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曲线积分与格林公式总结

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一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量:
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为m(x, y). 求曲线形构件的质量.
把曲线分成n小段, Ds1, Ds2, × × ×, Dsn(Dsi也表示弧长);
任取(xi , hi)ÎDsi, 得第i小段质量的近似值m(xi , hi)Dsi;
整个物质曲线的质量近似为;
令l=max{Ds1, Ds2, × × ×, Dsn}®0, 则整个物质曲线的质量为
.
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一点列M1, M2, × × ×, Mn-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为Dsi, 又(xi, hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2,× × ×, n ), 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值l®0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即.
其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.
设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界.
将L任意分成n个弧段: Ds1, Ds2, × × ×, Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧长;
在每一弧段Dsi上任取一点(xi, hi), 作和;
令l=max{Ds1, Ds2, × × ×, Dsn}, 如果当l®0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的
曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即
.
其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.
曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的.
根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中m(x, y)为线密度.
对弧长的曲线积分的推广: .
如果L(或G)是分段光滑的, 则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定
.
闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 .
对弧长的曲线积分的性质:
性质1 设c1、c2为常数, 则
;
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则
;
性质3设在L上f(x, y)£g(x, y), 则
.
特别地, 有

二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y), 则曲线形构件L的质量为
.
另一方面, 若曲线L的参数方程为
x=j(t), y=y (t) (a£t£b),
则质量元素为

,
曲线的质量为
.
即 .
定理 设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为
x=j(t), y=y(t) (a£t£b),
其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一阶连续导数, 且j¢2(t)+y¢2(t)¹0, 则曲线积分存在, 且
(a<b).
证明（略）

应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b.
讨论:
(1)若曲线L的方程为y=y(x)(a£x£b), 则=?
提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(a£x£b),
.
(2)若曲线L的方程为x=j(y)(c£y£d), 则=?
提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(c£y£d),
.
(3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a£t£b),
则=?
提示: .
例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.
解 曲线的方程为y=x2 (0£x£1), 因此
.
例2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为m=1).
解 取坐标系如图所示, 则.
曲线L的参数方程为
x=Rcosq, y=Rsinq (-a£q<a).
于是
=R3(a-sina cosa).
例3 计算曲线积分, 其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧.
解 在曲线G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且
,
于是
.
小结: 用曲线积分解决问题的步骤:
(1)建立曲线积分;
(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;
(3)将曲线积分化为定积分;
(4)计算定积分.

§10. 2 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功:
设一个质点在xOy面内在变力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B, 试求变力F(x, y)所作的功.
用曲线L上的点A=A0, A1, A2, × × ×, An-1, An=B把L分成n个小弧段,
设Ak=(xk , yk), 有向线段的长度为Dsk, 它与x轴的夹角为tk , 则
(k=0, 1, 2, × × ×, n-1).
显然, 变力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似为
;
于是, 变力F(x, y)所作的功
,
从而
.
这里t=t(x, y), {cost, sint}是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量.

把L分成n个小弧段: L1, L2, × × ×, Ln;
变力在Li上所作的功近似为:
F(xi, hi)×Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi ;
变力在L上所作的功近似为:
;
变力在L上所作的功的精确值:
,
其中l是各小弧段长度的最大值.
提示:
用Dsi={Dxi,Dyi}表示从Li的起点到其终点的的向量. 用Dsi表示Dsi的模.
对坐标的曲线积分的定义:
定义 设函数f(x, y)在有向光滑曲线L上有界. 把L分成n个有向小弧段L1, L2, × × ×, Ln; 小弧段Li的起点为(xi-1, yi-1), 终点为(xi, yi), Dxi=xi-xi-1, Dyi=yi-yi-1; (xi, h)为Li上任意一点, l为各小弧段长度的最大值.
如果极限总存在, 则称此极限为函数
f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即
,
如果极限总存在, 则称此极限为函数
f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 记作, 即
.

设L为xOy面上一条光滑有向曲线, {cost, sint}是与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义. 如果下列二式右端的积分存在, 我们就定义
,
,
前者称为函数P(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分, 后者称为函数Q(x, y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分, 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.
定义的推广:
设G为空间内一条光滑有向曲线, {cosa, cosb, cosg}是曲线在点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量, 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定义. 我们定义(假如各式右端的积分存在)
,
,
.
,
,
.
对坐标的曲线积分的简写形式:
;

.

