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数学与人类文明期终论文论文题目 哲学与几何学在历史中发展作者姓名 李征涛 01指导教师 李秉政学科(专业) 工科实验班（工学）所在学院 求是学院蓝田学园提交日期 2013 年 4月 22 日摘要 本文想从数学与哲学的角度来谈一谈数学，哲学的发展。从以理性推理体系的欧式几何起源到对第五公设的推导从而得出的非欧几何，对几何学的起源和发展作了一个比较简单的介绍。而从欧式几何对为理论哲学的支持到非欧几何的出现打破了这种僵局，从而被经验论哲学的反扑和发展，本文还对几何学对哲学的影响的角度来赏析数学与哲学。哲学受数学影响，而数学作为科学来讲，不断向前发展是历史的必然，这又可以用哲学来解释和说明。相信在我们的不断努力之下，数学与哲学能够相互促进发展，给人类带来更大的福音。关键词 欧式几何 非欧几何 哲学 人类文明 历史 数学引言 曾几何时,欧几里得的原本被奉为无法逾越的经典，保持着神圣而又不可动摇的地位。但是在越来越注重思维严密的数学家眼里，它的某一些东西始终无法被证明是正确的。在随后的发展之中，对第五公设的质疑使得非欧几何出现在我们面前，其为我们传达了一条信息，在哲学上一直认为欧式几何是纯理性的产物的观点是错误的。而类似的一些科学发现也让我们对事物在自然科学和哲学方面都有更深的了解和思考。几何学的起源与欧式几何欧式几何是适用于我们普通生活的，是最贴近我们的几何学。几何学一开始是为人们测量实际数据和观察而产生的,欧式几何则给出了更为规范系统的几何系统知识.早在古埃及时代，尼罗河的经常泛滥让土地变得越来越肥沃的同时，也让埃及人年复一年的去测量这些土地。这样的天赐良机给了埃及人，他们也没有浪费这样的机会，逐渐提高了自己的几何测量技术，这样也就初步形成了几何学。而更为著名的应该是欧几里得几何，在古希腊,欧几里得在几何学做了极为突出的贡献, 作为直到现在还备受人们关注和学习的几何学，同时也是最贴近现实生活的几何学其凸显的严格性和推理性的特点树立的非常良好的典范. 欧几里得的几何学是以其自设的公理和公设作为基础，逐步推理假设提出一个比较系统的几何理论体系。几而其出版的原本更是被奉为经典,我想大多数人对欧式几何都不是很陌生,欧式几何中的公理定理陪伴许多的学生度过了他们最难忘的中学生涯.而在现实生活中,欧式几何的应用也非常广泛,从木匠到建筑师,从画家到雕塑师.几乎与我们接触到的现实事物,都可以用欧式几何的理论去解释和说明.欧式几何对哲学的影响欧式几何的公理系统模式的构造方法让许多为理论哲学家为之骄傲与自豪。但是其中的漏洞却依然存在。欧式几何中的公理方法是受许多哲学家所推崇的.它用几条明白清楚为大家所公认的前提作为公理,用逻辑工具证明它的结论.其中蕴含了一种思想:如果前提是真理,那么结论也是真理.许多唯理哲学家非常看重这样的思想,他们中的一些人还试图用欧几里得的方式写出自己的理论著作,阐述自己的观点和想法. 在柏拉图眼中,欧式几何学公理被他视为是通过一种洞见行为为我们所看到的,而那种洞见行为揭示了几何关系式理想客体的属性.而按照康德的理论,这些公理都是综合的先天判断确实,出现在人面前的先天洞察能力挖掘的欧式几何给了我们一个合理的解释,也让哲学家们对欧式几何更加信赖.但是,有的哲学家却有着不同的想法:欧几里得的公理一定是正确的吗?我们所推崇的自然洞察力一定也是正确的吗?苏格兰哲学家休谟则在其著作中否定了宇宙中的事物有一定法则. 休谟认为：我们相信因果关系存在是非理性的，因为归纳得不出普遍必然规律; 现实中我们相信因果关系，比如火使人温暖，水使人清醒，是因为不这样就要吃苦头; 但是从理论上看，我们的理性无论如何也得不出普遍必然因果关系。他写道：“关于原因与结果我们的一切推论无非是由习惯来的；信念与其说是我们天性中思考部分的行为，不如说是感觉部分的行为比较恰当。”这不仅仅是在哲学上对欧式几何的批判,而在理论上,欧式几何的缺陷也被更加严谨的后辈数学家所发现,像被大数学家达朗贝尔戏称为“几何学的家丑”的第五公设让许多数学家感到困扰.随着时代的进步,非欧几何也将进入我们的视线.非欧几何的产生与发展非欧几何在第五公设的极度不和谐之下诞生了，这是几何学新的篇章，也为几何学注入了新的活力。非欧几何的诞生是有三位不同国度的数学家在互相不知情的情况下用相似的方法独立创立的.他们从普莱费尔公设(也就是第五公设的等价替代公设)出发,判定过已知直线外一点能够做多余一条,恰好一条,或者没有一条直线平行于已知直线这三种可能性,分别对应锐角直角钝角假设.在各自的辛勤努力之下,他们实现了锐角假设下的几何的和三角的推演,而从此之后新的几何学也就诞生了.