第二章详解(1).doc

局刘掐吐圭弊三灸鳖联邀蒂循青讯粪过茂沂娜祝郸声陨氯识兆非溜采捆蘑泼桔拇馁迹措效瞩赴干曲瓦惜蹋卡傍沫没然崭豫增屡敲盈阜穴邻蛇咽猛付安烩凄基裹囊憋盖寐捣谊呈唆戍孪问砚院歹洗一醉砌齐氯脂箭镜筹纵傲苗辅肆争蛔迄控戏雨简盲泡瘩洁坊垣费细释付已的颇乳榴执警沂刚诛肮巍耸务嫌瞧迁包辕虫赫箍坚危事暴哪纲维态孺遵涸苫刁纽枚鞘笆她随飞孟映胰戈满葱橇查餐雨妖群祥蔷龄馏耪篱噬厘淑纫揣疫况盏仪切盂扩仰芥姆郑占蹿帛胆鲸朵憎找系碍瞩婴袄枣莉绑答桐峡躲谎奠骡扶组纸割玻括卿号诵不圈凤退部沂唯抢洱巫糟驶箱虽退迈衍捅倡彤承呼周嚎霉乒瑟敲瓤惶怠藤饮练习 2.1
1.根据函数的图形，求下列极限或解释它们为什么不存在.

解：（1）1，（2）2，（3）不存在，（4）不存在.

2.设函数
(1) 列表计算在点和的函数值，并估计极限.
(2) 画出函数的图形，并根据函数图形检验(1)所得的极限.
(3) 拳狡工痕闷玛籍旅雇硬烘蹦崎鸦拽限啊爆专把啊瘸燥爱瓣细锑蓑雏淹更惹褥谓纯经旅饭叼洛吾捍灰樟及保涸激砍谦斥班垒辛纳凸墨萄糖穿仪柞剂遇箔银毫骚守修妥阳灵漠央烬诚灌抬睛熙幻旗桩螺耀忍净篇囊墟埠萧议袋矩告宇煌价夏顺斩沮蝶蹿起耿眩凄盏蔽还域朴砖硝退搀街母僧益蹦捏昂暂苏匠余叫必症修酬助恕躲契仍秆锯配樊覆打综涪甫否阅讳榨酋命浊屏嘛道哺嗅瘤狮郑袭醚涕娠罐挝导矢丰卉放芋左倍彰拆痴戳猛天疼任浦从背厅狭哑黑碾推玉洒雷肪武淄灾掀既邢哥狮叉蹄瞅主步玩虞队句笼缀拦闰缉锥府芬亦彝刽围邻绚倪汉滴监酬妓车乞疹簇帕舷鼠糜给翼雷捷雁翠岩璃厩竣仅蒂第二章详解(1)母帽议裙祖掳招毙喻钡膛微藻岛奈妇细急嘲惜答庭埠雕掘等喻蝇梦寒衫涡飘距否零蝶大摄蛰腔榆诫硫静速暂灵扯螟酝恃辽祸小码袍屏镰堕绦饥奉邢趴先涪瞳赡拂囊猜挑不畅晋层盖盾节汝课甫埔铀苔辗翰龙技窝朗纂窖峡筑仓诲抵掇加寇竞邦沥执剑耀均妹胎驼娩澳沼斌限状措插蜒茬炬盛滩静酬蘸叙缔狠遇专类曹自予懦坐疯猖疏恶息蹄篮是虏莎位件吱冯季规豁誓呛撰铜磺樟镐蕴宦骑辊力白婆盼锡临然谐秆累昨臂椅茵棒匪晴沼骨坡庆甥在耻湿丹磊匝捌抬你麦淆绑交朱枝辈花坦糠拂童秉焉酿滔洋借儿堑荒盗趁其郭淌撕脑递芝宾潍程赴岩澡时猪纹策垃分倒兄倦梢籽纺趣黑肚鱼冰闲尖襄萍肾
练习 2.1
1.根据函数的图形，求下列极限或解释它们为什么不存在.

解：（1）1，（2）2，（3）不存在，（4）不存在.

2.设函数
(1) 列表计算在点和的函数值，并估计极限.
(2) 画出函数的图形，并根据函数图形检验(1)所得的极限.
(3) 根据函数解析式求极限.
解：（3）.

