湘教版九年级下册第二章圆教案(第1-4课时)教学文案.doc

湘教版九年级下册第2章圆教案第（1~4课时）
第一课时 2.1 圆的对称性
学习目标：
1、理解圆及弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念的定义；
2、理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形.；
3、掌握点与圆的位置关系及判定条件.
教学重点、难点：
1、重点：圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.
2、难点：圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.
教学过程：
一、 新课引入：
1、创设情境、导入新课：
圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.

（1）观察以上图形，请大家说说生活中还有哪些圆形，让学生体验圆的和谐与美丽.
（2）活动：请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.
二、新知探究：
1、探究一：圆的定义
（1）活动：如教材P43图所示，用绳子和圆规画圆；
（2）思考：通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
（3）凝炼结果：圆的定义及表示方法：
如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”.
注意:圆指的是圆周,不是圆面.
2、探究二：点与圆的位置关系：
（1）观察：⊙O的位置关系，你发现了点与圆的有哪几种位置关系什么？点P到圆心O的距离d与⊙O的半径为r有何关系？
（2）结论：点与圆的位置关系及性质：
一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有
①若点P在⊙O内，则d＜r；
②若点P在⊙O上，则d=r；
③若点P在⊙O外，则d＞r。
（3）点与圆的位置关系的判定方法：数形结合法；
①若d＜r，则点P在⊙O内；
②若d=r，则点P在⊙O上；
③若d＞r，则点P在⊙O外。
3.与圆有关的概念：（结合图形理解）
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC)
(2)直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径.
注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径.
(3)弧的定义及分类:
定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.如图,以A、B为端点的弧记作,,读作:弧AB.
分类:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的,叫做优弧.
小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的,叫做劣弧.
（4）等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.
注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.
（5）等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧.
注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.
②等弧只存在于同圆或等圆中.
4、探究三：圆的对称性
（1）探究活动：通过教材P44探究1、2，引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.
（2）凝炼结果：
①圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
②圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
（3）思考 车轮为什么做成圆形的?如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等),坐车人会是什么感觉?

分析:把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此,车辆在平路上行驶时,坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服.
三、自学成果展示：
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（ C ）
A.在⊙A内 B.在⊙A上
C.在⊙A外 D.可能在⊙A上也可能在⊙A外
2、（1）以点A为圆心，可以画____个圆.
(2)以已知线段AB的长为半径,可以画____个圆.
(3)以A为圆心AB长为半径,可以画___个圆.
【参考答案】2.(1)无数 (2)无数 (3)1
3.如图,半圆的直径AB=________. 【参考答案】3.

第3题图 第4题图
4.如图，图中共有____条弦.
5、如图，是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为 (结果保留π)．
四、课堂小结：小组交流，共享受收获的喜悦
1、师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.
2、通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.
五、课堂检测：
1、下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）

2．已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
3、已知⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(3，4)，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法确定
4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

5、已知一点到圆的最小距离为1 cm，最大距离为3 cm，则圆的半径为 （ ）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．1 cm或2 cm
6、已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．6＜r＜10 B．8＜r＜10 C．6＜r≤8 D．8＜r≤10
7、如图，⊙O与⊙O′是任意两个圆，把这两个圆看作一个整体，它是一个轴对称图形，请你作出这个图形的对称轴．

8、如图，⊙O中，点A，O，D以及B，O，C分别都在同一条直线上．
(1)图中共有几条弦？请将它们写出来；
(2)请任意写出两条劣弧和两条优弧．

六、课后作业
1.布置作业:从教材“习题2.1”中选取.
拓展练习：
1、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，判断A，B两点和⊙O的位置关
2、由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400 km的B处，正在向西北方向转移，如图，距沙尘暴中心300 km的范围内将受其影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

