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2.1合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
归纳推理
[提出问题]
如图(甲)是第七届国际数学训练大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，假如把图(乙)中的直角三角形依此规律连续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an}，
问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．
提示：由图知：a1＝OA1＝1，
a2＝OA2＝＝＝，
a3＝OA3＝＝＝，
a4＝OA4＝＝＝＝2.
问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？
提示：能猜想出an＝(n∈N*)．
问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？
提示：全部三角形的内角和都是180°.
问题4：以上两个推理有什么共同特点？
提示：都是由个别事实推出一般结论．
[导入新知]
1．归纳推理的定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
[化解疑难]
归纳推理的特点
(1)由归纳推理得到的结论具有猜想的性质，结论是否正确，还需经过规律证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；
(2)一般地，假如归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越牢靠.
类比推理
[提出问题]
问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四周体中，各个面的面积之间有什么关系？
提示：四周体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四周体中，如何表示四周体的体积？
提示：四周体的体积等于底面积与高乘积的.
问题3：以上两个推理有什么共同特点？
提示：依据三角形的特征，推出四周体的特征．
问题4：以上两个推理是归纳推理吗？
提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．
[导入新知]
1．类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．
2．类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理．
[化解疑难]
对类比推理的定义的理解
(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．
(2)对象的各共性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，假如两个对象有些性质相像或相同，那么它们另一些性质也可能相像或相同．
(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的学问动身，通过类比提出新问题和获得新发觉．
数、式中的归纳推理
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
[解] 当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－S1＝－，所以S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，所以S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，所以S4＝－.
猜想：Sn＝－，n∈N*.
[类题通法]
归纳推理的一般步骤
归纳推理的思维过程大致是：试验、观看→概括、推广→猜想一般性结论．该过程包括两个步骤：
(1)通过观看个别对象发觉某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
[活学活用]
将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
…
依据以上排列的规律，求第n行(n≥3)从左向右数第3个数．
解：前(n－1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.
图形中的归纳推理
[例2] (1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31
C．32 D．36
(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是由于个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．
[解析] (1)选B 法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.
(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
[答案] (1)B (2)28
[类题通法]
解决图形中归纳推理的方法
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
[活学活用]
如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为( )
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
C．n2 D．n
解析：选B 第一个图形共有12＝3×4个顶点，其次个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点.
类比推理
[例3] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
[解析] 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，
则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，
T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，
T16＝bq1＋2＋…＋15＝bq120，
∴＝bq22，＝bq38，＝bq54，
即2＝·T4，2＝·，
故T4，，，成等比数列．
[答案]
[类题通法]
类比推理的一般步骤
类比推理的思维过程大致是：观看、比较→联想、类推→猜想新的结论．
该过程包括两个步骤：
(1)找出两类对象之间的相像性或全都性；
(2)用一类对象的性质去猜想另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
[活学活用]
已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，则N点的坐标为(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，
∴－＝1，得n2＝m2－b2，
同理y2＝x2－b2.∴y2－n2＝(x2－m2)．
则kPM·kPN＝·＝
＝·＝(定值)．
∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
[典例] 三角形与四周体有下列相像性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简洁的封闭图形；四周体是空间中由三角形围成的最简洁的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四周体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，依据三角形的性质推想空间四周体的性质，并填写下表：
三角形
四周体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
[解] 三角形和四周体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四周体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四周体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四周体的二面角，三角形的内切圆对应四周体的内切球．具体见下表：
三角形
四周体
三角形的两边之和大于第三边
四周体的三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
四周体的中截面的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
四周体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四周体内切球的球心
[多维探究]
1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
平行四边形
圆
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四周体
六面体
球
2．常见的从平面到空间的类比有以下几种状况，要留意把握：
(1)三角形类比到三棱锥：
例：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC相互垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，争辩三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则________________________________________________________________________”．
解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直角三棱锥的侧面积、底面积”．
答案：S＋S＋S＝S
(2)平行四边形类比到平行六面体：
例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”．类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“______________________________________”．
解析：“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”．
答案：平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和
(3)圆类比到球：
例：半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr ①，
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：__________________________，
②式可以用语言叙述为：_________________________________________________.
解析：通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发觉′＝4πR2，从而使问题解决．
答案：′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
(4)平面解析几何类比到空间解析几何：
例：类比平面内一点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2≠0)的距离公式为d＝________________________________________________________________________.
解析：类比平面内点到直线的距离公式d＝，易知答案应填.
答案：
[随堂即时演练]
1．依据给出的等式猜想123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
解析：选B 由题中给出的等式猜想，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.
2．平面内平行于同始终线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )
A．空间中平行于同始终线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同始终线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
解析：选D 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四周体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
4．观看下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第五个等式为________．
解析：观看等式，发觉等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
5.如图，已知O是△ABC内任意一点，连结AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1.
这是平面几何中的一道题，其证明常接受“面积法”：
＋＋＝＋＋＝＝1.
运用类比猜想，对于空间中的四周体VBCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．
解：如图，设O为四周体VBCD内任意一点，连接VO，BO，CO，DO并延长交对面于V′，B′，C′，D′，类似结论为＋＋＋＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．
由于＝＝(其中h′，h分别为两个四周体的高)，
同理＝，＝，＝
所以＋＋＋
＝＋＋＋＝1.
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