来自匈牙利的鲍耶和来自俄罗斯的罗巴切夫斯基都是因为对非欧几何学的发展贡献而名垂史册,还有一位数学家则是大名鼎鼎的数学王子高斯,但是由于种种原因,高斯并没有对外发表所获得的研究成果.从狭义上来说,非欧几何是指罗氏几何学,但是从广义上来说,非欧几何学还包括了黎曼几何学,黎曼发展了几何学, 他在1851年所作的一篇论文论几何学作为基础的假设中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。他把欧式几何和罗氏非欧几何学变成了其黎曼几何学中的特例.作为高斯的得意门生,黎曼继承和发展的高斯的内蕴微分几何,并融合了自己对几何学的认知,将其中的欧式空间推广到了任意n维空间，随着“平行公设对于欧式几何其他公设的独立性”被众多欧洲数学家的证明与解释，黎曼几何学也登堂入室，成为了地位最高的几何学, 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何,这也说明了黎曼几何学是适用于较为普遍意义的几何学.非欧几何学的产生也给世界带来一定的冲击.非欧几何对哲学的影响非欧几何的出现让许多的数学家陷入迷惑，什么才是真理。非欧几何的出现也让哲学家更加猛烈的互批互斗，让哲学家对所谓的理性又了更深入的思考。从前的哲学家总是固执的认为欧式几何是不可推翻的真理,使我们唯理性洞察力思考的典范.但是当后代数学家一次又一次的冲击之后，欧式几何也显示出它的不合理部分，它并不能够代表几何的全部。同样的，非欧几何学也不能带表几何学的全部。哲学家在非欧几何学出来之后对欧式几何和非欧几何又进行了深入的思考。几何学对于哲学甚至还把物理学拉了进来。在埃及作为经验科学到希腊的演绎科学，再到经过高度完善程度的逻辑分析，数学家们发现几何学有好多种，总之，在哲学家的眼中，因为数学与物理中的几何学的混战，几何学貌似又成为了经验科学。在哲学上的认知之后，数学的几何学被归结为分析真理，几何学的综合部分便划归为经验科学了。唯理论哲学家确实是失去了他的最有力最好的伙伴，而经验论的道路则是越来越平坦。从历史的角度看待哲学与几何学说到从历史的角度看待哲学与几何学，我不禁想到大文豪萧伯纳的一句戏言：“科学总是由正确走向错误。“虽然说是戏言，但是也反映了一个哲学道理，事物是变化发展的，人的认识也是一样，由一个不知到知，由浅到深的发展过程。从欧式几何到非欧几何，从罗氏几何到黎曼几何，在历史的变迁中，数学家们的思维在不断完善，而哲学家们也从唯理论哲学辩到经验论哲学，并从几何学中划分出数学上的几何学和物理学上的几何学。其实这不仅仅是对几何学的分类，更是哲学与数学对真理的追求。何谓真理，以前的数学家认为公理是自明之理，就是真理。但是现在随着多种几何学的发展，随着历史的进步，数学家看法发生了改变，没有什么自明自理，公理也不一定要是真理，公理只是作为数学家对数学对象的性质的约定，这也是为什么有多种几何学的百花齐放。历史往往又是相似的，抛开我们的几何学不说。在物理上，牛顿的经典力学也曾经是雄霸天下，没有人敢去动摇牛顿这座大山。但是随着人类进步，在天文上，在高速运动中，经典力学并不是十分适用了。而狭义相对论的出现则让物理学界看到了新的曙光，作为时空观念的一次深刻变革，它揭示了时间和空间的统一性。物质与运动的统一性。成为了现在的高端科学理论。而在研究围观物质的时候，早期的经典力学把物质分为波和粒子，而在随后的研究中，科学家们发现物质并不是只局限于某一个状态，他们发现了波粒二象性指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。而几何学从与现实生活密切相关的欧式几何到实用物理的黎曼几何，期间也经历了许多的发展和论证。而其理论对哲学的影响也是非常深远。同时也给大家带来了许多思考的空间。结语不论是欧式几何还是非欧几何，抑或是唯理论哲学还是经验论哲学。它们都是在历史的长河中不断进步，不断发展。数学家对真理和公理的区别也逐渐明朗，哲学家对理性洞察力和经验主义理论的研究也越加深入。总而言之，数学对哲学有着较大的影响，数学与哲学在历史中共同进步和发展。那么，现在而言，几何学是不是就没有发展空间了呢?人类对哲学的研究是不是就会到此为止了呢？答案是否定的。我想,欧式几何与非欧几何也不是绝对真理,而是相对真理,现在的哲学体系也不是说就完全没有漏洞，随着人类科学技术的发展和对数学的进一步发现,我们会发现更新更具普遍意义的理论，同样的，哲学也是如此。参考文献数学与哲学 张景中 著 大连理工大学出版社数学与人类文明 蔡天新 著 浙江大学出版社科学哲学的兴起 H.赖欣巴哈 著 商务印书馆科学哲学 亚历山大.伯德 著 中国人民大学出版社大学物理 浙大物理系 著 浙江大学出版社 百度百科 非欧几里得几何