七、教学反思：

第二课时 2.2 圆心角、圆周角（第1课时）
2.2.1 圆心角
学习目标：
1.理解并掌握圆心角的概念.
2.掌握圆心角与弧及弦的关系定理.
教学重点、难点：
1、重点：弧、弦、圆心角之间关系的定理及推论和它们的应用.
2、难点：探索定理和推论及其应用.
教学过程：
一、 新课引入
1、问题1：如图中,时钟的时针与分钟所成的角与时钟的外围所成的圆有哪些位置关系?
教师引导：让学生关键指出两点：
一是角的顶点在圆心,二是两边与圆相交.
2、引入课题：2.2.1 圆心角
二、思考探究，获取新知
1.学生自学课文：P47,弄清：圆心角的定义
（1）圆心角概念：顶点在圆心,角的两边与圆相交的角叫圆心角.如图,∠AOB叫做所对的圆心角, 叫做圆心角∠AOB所对的弧.
注：圆心角的定义可以简化为:顶点在圆心的角叫圆心角.
2、探究：圆心角与弧、弦关系定理
（1）探究1：请同学们按下列要求作图并回答下列问题:
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′位置，你能发现哪些等量关系，为什么？
学生回答：【教学说明】=，AB=A′B′.
理由：∵半径OA与OA′重合，且∠AOB=∠A′OB′，∴半径OB与OB′重合.
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合，
∴与重合,弦AB与弦A′B′重合. ∴=,AB=A′B′.
（2）探究2：同学们思考一下,在等圆中,这些结论是否成立?
学生回答:
教师指导：在等圆⊙O和⊙O′中分别作∠AOB=∠A′O′B′,然后滚动一个圆,使圆心O与O′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合,∠AOB与∠A′O′B′重合,则有上面相同结论,AB=A′B′, =.
（3）凝炼结果：弧、弦、圆心角之间关系的定理:
在同一个圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
（4）推论：
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意:圆心角、弦、弦关系定理的前提条件是在同圆或等圆中,没有这一条,定理不成立.
推理格式： 如图所示，⊙O中，
(1)若＝，则 ， ；
(2)若∠AOB＝∠COD，则 ， ；
(3)若AB＝CD，则 ， .
3、自学课文：教材P48例1
【分析】在同圆中，由弦相等可以得到圆心角相等，从而使问题解决.学生自主完成
三、学习成果展示：
1、如图是七年级（1）班参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，则表示唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角的度数是（ ）
A.36° B.72° C.108° D.180°
2、下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
3、做课文P49练习题第1，2题：
4、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C点为圆心，CA的长为半径的圆交AB于点D，求的度数. （弧的度数等于它所对的圆心角的度数）
【分析】要求的度数,根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数,故只需求出∠DCA的度数.
解:连接CD,如图. ∵∠ACB=90°,∠B=25°, ∴∠A=65°.
∵CD=CA, ∴∠CDA=65°,∴∠DCA=180°-65°×2=50°.
∴的度数为50°.
教师点拨：在圆中求角的度数时，把角放在直角三角形和等腰三角形中去解决是一种常用的方法.
四、课堂小结
1.学生总结本堂课的收获与困惑.
2.教师强调:圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.
五、课堂检测
1．如图所示， 是圆心角．

2．已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为5 cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝ .
3．如图，已知AB为⊙O的直径，点D为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD的度数为 .
4．在同圆或等圆中，如果＝，那么AB和CD的关系是（ ）
A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．AB＝2CD
5．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA.
则∠BCD等于（ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
6、在⊙O中，所对的圆心角有___个，弦AB所对的弧有____条.若∠OAB=50°,
则所对的圆心角为_____度.
7、已知：如图，在⊙O中，弦AB＝CD.求证：
(1)＝； (2)∠AOC＝∠BOD.
8、如图所示，⊙O1和⊙O2为两个等圆，O1A∥O2D,O1O2与AD相交于点E，AD与⊙O1和⊙O2分别交于点B，C，
求证：AB=CD.
(证明:∵O1A∥O2D, ∴∠A=∠D.
∴∠AO1B=∠DO2C. 又∵⊙O1和⊙O2为两个等圆，
∴AB=CD.)

