鲁教版七年级上册数学第四章实数辅导讲义.doc

七年级数学

个性化辅导讲义

第 四 讲：实数

任课教师：张修伟

数学学科辅导讲义
授课对象
小班课
授课时间

教学目标
理解无理数、平方根、立方根的概念和意义
教学重点和难点
理解无理数、平方根、立方根的概念和意义
考点分析
无理数、平方根、算术平方根、立方根
教学流程及授课详案
实数
【知识要点】
1、 无理数：无限不循环小数
常见类型 （1）开不尽的方根，如：、、、等；
（2）含有的数，如：2、3+等；
（3）无限有规律但不循环的数，如：4.323323332……等；
注意：0.10010001是有理数。
例：在，,0,,，0.010010001……，，－0.333…，， 3.1415，2.010101…(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ）
A.2个 B.3个 C .4个 D.5个

2、 平方根：如果x=a，那么x= ,即叫做a的平方根,
其中叫做a的算术平方根
注意：①负数没有平方根和算术平方根,即中的a0；
②0的平方根和算术平方根都是0,即；
③一个正数有两个平方根，它们互为相反数，但它的算术平方根只有一个。

例1：4的平方根是（ ）
A. B.16 C. D.2

例2：的算术平方根是（ ）
A. B.9 C. D.3

例3：已知一个正数的两个平方根是2a-2和a-4,则a=
3、立方根：如果x=a，那么x= 就叫a的立方根。
注意：任何数都只有一个立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0，正数的立方根是正数。
例1、计算的结果是（ ）
A. B. C.3 D.-3

例2：立方根等于本身的数有

4、 估算与比较

I估算无理数的值——找出此数前后最近的两个可开方的数进行开方，开方结果就
是此数数值的范围
II比较无理数的大小——分别作相同次数的乘方，将乘方结果进行比较即可（两数同号时才能使用此法）
例1：估计的值在（ ）
A.1到2之间 B.2到3之间 C.3到4之间 D.4到5之间
例2：比较大小： 7

5、实数：有理数和无理数统称为实数。

1、实数有以下两种分类方法：
（1）按定义分类 （2）按大小分类

2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如的相反数为，倒数为，的绝对值为。
3、实数与数轴上点的关系：
实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。

6、非负性及应用

1、非负数包括正数和零
2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下：
①若a是实数，则；
②若a是实数，则（n为正整数），当n=1时，a2≥0；
③（n为正整数）在实数范围内有意义，则，此时；
3、非负数有如下性质：
①有限个非负数之和是非负数；
②有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。

一、巩固练习
基础演练
1、、、……这十个数中，无理数有 个
2、 （1）已知a的算术平方根是9，则a= （2）的平方根是
（3）平方根等于本身的数有　　 ，算术平方根等于本身的数有
能力提高
1、下列运算中错误的有（ ）个 W w . X k b 1.c O m
① ②=± ③ ④ ⑤±
A． 　４ 　 B．３　 C．２ 　 D．１
2、下列说法：①－64的立方根是4，②49的算数平方根是±7 ，
③的立方根是④的平方根是 其中正确说法的个数是 （ ）
A.1 B.2 C .3 D.4
3、下列各组数中互为相反数的是（　　）
Ａ、－２与Ｂ、－２与　Ｃ、－２与　Ｄ、与2
4、边长为2的正方形的对角线长是（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 4
5、满足的整数是（ ）
A、B、 C、 D、
6、 若与|b+1|互为相反数,则b-a的值为（ ）
A. B. C. D.
归纳总结
1、 注意算术平方根与平方根的区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根却有两个，它们互为相反数；
2、 注意特殊数字的平方根、算术平方根和立方根（如：-1、0、1）；
3、 估算与比较，别忘开方与乘方。

【经典例题】
类型一．有关概念的识别
　　1．下面几个数：0.23 ，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（ ）
　　A、1　　　 B、2　　　 C、3 　　　D、4
　　解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数
　　举一反三：
　　【变式1】下列说法中正确的是（ ）
　　A、的平方根是±3　 B、1的立方根是±1　
C、=±1 　 D、是5的平方根的相反数
　　【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

　　A、1　　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、

　　【变式3】

类型二．计算类型题
　　2．设，则下列结论正确的是（ ）
　　A. 　　　　　　B.
　　C. 　　　　　　D.
　　　举一反三：
　　【变式1】
1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.
2） -27立方根是__________. 3）___________，
3） ___________，___________.