对坐标的曲线积分的性质:
(1) 如果把L分成L1和L2, 则
.
(2) 设L是有向曲线弧, -L是与L方向相反的有向曲线弧, 则
.
两类曲线积分之间的关系:
设{costi, sinti}为与Dsi同向的单位向量, 我们注意到{Dxi, Dyi}=Dsi, 所以
Dxi=costi×Dsi, Dyi=sinti×Dsi,

,

.
即 ,
或 .
其中A={P, Q}, t={cost, sint}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=tds={dx, dy}.

类似地有
,
或 .
其中A={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }, A t为向量A在向量t上的投影.

二、对坐标的曲线积分的计算:
定理: 设P(x, y)、Q(x, y)是定义在光滑有向曲线
L: x=j(t), y=y(t),
上的连续函数, 当参数t单调地由a变到b时, 点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B, 则
,
.
讨论: =？
提示: .
定理: 若P(x, y)是定义在光滑有向曲线
L: x=j(t), y=y(t)(a£t£b)
上的连续函数, L的方向与t的增加方向一致, 则
.
简要证明: 不妨设a£b. 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{j¢(t), y¢(t)},
所以,
从而

.

应注意的问题:
下限a对应于L的起点, 上限b 对应于L的终点, a不一定小于b .
例1.计算, 其中L为抛物线y2=x上从点A(1, -1)到点B(1, 1)的一段弧.
解法一: 以x为参数. L分为AO和OB两部分:
AO的方程为, x从1变到0; OB 的方程为, x从0变到1.
因此
.
第二种方法: 以y为积分变量. L的方程为x=y2, y从-1变到1. 因此
.
例2. 计算.
(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ;
(2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a, 0)的直线段.
解 (1)L 的参数方程为
x=a cosq, y=a sinq,
q从0变到p.
因此 .
(2)L的方程为y=0, x从a变到-a.
因此 .
例3 计算. (1)抛物线y=x2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧; (3)从O(0, 0)到A(1, 0), 再到R (1, 1)的有向折线OAB .
解 (1)L: y=x2, x从0变到1. 所以
.
(2)L: x=y2, y从0变到1. 所以
.
(3)OA: y=0, x从0变到1; AB: x=1, y从0变到1.

=0+1=1.
例4. 计算, 其中G是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段.
解: 直线AB的参数方程为
x=3t, y=2t, x=t,
t从1变到0. 所以
所以 .
例5. 设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用, F的大小与M到原点O的距离成正比, F的方向恒指向原点. 此质点由点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0, b), 求力F所作的功W.
例5. 一个质点在力F的作用下从点A(a, 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0, b), F的大小与质点到原点的距离成正比, 方向恒指向原点. 求力F所作的功W.

解: 椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint , t从0变到.
, ,
其中k>0是比例常数.
于是 .

.
三、两类曲线积分之间的联系
由定义, 得

,
其中F={P, Q}, T={cost, sint}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds={dx, dy}.

类似地有

.
其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}为有向曲线弧G上点(x, y, z)处单们切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }.

一、格林公式
单连通与复连通区域:
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下: 当观察者沿L的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边.
区域D的边界曲线的方向:
定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有
,
其中L是D的取正向的边界曲线.
简要证明:
仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.
设D={(x, y)|j1(x)£y£j2(x), a£x£b}. 因为连续, 所以由二重积分的计算法有
.
另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

.
因此
.
设D={(x, y)|y1(y)£x£y2(y), c£y£d}. 类似地可证
.
由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得
.
应注意的问题:
对复连通区域D, 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D来说都是正向.
设区域D的边界曲线为L, 取P=-y, Q=x, 则由格林公式得
, 或.
例1. 椭圆x=a cosq , y=b sinq 所围成图形的面积A.
分析: 只要, 就有.
解: 设D是由椭圆x=acosq , y=bsinq 所围成的区域.

令, , 则.
于是由格林公式,

=pab.
例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明
.
证: 令P=2xy, Q=x2, 则.
因此, 由格林公式有. (为什么二重积分前有“±”号？ )
例3. 计算, 其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)为顶点的三角形闭区域.
分析: 要使, 只需P=0, .
解: 令P=0, , 则. 因此, 由格林公式有
.
例4 计算, 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.
解: 令, . 则当x2+y2¹0时, 有.
记L 所围成的闭区域为D. 当(0, 0)ÏD时, 由格林公式得;
当(0, 0)ÎD时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得
,
其中l的方向取逆时针方向.
于是 =2p.
解 记L 所围成的闭区域为D.
当(0, 0)ÏD时, 由格林公式得
.
当(0, 0)ÎD时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r>0). 由L及l围成了一个复连通区域D1, 应用格林公式得
,
即,
其中l的方向取顺时针方向.
于是 =2p.
分析: 这里, , 当x2+y2¹0时, 有.

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