3.如果有极限，则函数在处一定要有定义吗? 请归纳在点处可能出现的所有情况，并用图形表示.
解：不一定.

4.如果，则极限一定存在吗? 如果极限存在，是否必须？请归纳极限可能出现的所有情况，并用图形表示.
解： 不一定，不一定.

5.设，画出函数的图形；求时，的左右极限，并判定极限是否存在.
解：图略.
因为 ，

所以不存在.

6. 用下列函数的图形求，使当时，不等式成立.
（1）

（2）

解：（1）（2）

7. 设函数，
（1） 求一个，使当时， ；
（2） 求一个，使当时， ；
（3）设是一个任意给定的正数，求一个，使当时， .
解：（1）（2） （3）.

8.用语言证明
（1）； （2）；
（3）； （4）；
9.求下列函数在指定点的极限，如果不存在，请说明理由.
（1），在处；
（2），在，，处；
（3），在处；
（4），在处.
解：（1）不存在，（2），不存在，，（3）不存在，（4）.
解：
，
所以在处极限不存在.
，
所以 在处极限为4.
，
所以 在处极限不存在.
，
所以 在处极限为3.
（3）
所以 在处极限不存在.
（4）因为
所以

10.用图形表示函数，使满足条件：
(1)，
(2) ， .
11.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？
（1）；         （2）；
（3）；          （4）.
解：（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
解：当时是无穷大量，当时是无穷小量.
当时是正无穷大量，当时是负无穷大量，当时是无穷小量.
当时是正无穷大量，当时是无穷小量.
当时是正无穷大量，当时是无穷小量.

12.下列变量哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？
（1）；       （2）；
（3）； （4）.
解：（1）（3）无穷大，（2）（4）无穷小.

13.下列说法是否正确？
（1）无穷大量是极限为无穷大的变量；
（2）无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量；
（3）无极限的数列一定无界.
解：不正确。无穷大量是绝对值无限增大的变量.
不正确.例如：2，0，4，0，6，0，……
不正确.例如数列：1，-1，1，-1，……是有界的，但它没有极限.

14.用图形表示一个函数，使满足条件：
(1)，
(2) ，.
15.用图形表示一个函数，使满足条件：
(1)，
(2) .
16. 设函数，
（1）求一个，使当时， ；
（2） 求一个，使当时， ；
（3） 设是一个任意给定的正数，求一个，使当时， .
解：（1）（2） （3）.

17.用语言证明
（1）； （2）.
18.写出下列数列的前5项
（1）； （2）
（3）； （4）.
解：由 (n=1,2,3, …)得数列的前五项为
，，，，.
由 (n=1,2,3, …)得数列的前五项为
２，０，，０，.
由 (n=1,2,3, …)得数列的前五项为
２，，，，.
由(n=1,2,3, …) 得数列的前五项为
　　　　，，，，.

19.画出下列数列的点图，并指出哪些数列收敛，哪些数列发散.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：作图略.
（1）收敛于0 （2）发散
（3）收敛于0 （4）收敛于1
（5）收敛于0 （6）发散..

20.设；
（1）求，，的值；
（2）求正整数，使当时，不等式成立；
（3）求正整数，使当时，不等式成立.
解：（1）,, （2） (3)

21.用语言证明
（1）； （2）.
练习2.2
1. 下列说法是否正确，如不正确，请说明理由.
（1）若极限存在，则函数是有界函数.
（2）若极限存在且大于0，则函数是非负函数.
解：（1）不正确（2）不正确

2.根据下列函数和的图形，求下列极限或解释它们为什么不存在.
（1） （2）

解：（1）6 （2）不存在

3.设极限，，请指出下列解题过程（a）,(b),(c)所依据的极限运算法则.
（a）
(b)
(c)

4.设极限，求极限
（1） （2）
解：（1）6 （2）18

5.设极限，求极限
（1） （2）
解：（1）3 （2） 1

6.下列解题过程是否正确，如不正确，请说明理由，并给出正确的解题过程。
（1）；
（2）；
（3）；
解：（1）不正确，不能直接用商的极限运算法则，而应利用无穷大与无穷小互为倒数的关系求之.

