矩阵的合同-等价与相似的联系与区别.doc

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
一、基本概念与性质
（一）等价：
1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为。
2、矩阵等价的充要条件：
3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性相关性却不相同。
(二)合同：
1、概念,两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得成立，则称A，B合同，记作该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则二次型与有相等的E负惯性指数,即有相同的标准型。
（三）相似
1、概念：n阶方阵A，B，若存在一个可逆矩阵P使得成立,则称矩阵A,B相似,记为。
2、矩阵相似的性质：
3、矩阵相似的充分条件及充要条件：
①充分条件:矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子.
②充要条件:
二、矩阵相等、合同、相似的关系
（一）、矩阵相等与向量组等价的关系:
设矩阵 ，
1、若向量组（）是向量组（）的极大线性无关组,则有，即有两向量等价,而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然但不能得出。
2、若m=n，两向量组（）(）则有矩阵A，B同型且。
3、若两向量组秩相同，两向量组等价,即有
综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推.
(二）、矩阵合同。相似，等价的关系。
1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。
2、合同、相似、等价之间的递推关系
①相似等价：A,B同型且
②合同等价：同型且
③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以
Ⅰ、若A，B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当时，二次型与有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数
即有
Ⅱ、存在一个正交矩阵P，即使得即则有 即有
Ⅲ、若A，B实对称,且存在一个正交矩阵P，则
时有
Ⅳ、、、
下面讨论时成立的条件.
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知
存在正交矩阵P时，有,则
记则
此时
即P为正交矩阵时,由
（三)
1、矩阵等价:①同型矩阵而言
②一般与初等变换有关
③秩是矩阵等价的不变量，同次,两同型矩阵相似的本质是秩相等
2、矩阵相似:①针对方阵而言
②秩相等是必要条件
③本质是二者有相等的不变因子
3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵
②秩相等是必需条件
③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同
由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量,等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