六、课后作业：
1、教材P56第1、2题.
拓展练习：

2、如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：＝.

3、如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.

七、教学反思：

第三课时 2.2 圆心角、圆周角（第2课时）
2.2.2 圆周角 （第1课时）—— 圆周角定理及推论1
学习目标：
1、理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.
2、能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理.
教学重点、难点
1、重点：理解并掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角之间的关系,能进行有关圆周角问题的简单推理和计算.
2、 难点：分类讨论及由特殊到一般的转化思想的应用.
教学过程：
一、新课引入
1、知识回顾：
（1）圆心角定义
（2）判定圆心角的条件：
2、观察与思考：如图所示的角与圆心角有何不同？
二、新知探究：
1、探究一 ；圆周角定义
（1）自主学习：阅读教材P49，回答下列问题.
1.如图所示的角中，哪些是圆周角？

(2)圆周角定义:顶点在______上，并且两边都与圆_________的角叫做圆周角.
(3)判定圆周角必须符合的两个条件：①顶点在圆上②两边与圆相交.
2、探究二：圆周角定理及推论1.
（1）活动一：同学们作出所对的圆周角,和圆心角,学生分组讨论,并回答下列问题: 问题1、所对的圆周角有几个？
问题2度量下这些圆周角的关系.
问题3这些圆周角与圆心角∠AOB的关系.
学生解答：①所对的圆周角的个数有无数个；②通过度量,这些圆周角相等.
③通过度量,同弧对的圆周角是它所对圆心角的一半.
（2）活动二、同学们思考如何推导上面的问题(3)的结论?
教师引导学生分类讨论：
①当点O在∠BAC边AB上，
②当点O在∠BAC的内部，
③当点O在∠BAC外部.
注：①②由同学们分组讨论,自己完成. ③由同学们讨论,代表回答.
【教学说明】作直径AE,由∠BAC=∠OAC-∠OAB,及∠OAC=∠EOC,∠OAB=∠BOE得:∠BAC=∠EOC-∠BOE= (∠EOC-∠BOE)=∠BOC.
（3）凝炼结果：从①②③得出圆周角定理：
文字语言：在同圆或等圆中,_____或_______所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的______的一半.
推理格式：____________________________;
(4) 圆周角定理论1：
文字语言：在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也_______.
推理格式：____________________________;
3、自主学习：课文P52例2，教师答凝。
三、学习成果展示：
1.如图，在⊙O中，AD=DC，则图中相等的圆周角的对数是（ D ）
A.5对 B.6对 C.7对 D.8对

2.如图所示，点A，B，C，D在圆周上，∠A=65°,求∠D的度数. (答案.65°)
3.如图所示,已知圆心角∠BOC=100°,点A为优弧上一点，求圆周角∠BAC的度数. (答案:50°)
4.如图所示,在⊙O中，∠AOB=100°,C为优弧AB的中点，求∠CAB的度数.
(答案:65°)
5、如图,(1)已知.求证:AB=CD.
(2)如果AD=BC,求证:.
证明:(1)∵, ∴,
∴, ∴AB=CD.
(2)∵AD=BC, ∴, ∴,即.
教师指导：在今后证明线段相等的题目中又加了一种有弧相等也可以得到线段相等的方法了.
四、课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑？
2.在学生回答基础上.教师点拔：
①圆周角的定义是基础.
②圆周角的定理是重点,圆周角定理的推导是难点.
③圆周角定理的应用才是重中之重.
五、课堂检测：
1．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝30°，则sin∠AOB的值是（ ）
A. B. C. D.

2、如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．60° D．30°
3、如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°

4、如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝（ ）
A．28° B．42° C．56° D．84°

5、如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.
求证：DB平分∠ADC.

六、课后作业：
1、课文P52练习题第1、2、3题
2、教材P56第3~5题.
拓展练习：
3、如图，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE，求证：∠D＝∠B.

4、如图，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，求证：DE＝BC.