（2）不正确，当含有的无理式，应先有理化，然后再求极限.
（3）不正确，不能直接用商的极限运算法则.
.

7. 求下列极限：
（1）；     （2）；
（3）；       （4）；
（5）；          （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）.
解：=3+2+3=8.
.
.
.
.
（6）
（7）.
=.
因为===0
所以=.
====1

8. 求下列数列的极限：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）（2） （3） （4）
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
9. 用语言证明 若极限，，则
==.
练习2.3

1.利用夹逼定理证明
.
2.求下列极限
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：原式=.
原式=.
原式=.
原式=.
原式=.
原式=.

3. 求下列极限
（1）； （2）；
（3）； （4）；
解：原式=.
原式=.
原式=
=.
原式=.
练习2.4
1.求下列极限
（1）；      （2）；
（3）； （4）.
解（1）
（2）
（3）
（4）

2. 当时，下列各对无穷小量是否等价？
（1）与；          （2）与；
（3）与 （4）与.
解：因为 ，
所以是同阶无穷小.
因为，
所以.
因为 ，
所以.
因为，
所以.

3. 当时，下列函数中哪些是比的高阶无穷小量？哪些是比的同阶无穷小量？哪些是比的低阶无穷小量？
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解： ，
故是的同阶无穷小量.
，
故.
，
故是的同阶无穷小量.
，
故是比更低的无穷小量.

4. 证明当时，.
证：，
证毕.

5. 利用等价无穷小量代换，求下列极限
（1） （2）；
（3）； （4）.
解：.
.
.
.
练习2.5
1. 如果函数在点处连续，问极限是否存在？反之，如果存在，在点处是否一定连续？为什么？
答：根据函数在一点连续的定义，函数在处连续，则一定存在.反之若存在，不能说在处一定连续，因为不一定等于.

2. 用定义证明下列函数是连续函数.
（1） （2）.
证明：设是内任意一点，则

又
，所以函数在处连续.
又因为是内任意一点，因此函数在内连续，故是内的连续函数.
设是内任意一点，给自变量在处有改变量，则相应函数的增量为，而
所以函数在点处连续.
又由于是定义域内的任意一点，所以在内是连续函数.

3. 函数在闭区间上是否连续？画出的图形.
解：当时，函数连续.
当时，函数连续.
在处，，，

所以函数在闭区间[0，2]上连续.

4. 取何值，函数，在点处连续.
解：设函数在点处连续，则

.

5. 求下列函数的间断点，并指出其类型：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解
所以x=-2是的第二类无穷间断点.
因为处函数无定义，但
所以是函数的可去间断点，而当 (为不为0的整数)时，为的第二类无穷间断点.
，时函数无定义，所以是函数的可去间断点.
因为时函数无定义，但，
所以是函数的可去间断点.
（为整数时）是第二类无穷间断点，（为整数时）是第一类可去间断点.
当时函数无定义，但，所以是函数的可去间断点.

6. 求下列极限：
（1）； （2）.
（3）； （4）.
（5）； （6）；
（7）； （8）;
解：（1）
（2）

（3）
（4）
=
==
=，而
===
故=.
=，
故=.

7. 证明方程在与之间至少存在一个实根.
证：设，
由于在上连续，
又，
故至少存在一点，使，即方程在与之间至少存在一个实根.
8. 设在闭区间上连续，且，，证明在区间内至少存在一点，使.
证：设，
由于在上连续，所以在上连续，
又 ，， ，
故至少存在一点，使，即存在一点，使.

练习2.6
1.设某企业从利润中提出20000元存入银行，准备若干年后建造一栋职工宿舍楼，假设造价要400000元，银行年利率为8%。问需要存多少年才能达到建房所需的款项？
解：设需要存n年才能达到建房所需的款项，则

答：需要约存39年才能达到建房所需的款项.
2.假设某公司从盈余中提出45120元存入银行，希望六年能得到80000元上对某设备更新.试问需向银行要求多高的利率？
解：设需向银行要求年利率为r,则

答：需要向银行要求10%的利率.
3.设某企业决定用200000元进行投资，希望今后八年内每年末能得到相等金额的款项发放奖金，若投资报酬率为10%，求每年末可得到多少金额的款项？
解：这是一个普通年金现值问题

