高一数学必修一重点方法讲解.doc

高中必修一一些重点

函数值域求法十一种 2
复合函数 9
一、复合函数的概念 9
二、求复合函数的定义域： 9
复合函数单调性相关定理 10
函数奇偶性的判定方法 10
指数函数： 12
幂函数的图像与性质 15

函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数的值域。
解：∵
∴
显然函数的值域是：
例2. 求函数的值域。
解：∵

故函数的值域是：

2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数的值域。
解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，
故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法
例4. 求函数的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为

例5. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：（1）
∵
∴
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵

代入方程（1）
解得：
即当时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数值域。
解：由原函数式可得：
则其反函数为：，其定义域为：
故所求函数的值域为：

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：
∵
∴
解得：
故所求函数的值域为

例8. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：

即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为

6. 函数单调性法
例9. 求函数的值域。
解：令
则在[2，10]上都是增函数
所以在[2，10]上是增函数
当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：

例10. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数
所以，在上也为无上界的增函数
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值
显然，故原函数的值域为

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数的值域。
解：令，
则
∵
又，由二次函数的性质可知
当时，
当时，
故函数的值域为

例12. 求函数的值域。
解：因
即
故可令
∴

∵

故所求函数的值域为

例13. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：
可令，则有

当时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为

例14. 求函数，的值域。
解：

令，则

由
且
可得：
∴当时，，当时，
故所求函数的值域为。

例15. 求函数的值域。
解：由，可得
故可令

∵

当时，
当时，
故所求函数的值域为：

8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为：

例17. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，
故所求函数的值域为

例18. 求函数的值域。
解：将函数变形为：
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。
即：
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

9. 不等式法
利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数的值域。
解：原函数变形为：

当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：

例20. 求函数的值域。
解：

当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：

10. 一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数的值域。
解：∵定义域为
由得
故或
解得
故函数的值域为

11. 多种方法综合运用
例22. 求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法

例23. 求函数的值域。
解：

令，则

∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
复合函数
一、复合函数的概念
如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：
（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]
例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]
（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。
例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]
（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。
答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3]
三、求复合函数的解析式。
1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求
解：设 ，则

2、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2 已知 ，求 的解析式
解：，

3、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知，求
解：令，则，

复合函数单调性相关定理
1、引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数
证 明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

2、引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
3、总结 同增异减
函数奇偶性的判定方法
1．定义域判定法
例1　判定的奇偶性．（非奇非偶）
2．定义判定法f(x)与f（-x）关系
　例2　判断的奇偶性．（偶）
3．等价形式判定法
例3　判定的奇偶性．（奇）
评注：常用等价变形形式有：若或，则为奇函数；若或，则为偶函数（其中）．
4．性质判定法
例4　若，是奇函数，是偶函数，试判定的奇偶性．
评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
5、练习
（1）.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (－∞,－1
（2）(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是__(－∞,0）_______.
(1)令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减.
(2)∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
2.奇偶性
记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]，
如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，
则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；
当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。
所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。
在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。
二 加减函数
1.增减性 对于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，减+减=减， 减+增则无定则
2.奇偶性 对于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则
三 相乘函数
1.增减性
对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信 ,很好 ,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减.
2.奇偶性
对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推.
指数函数：
定义：函数叫指数函数。 定义域为R，底数是常数，指数是自变量。
要求函数中的a必须。因为若时，，当时，函数值不存在。
，，当，函数值不存在。时，对一切x虽有意义，函数值恒为1，但
的反函数不存在， 因为要求函数中的。
1、对三个指数函数的图象的认识。

图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于x轴上方；
（1）x取任何实数值时，都有；
（2）图象都经过点（0，1）；
（2）无论a取任何正数，时，；
（3）在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，的图象正好相反；
（3）当时，
当时，

（4）的图象自左到右逐渐上升，的图象逐渐下降。
（4）当时，是增函数，
当时，是减函数。

对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和相交于，当时，的图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有及。
②与的图象关于y轴对称。
③通过，，三个函数图象，可以画出任意一个函数（）的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：
定义：如果，那么数b就叫做以a为底的对数，记作（a是底数，N 是真数，是对数式。）
由于故中N必须大于0。
当N为零的负数时对数不存在。
（1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求 解：设
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求中的，化为对数式即成。
（2）对数恒等式： 由
将（2）代入（1）得
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
计算： 解：原式。
（3）对数的性质：
①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。
（4）对数的运算法则：
①
②
③ ④