七、教学反思：

第四课时 2.2 圆心角、圆周角（第3课时）
2.2.2 圆周角 （第2课时）——圆周角定理推论2
学习目标：
1.巩固圆周角概念及圆周角定理.
2.掌握圆周角定理的推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3.掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
教学重点、难点
1、重点：对直径所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这些性质的理解.
2、难点：对圆周角定理推论的灵活运用是难点.
教学过程：
一、新课引入：
1、知识回顾：
（1）圆周角定义；
（2）圆周角定理及其推论1；
2、情境问题： 如图,木工师傅为了检验如图所示的工作的凹面是否成半圆,他只用了曲尺(它的角是直角)即可,你知道他是怎样做的吗?（引入课题）
二、新知探究：
1、探究一：圆周角定理的推论2：
（1）活动一：如图，AB为⊙O的直径，∠C、∠D、∠E所对的圆心角都是∠AOB，求出∠C、∠D、∠E的度数？由此你发现了什么？
解：∵A、O、B在一条直线上,∠AOB是平角,∠AOB=180°，
由圆周角定理知∠C1=∠C2=∠C3=90°,反过来也成立.
（2）凝炼结果：圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
（3）自主学习：教材P54例3（教师答凝）
教师点拔：在圆中求角时，一种方法是利用圆心角的度数求,另一种方法是把所求的角放在90°的三角形中去求.

（4）回首解决引例问题：
如图,木工师傅为了检验如图所示的工作的凹面是否成半圆,他只用了曲尺(它的角是直角)即可,你知道他是怎样做的吗?
解:当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,否则工作不合格.

2、探究二：圆内接四边形的性质：
（1）自主学习：课文P54：圆内接四边形和四边形的外接圆的概念.
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆;圆内接四边形对角互补.
（2）探究圆内接四边形的性质：
活动1：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，试猜想：
①∠BAD与∠BCD及∠ABC与∠ADC有何数量关系
②∠BAD与∠DCE有何数量关系？
（3）凝炼结果：
①圆内接四边形的对角互补.
②圆内接四边形的一个外角等于与它不相邻的内对角；
（4）自主学习;课文P55例4。
三、自学成果展示：
1、如图所示,OA为⊙O的半径,以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,若OD=5cm,则BE=10cm.
2、如图,已知∠BOC=70°,则∠BAC=_____，∠DAC=______.
解：由∠BOC=70°可得所对的圆周角为35°，又∠BAC与该圆周角互补，故∠BAC=145°，而∠DAC+∠BAC=180°,则∠DAC=35°.
3、如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.
(1)试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明;
(2)在上述题设条件下,△ABC还需满足什么条件,使得点E一定是AC的中点(直接写出结论)
解：（1）AB=AC.
证明:如图,连接AD,则AD⊥BC. ∵AD是公共边,BD=DC,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD, ∴AB=AC.
(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠BAC=∠B或∠BAC=∠C.
四、课堂小结：
1、这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？在学生回答基础上.
2、教师强调:
①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
②圆内接四边形定义及性质;
③关于圆周角定理运用中,遇到直径,常构造直角三角形.
五、课堂检测：
1.、如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，∠ABC=40°,则∠A等于（ D ）
A.30° B.60° C.80° D.70°

2、如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，点D在圆上，则∠ADC=____.（ 50°）
3、如图,AB为⊙D的直径,点C、D在⊙O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是___. （105°）
4、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,则⊙O的半径为,CE的长是_____.
4.解：（1）AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°,∴∠A+∠CBA=90°.又CE⊥AB，∠ECB+∠CBA=90°,∠BCE=∠A,又，∴∠A=∠CBD，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF.
(2)半径为5.CE= =4.8.
教师点拔：①遇到直径常设法构造直角三角形；
②注意：“角→弧→角”之间转化.
六、课后作业：

1.教材P57第7~9题.
拓展练习：
2、如图，在⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，点P在上运动(不与A，B重合)，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.
(1)试猜想：△PCQ与△ACB具有何种关系？(不要求证明)
(2)当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCB？并给出证明．

3、如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．

七、教学反思：

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