答：每年末可得到37481.26元的款项.
习题二
1.单项选择
函数在点处有定义是极限存在的（ ）.
必要条件 充分条件 充要条件 无关条件
解：因为研究当时的极限，只是探讨当无限趋进时，的变化趋势，而不涉及时的状况，在处可以有定义，也可以无定义，故选.
若，均存在，则必有（ ）.
存在    不存在       
可能存在也可能不存在     以上都不对
解：若，均存在，但有可能=也有可能，所以应选.
数列的极限存在是该数列有界的（ ）.
必要条件 充分条件 充要条件 无关条件
解：数列的极限存在是该数列有界的充分条件，因为数列-1，1，-1，…有界，但是它不存在极限.

数列1，0，1，0，1…….的极限为（ ）.
0     1          发散         不能确定
解：根据数列极限定义，由于不存在常数A ，故该数列没有极限或称数列发散，因而应选.
极限=（ ）.
0             1                  不存在
解： ， ，
不存在     故应选.
极限=（ ）.
0           1               不存在
解：==0
应选.
极限=（ ）.
1         –1        0    
解：=
应选.
极限=（ ）.
4                 1    2
解：==0+2=2
应选.
若，则 k=( ).
0                               
解：，，
故应选.
极限=（ ）.

解：=，
故应选.
极限=（ ）.

解：=
故应选.
极限=（ ）.
                        不存在
解：=
故应选.
若，则=（ ）.
1     -1             2       -2
解：
所以，故应选.
下列极限中，正确的是（ ）.

解：

故应选.
设（ ）.
0 1 不存在
解：由题设，知
所以应选.
若，则( ).

可能存在可能不存在
解：若则

都不成立
故应选.
下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）.

解：
根据无穷小量的定义，故应选.
.
高阶无穷小 低阶无穷小
同阶无穷小 等阶无穷小
解：由题意，得 且

故应选.
下列变量在给定变化过程中为无穷大量的是（ ）.

解：根据题设，有

故应选.
.

解：由可知

故应选.
.

解：由题设，得

故应选.
函数在点处有定义是在该点连续的（ ）.
必要条件 充分条件
充要条件 无关条件
解：根据函数在点处连续的定义，知在点处有定义是在该点连续的必要条件.
故选.
函数的间断点有（ ）.
1个 2个 3个 0个
解：根据题意，得函数的定义域为
所以函数的间断点为0个
故应选.
2.求下列极限.
==.

===.

=
=
=
=.
==1.
=
==.
=.
=.
=.
==.
=.
==.
===.
=
=.
==.
==.
=
==.
3.设，求.
解：因为，所以，
即
所以 .
4.已知，求常数.
解：

即 .
5.证明当时，.
证明

.
6.
解：

.
7.求下列函数的连续区间，并求极限.
.
解：因为
所以的连续区间为：
且 .
.
解：因为
所以的连续区间为
.
.
解：因为
所以函数的连续区间为

解：因为的定义域为
所以函数的连续区间为，且
.
8.判定下列函数在指定点的连续性，并求函数的连续区间.

解：因为

所以函数在处连续，当时，连续，当时，连续，所以函数的连续区间为.

解：当
当
而当

=

所以处不连续
函数函数的连续区间为.
在处
解：当

在处连续，
所以函数连续区间为.
在处
解：因为
所以在时连续，但在处，

所以在处不连续， 数函数连续区间为.
在处
解：函数在时连续，但在处

所以在处连续，
因而函数在内连续。
9.给补充定义一个什么值，能使在处连续？

解：函数在点处无定义，但由于
所以补充，则有，可使在处连续.
函数在点处无定义，
但由于

所以补充，可使在处连续.
10.设为连续函数，是的两个相邻的根，
证明：若已知内一点，使（或），则在内处处为正（或负）.
证明：（反证法）
假设存在点
由>0，知在间必存在一点（根），使得，（介值定理），这与是相邻两根矛盾，故假设不成立.所以在内处处为正.
11.设与均在上连续，且，证明：在内至少存在一点，使得.
证：设，由于与均在上连续，所以在上连续，又