3、对数函数：
定义：指数函数的反函数叫做对数函数。
1、对三个对数函数
的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于 y轴右侧；
（1）定义域：R+，值或：R；
（2）图象都过点（1，0）；
（2）时，。即；
（3），当时，图象在x轴上方，当时，图象在x轴下方，与上述情况刚好相反；
（3）当时，若，则，若，则；
当时，若，则，若时，则；
（4）从左向右图象是上升，而从左向右图象是下降。
（4）时，是增函数；
时，是减函数。
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是与在点（1,0）曲线是交叉的，即当时，的图象在的图象上方；而时，的图象在的图象的下方，故有：；。
（2）的图象与的图象关于x 轴对称。
（3）通过，，三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作的图象，它一定位于和两个图象的中间，且过点（1,0），时，在的上方，而位于的下方，时，刚好相反，则对称性，可知的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

4、对数换底公式：

由换底公式可得：
由换底公式推出一些常用的结论：
（1） （2）
（3） （4）
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称
题型
解法
基本型
同底数型
不同底数型
需代换型

取以a为底的对数
取以a为底的对数
取同底的对数化为
换元令转化为的代数方程
对数方程的题型与解法：
名称
题型
解法
基本题

对数式转化为指数式
同底数型

转化为（必须验根）
需代换型

换元令转化为代数方程
幂函数的图像与性质
一、幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
分数指数幂
正分数指数幂的意义是：（，、，且）
负分数指数幂的意义是：（，、，且）
1、 幂函数的图像与性质
幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．
从中可以归纳出以下结论：
① 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．
② 时，幂函数图像过原点且在上是增函数．
③ 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．
④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

奇函数
偶函数
非奇非偶函数

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

O
x

y

x
O
y

例1、 右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是 （ ）

解：取，由图像可知：，，应选．
三．两类基本函数的归纳比较：
① 定义
对数函数的定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.
②性质
对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；
过点（1，0），即当=1，=0；
在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数
幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，
图象都过点（1，1）＞0时，幂函数的图象都通过原点，
在[0，+∞]上，、、、是增函数，
在（0，+∞）上， 是减函数。
例1．已知函数，当 为何值时，：
（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
简解：（1）或（2）（3）（4）（5）
变式训练：已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。
简解：解得：
小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。
例2．比较大小：
（1） （2）（3）（4）
解：（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，，∴
（3）∵在上是减函数，，∴；
∵是增函数，，∴；
综上，
（4）∵，，，∴

例1 求下列函数的单调区间： y=log4(x2－4x+3)
解法一：设 y=log4u,u=x2－4x+3.由
u＞0,
u=x2－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.
当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
解法二：u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＜2 (u减)
解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.
由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log (2x－x2)
解： 设 y=logu,u=2x－x2.由
u＞0
u=2x－x2
解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.
由于y=logu在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.
易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由
0＜x＜2 （复合函数定义域）
x≤1，(u增)
解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.
又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减)
解得1≤x＜2,所以[1，2)是原复合函数的单调增区间.
例3、求y=的单调区间.
解： 设y=,u=7－6x－x2,由
u≥0,
u=7－6x－x2
解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.
因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.
易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。由
-7≤x≤1,（复合函数定义域）
x≤-3,（u增）
解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是复合函数的单调增区间.
易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16在x≥－3时单调减，由
－7≤x≤1 (复合函数定义域)
x≥－3， (u减)
解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.

例4 求y=的单调区间.
解 ： 设y=.由 u∈R, u=x2－2x－1,解得原复合函数的定义域为x∈R.
因为y=在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.
易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由
x∈R, (复合函数定义域)
x≤1， (u减)
解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.
注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.
练习
求下列复合函数的单调区间.
1.y=log3(x2－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)
2.y=log(x2－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.)
3.y=,(答：［2，是单调增区间，］［，3］是单调减区间.)
4.y=;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)
5.y=;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)
6.y=,(答(－∞，+∞)为单调减区间.)
7.y=；(答：(0，+∞)为单调减区间.)
8.y=；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.)
9.y=；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.)
10.y=；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)