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如何数复杂图形中三角形的个数
作者姓名：曾祥云 电子邮箱：zxy831gz@ QQ：164105250

我们常常会遇到数一个图中有多少个基本图形的问题，比如一个图中有多少个长方形、正方形、三角形等。对于长方形和正方形来说，由于规律性比较强学生觉得比较容易，但对于三角形则往往觉得比较复杂，有时甚至无从下手。拙文从有规律图形和复杂图形两方面来探讨数三角形个数的方法，重点通过一个实例展示数复杂图形中三角形个数的一种方法。
一、有规律图形中三角形的个数的计算方法。
如图1所示，这种图形中三角形的个数可用公式来表示，其中为BC上的顶点数。其实质就是数BC边上线段的条数，每条线段对应一个三角形。
图2所示的图形中三角形的个数则可以用来表示，的含义同上，为端点分别在AB和AC上的连线的数量。
以上两种情况比较常见，在后面的方法中也常常要用到。
二、复杂图形中三角形个数的计算方法。
在图3所示的图形中，常用的方法是先按图2的方法计算出有顶点在A的那部分三角形个数，再加上没有顶点在A的三角形的个数。这样图3中三角形的个数为：

对于图4中有多少个三角形，则会让人产生一种无从下手的感觉！
对于这种图形，我们可以采用一种暂且命名为“相关擦除法”的方法来计算，下面以图4为例详细介绍“相关擦除法”的使用方法。
首先计算一个顶点在A的三角形的个数，也就是与A点相关的三角形的个数：
………………………………………………（1）
然后擦除原图中其它部分与A点的连线，将它变成图4-1，已擦除的连线用虚线表示，也就虚线应视为不存在的线，只是为了便于联系原图而画出来的，下同。上述个数加上图4-1中三角形的个数就是图4中所有三角形的个数。因为，（1）式中的三角形个数是与A点有关的，而图4-1中三角形的个数则是原图中与A点无关的。
图4-1中与B点相关的三角形的个数为：
…………………（2）
计算出与B点有关的数据后就可以擦除与B点有关的连线，简化成图4-2。依此类推，计算与C点有关的三角形个数后，再变成图4-3。
由于图4-2是一个不规则的图形，其三角形的个数不方便用前面的公式来计算，因此，我们有必要找一种数三角形的方法，而不再是公式。
可以这样数，从C点出发按顺时针或逆时针方向，数一数一共可以构成多少条三角形回路就行了。现在用逆时针方向来数，从C向A，第一条边有2种选择，分别有2条三角形回路，共4个三角形；再从C向D，第一条边会有5种选择，共有个三角形；再从C向E走，则有2个三角形。这样，图4-2中与C点相关的三角形个数为：
………………………………………………………（3）

图4-3再去掉无三角形的相关点则变成了图4-4。
在图4-4中，我们可以继续用上述方法将图形简化下去，也可以直接数出个数。
我们用前面的方法，得到图4-4中与实线大三角形三个顶点有关的三角形总数为：
………………………………………………………（4）
并将图简单化为图4-5。
而图4-5中三角形的个数为：4…………………………………（5）
由（1）~（5）式，我们得图4中三角形的总个数为：

上述做法只是为了用尽量少的步骤来完成计算，如果为了更加简单地完成全部三角形的个数的计算，则可以从连线少的点进行简化，比如在计算与C点相关的三角形个数这一步，改为先计算与D或E点相关的三角形个数并擦除，再从某个连线较少的顶点来计算相关三角形个数并擦除……这样的步骤可能会多一些，但每一步数错的机会则大为减少。在教学中，我们对同一个题目完全可以采用不同的相关擦除路径，让学生感受到不同路径的优缺点，并体验异曲同工之妙。

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