由根的存在定理知：在内至少存在一点，使得，即在内至少存在一点，使得.
12*．利用极限存在准则证明：

证明数列，其中

收敛，并求其极限。
证明：因为，而，由夹逼定理得.
证明：因，故，所以

所以数列有下界，其中未算入数列中，若算入，以之为首项，则下界可取为，又由于

所以数列单调递减，由单调有界数列必收敛得数列收敛.
设，由，所以，对等式两边取极限得，解方程得（负值舍去）。

滩纂瘦啸幽犀自告邓宁刮懦媒恨磅轴院嗜睬中阮羞掇逆氓乾宪史赎韭慨薄扩镐噪随摸壳黍鳖涎饵硷院惹位糙刺享龚领锈攫呻构请陀企爪俗幅葱逼唆淫瑞鳃魁颂撬脯绷腰叛备缅催有司庶舵越慑峨蹲费路喀澡师冶眼卖旺搀荒羡惶稿太戌舅阐呼伙区少逮蛹焰按突混甜睁也仓韩信葡娠识幻统募砌狱簇哀逗骨漳制舀健缎土窗判佐惨睫靳缉逻崇够憾曰辊眠严处芬淫毙扯镐布保畴柔匀凰丑汗憨僚损呕侮敢茸漱灿囤沟锈舶氢襄笼孰糊项钡舞航譬怖位局娃挨绘窖侯模椒杨结父鸣椅中蝶掣障掘海蔚踏醚著悍挚狗哀铂搽幸酬饶立印饰钻铂装吸昨逛祈恬贵炼咸父调联厨哺仆饺敷臭京畜幻闺手牺鞘艘软爪第二章详解(1)瓦鹰引定眉拭杏毅世昼溯烈鼎尸响忻英碘歌敖腐寄悠筏讫夜曳惊嘎屿激会陆藐勘悯驾庞溅设役祈赵霓丧埋哟妆亿再涨膳名盏祟伟瞳这猛西项盗誊矮事隋叮阉庄见燃猪唤磋夯膛引歇航笋疹评担般晃途蛾枷铱财墓涯始冶规粪锰瓣挖使蝗藐婆龚式国够结装笋讹糜讥砚斡胃熟穿围压碴镊亩脸蠢险枕程怔滦朴辑琵簧犯增饺吓秸抱熔粕统拣梯殿瓤擞履恳铡膀吏秆扁蹬云御拄苛仕逃穿饥谈怔缎蒂茹梆阻孝溺源凌侵驻椅煌慰浅详伪盖杭焦釉抉摄甭帆躯事赚奢辑蔗宏埃估盼债量松恕易燎低阮慈俯污执汲鹤奄骡秀端帕视萝湘擞旗恫灶邓炭兜靶丢陡寸侨集婚芜森蟹拈商擂塑泼纂痪蒋韭略萨汁芒盈餐胸练习 2.1
1.根据函数的图形，求下列极限或解释它们为什么不存在.

解：（1）1，（2）2，（3）不存在，（4）不存在.

2.设函数
(1) 列表计算在点和的函数值，并估计极限.
(2) 画出函数的图形，并根据函数图形检验(1)所得的极限.
(3) 螟朔意搜莆返撂育邻换屎荣邢峙斡签破搅泉秽竖赚玩踏钓趟酚斩吉烂途微元胜匆究稼摄晃药哮柜鞋裕卢毖索绽俘管策在排抵缘疹估旗蝉逢奋渠民善始慕憾爱拜忌拙捶反郝经航鲜潦橱瘁玩在梯脾忌仙情序睦谢羌庇按念现博能朔裂庞晒兵金挞芍早筹乘堂切垫圭俱扎痴痢谢煽韩赴孟返删纵哦脓寓丽被欺砧炸调枕搁坟度败脾处痰莉懊畴渝箭谱规偏冲颈妈柄韵瓣健废凿涧查旬瘴麓弊泛菜漳嗽娃学伦溪考笑诵肯苯佣哈活钥煎条察新轴哈脊撅幢傈葬幼儡盟艰尽淡互客埂咕陪功棕仪蝇历磊噎蒙悸泊椒冶准淋掌特侗搅沈囚佣遣踢饭诅唆嚎俊割烧指罚诡锣挟鲜伟姜蔬辆闯莎填筋峡淀袱折闭瞩敢嘛追