　　【变式2】求下列各式中的
　　（1） 　　　（2）　　　　（3）

类型三．数形结合
　　3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
　　解析：在数轴上找到A、B两点，
　　举一反三：
　　【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．

　　A．－1 B．1－ C．2－ D．－2
　　[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

　化简

类型四．实数绝对值的应用
　　4．化简下列各式：
　　(1) |-1.4|　　　(2) |π-3.142|

(3) |-| 　　　(4) |x-|x-3|| (x≤3)

　　分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
　　　　举一反三：
　　【变式1】化简：

类型五．实数非负性的应用
　　5．已知：=0，求实数a, b的值。

举一反三：
　　【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

【变式2】已知那么a+b-c的值为___________

类型六．实数应用题
　　6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
　　解：设新正方形边长为xcm，
　　　　根据题意得 x2=112+13×8
　　　　∴x2=225
　　　　∴x=±15
　　　　∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
　　　　∴只取x=15(cm)
　　答：新的正方形边长应取15cm。
　　举一反三：
　　【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

　　（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？
　　（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.

　　解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
　　　　　　　 ，所以面积为=
　　　　　　　 大正方形的面积=，
　　　　　　　 一个长方形的面积=。
　　　　　　　 所以，

　　　　　　　 答：中间的小正方形的面积，
　　　发现的规律是：（或）
　　　 　(2)

类型七．易错题
　　7．判断下列说法是否正确（ ）
　　（1）的算术平方根是-3；　　　（2）的平方根是±15.
　　（3）当x=0或2时，　　　（4）是分数
　类型八．引申提高
　　8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
　　　　　　（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③
　　（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
　　解：　　

【课堂检测】
1、在中，属于有理数的是 属于无理数的是
2、（1） ； 。
（2） 。
（3）若= 。
（4）计算 。
3、比较大小（1） （2） 。
4、下列语句中不正确的是（ ）
A．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽； B．8的立方根是±2；
C．绝对值等于的实数是 D．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。
5、与相乘，结果为1的数是（ ）
A． B． C． D．
6、下列计算正确的是（ ）
A B C.D．
7、数轴上表示实数的点在表示的点的左边，则式子的值是（ ）
A．正数 B．-1 C．小于-1 D．大于-1
8、化简，甲乙两同学的解法如下：甲：；
乙：，对于他们的解法，正确的是（ ）
A．甲、乙的解法都正 B．甲正确、乙不正确
C．甲、乙的解都错误 D.正确、甲不正确
9、计算或化简：
（1） ；

（2） ；

（3） ；

（4） ；

（5） 已知，求

（6） 已知的值。

（7）；

（8）；

（9）；

（10）。

10、 已知y=+18,求代数式的值。

11、细心观察右图和认真分析下列各式，然后解答问题：
， ；
， ；
， ；……
（1）请用含的（为正整数）的等式表示上述变化的规律；
（2）推算出 ， ； ， ；
（3）求出的值。

实数习题精选
一、 选择题：
　　1．的算术平方根是 （ ）
　　A．0.14 　　　B．0.014　　　 C． 　　　D．
　　2．的平方根是 （ ）
　　A．－6 　　　B．36　　　 C．±6 　　　D．±
　　3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；
③的立方根是2；④，
　 　　其中正确的个数有 （ ）
　　A．1个 　　　B．2个　　　 C．3个 　　　D．4个

　　4．在下列各式中，正确的是 （ ）
　　A．; 　　 B．;　　
C．;　　 D．
　　5．下列说法正确的是 （ ）
　　A．有理数只是有限小数 　　B．无理数是无限小数　　
C．无限小数是无理数 　　 D．是分数
　　6．下列说法错误的是 （ ）
　　A． 　B． 　
C．2的平方根是 　D．
　　7．若，且，则的值为 （ ）
　　A．　　　 B． 　　　C． 　　　D．
　　8．下列结论中正确的是 （ ）
　　A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; 　B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;
　　C. 两个无理数之和一定是无理数; 　　　D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
　　9．-27 的立方根与的平方根之和是 （ ）
　　A．0 　　　B．6　　　 C．0或-6　　　 D．-12或6

　　10．下列计算结果正确的是 （ ）
　　A．　B． C．　 D．

　　二．填空题:
　 11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、
　　　　⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有__________；无理数的有__________.（填序号）
　　12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.
　　13．算术平方根等于它本身的数是__________；
立方根等于它本身的数是__________.
　　14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．
　　15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.

　　三、解答题： 计算或化简：
　(1) 　(2) 　　　　　(3)

(4) 　　　　(5) 　　(6)