

因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

即或.
反过来，如果或. 不失一般性，设k1<0， k2>0，那么

可以推出: α1=90°+α2． 即．
结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1， 那么一定有；反之则不一定.
三、概念辨析，巩固提高
例 1　已知A（2，3）， B（-4，0）， P（-3，1）， Q（-1，2）， 试判断直线BA与PQ的位置关系， 并证明你的结论.
分析: 借助媒体动画展示， 通过观察猜想:BA∥PQ， 再通过计算加以验证.（图略）
【解析】：直线BA的斜率k1=，
直线PQ的斜率k2=，
因为 k1=k2=，所以 直线BA∥PQ.
例2 四边形ABCD的顶点为、、、，试判断四边形ABCD的形状.
【解析】AB边所在直线的斜率，CD边所在直线的斜率，
BC边所在直线的斜率，DA边所在直线的斜率，
因为，
所以AB//CD，BC//DA，即四边形ABCD为平行四边形.
又因为，所以AB⊥BC，即四边形ABCD为矩形.
例 3 已知A（-6，0）， B（3，6）， P（0，3）， Q（-2，6）， 试判断直线AB与PQ的位置关系.
【解析】直线AB的斜率， 直线PQ的斜率，
因为k1·k2=1 所以 AB⊥PQ.
例4 已知的顶点，其垂心为，求顶点的坐标．
【解析】设顶点A的坐标为．
∵ ，
∴ 即
化简为解之得：
∴　A的坐标为.
四、小结
1. 知识和技能
（1）两条直线平行或垂直的判定方法.
（2）注意特殊情况特殊处理，如有斜率为零或斜率不存在的情况.
（3）应用直线平行的条件， 判定三点共线.
2. 思想方法：倾斜角、平行是几何概念， 坐标、斜率是代数概念，解析几何的本质是用代数方法来研究几何问题.
五、作业
P89练习：1，2.
P90习题3.1 A组：8. B组：3，4.