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正方体的截面问题研究

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研究性学习报告
——正方体的截面形状
【课题】正方体的截面形状
【作者】刘可歆 岳新茹
【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。
【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。
【研究过程】
探究1：当截面为三角形
根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:
====
由上图可知，正方体可以截得三角形截面。
特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：
====》正三棱锥
探究2：当截面是四边形
1.正方形：
因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：
====》》》

由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。
====》》》

由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。
2.矩形：
因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：

由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

3.平行四边形：
当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：

==》

由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。
4．菱形：
如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：

5．梯形：
如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：
==》》》
探究3：当截面是五边形
6.五边形：
如图所示，可以截得五边形截面：
=》
探究3：当截面是六边形
7.六边形：
如图所示，可以截得六边形截面：
=》
特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：

【拓展探究】
1. 正方体最大面积的截面三角形：

如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。
2. 正方体最大面积的截面四边形:
通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。
根据四边形的面积公式：面积=长*宽
联系正方体图形：

得到：当由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形的长最大，又因为在各个情况下的宽不变。
则由猜想得到：“最大面积的截面四边形：由两条平行的面对角线和两对平行棱构成的四边形。”
3. 最大面积的截面形状：
正方体的截面可以分为：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四边形、五边形、六边形、正六边形。其中三角形还分为锐角三角型、等边、等腰三角形。梯形分为非等腰梯形和等腰梯形。
首先比较三角形与五边形和六边形，所得这三种截面的情况有一共同特点：不能完整在该截面所在平面在正方体内所截的范围的最大值，有部分空间空出。
因此可以得到：最大面积一定是四边形。
所以最大面积的截面形状：即最大截面四边形（猜想）。初步推断为如图所示的矩形：

【小结】正方体的截面图

可能出现的截面形状：
锐角三角型、等边、等腰三角形，正方形、矩形、
非矩形的平行四边形、非等腰梯形 等腰梯形、
五边形、六边形、正六边形
不可能出现的截面形状：
钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、
七边形或更多边形

《正方体的截面形状》研究性学习小组
2014.2.12

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