电大微积分初步07-13年试题及答案(微分学).doc

电大《微积分初步》2007～2013年试题及答案(微分学)
一、单项选择题
⒈函数的定义域为（ D )． （07.7）
A． B． C．且 D．且
2.函数的定义域为( C )． (11.1）
A．(1，＋∞） 　 B．(0，1）∪（1，＋∞)　　
C．（1，2）∪（2，＋∞） D．（0，2）∪（2，＋∞）
3.函数的定义域是（ C ）． （12。1)
A．(—1，+∞）　 B．（0，+∞）　　
C．（—1，0）∪（0,+∞) D．（0，1）∪（1，+∞）
4。函数的定义域是（ C )． (13.1)
A．（-2,+∞）　 B．(—1,+∞）　　
C．（—2,-1)∪(—1，+∞) D．(-1，0）∪（0，+∞）
5.函数的定义域是（ D )．（13。7）
A．（2,+∞）　 B．（2，5〕　　
C．（2，3）∪（3,5) D．（2，3）∪（3，5〕
6.设，则（ C ） (09。1）
A．　　 B． 　 C．　　　 D．
7。设函数，则该函数是（ B )．（07.1 ,10.7变选项）
　　A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
8.设函数，则该函数是（ D ）． (11。7）
　A．非奇非偶函数　B．既奇又偶函数　　C．偶函数 D．奇函数
9。下列函数中为奇函数的是( D ） （08.1）
A．　 B． 　 C．　　　 D．
10。设函数，则该函数是（ B )． （08.7）
　 A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
11。函数的图形关于( A )对称． (09。7）
　 A．坐标原点 　 B．x轴　　 C．y轴 D．y = x
12。设函数，则该函数是（ B ）． （10。1)
　 A．奇函数 　B．偶函数　　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
13.函数的图形关于（ D ）对称． （12。7）
　 A．y = x 　 B．x轴　　 C．y轴 D．坐标原点
14.当时,下列变量中为无穷小量的是（ C ）． (10.1 ,11。7）
A． B． C． D．
15。已知，当( C ）时,为无穷小量．（12.7）
A． B． C． D．
16。当=（ A )时，函数，在处连续。
A．1 　　 B．2 C．　　　 D．0 （07。1，13。1变选项)
17.当k=（ B ）时，函数,在处连续. (12。1）
A。0 B。-1 C。1 D.2
18。当k=（ C ）时，函数，在处连续.(08。1）
A。0 B.1 C.2 D.e+1
19。函数的间断点是（ A ) （08.7）
A． B． C。 D．无间断点
20。当k=( D )时，函数,在处连续.（09。7）
A.0 B。1 C。2 D.3
21.当k=（ C ）时,函数，在处连续.(10.7）
A.0 B。1 C.2 D.3
22。曲线在x=2处切线的斜率是（ D )． (11.1）
A．2 B． C． D．2
23。函数在处的切线方程是（ C ）． （07.7）
A. B。 　
C。 　　 D.
24.下列等式中正确的是（ D ）． （07.7 ，10.7）
A 。 　　　　　B.
C. 　　　　 　 D。
25。若函数f (x)在点x0处可导，则（ B ）是错误的． （09.1）
A．函数f (x)在点x0处有定义 B．，但
C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f （x）在点x0处可微
26。设。则dy=( D ）　（10。1 ， 13.7变选项）
A．　　 B． C． D．
27.函数y=x2+1在区间是（ B ) （08。1）
A．单调下降　　 B．先单调下降再单调上升
C．先单调上升再单调下降　 D．单调上升
28。函数在区间是（ D ） (09。1）　
A．单调增加　　 B．单调减少 C．先增后减　 D．先减后增
29。函数y = x2+2x+7在区间是( C ） （09.7)
A．单调减少　　 B．单调增加
C．先单调减少再单调增加　 D．先单调增加再单调减少
30。下列函数在指定区间（-∞，+∞)上单调减少的是（ B )．（11。7）
A． B． C． D．
31.下列函数在指定区间(—∞，+∞）上单调增加的是（ B )．(12.7）
A． B． C． D．
32。满足方程的点一定是函数的（ C ）。 （08.7 ,10。7）
A．极值点　　B．最值点 C．驻点　D． 间断点
33。下列函数在指定区间（-∞，+∞）上单调减少的是（ B ）． (13.7）
A． B． C． D．
34。下列结论中( C ）正确． （08.7 ，10.7）
A．在处连续，则一定在处可微.
B．函数的极值点一定发生在其驻点上。
C．在处不连续，则一定在处不可导。
D．函数的极值点一定发生在不可导点上。
35。下列结论中正确的是（ B ）． （11.1）
A．若，则必是的极值点。
B．是的极值点,且存在，则必有。
C．是的极值点，则必是的驻点.
D．使不存在的点,一定是的极值点.
36.下列结论中（ A ）不正确． （12。1 ,13。7变选项）
A．在处连续，则一定在处可微
B．在处不连续，则一定在处不可导
C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D．若在内恒有＜0，则在内函数是单调下降的
二、填空题
1。函数的定义域是 （—2,2﹚ ．（07.1）
2.函数的定义域是 (2，3）∪﹙3，+∞﹚ ．（08.1）
3.函数的定义域是 ﹙—∞，5﹚ ．（08.7)
4。函数的定义域是 （—2，-1）∪﹙-1,2］ ．(09.1）
5.函数的定义域是 （-1，0）∪﹙0，2] ．(10.1）
6.函数的定义域是 (-2，—1)∪﹙-1，4］ ．（10.7）
7。函数，则 x2+1 ．(07.7）
8。函数则 x2+3 ．（09.7）
9。函数,则 x2-6 ．（11.1)
10.函数,则 x2-1 ．(11.7)
11。函数，则 x2+1 ．（12。1）
12.函数，则 x2—6 ．（12.7）
13.函数，则 x2 + 1 ．（13。1）
14.函数,则 x2 —2 ．（13。7)
15.当 O 时，为无穷小量．（11.1)
16。若，则 2 ．（07。1 ，10.7）
17。=　0 ．(08.1）
18。若=　2 ．(13.1）
19。　1 ．（08。7,11.7，12。1）
20.若，则=　3 ．（09。7）
21。设函数 在x = 0处连续，则k =　—1 ．(07。7）
22。若函数,在处连续，则　1 ．（09.1 ，13.7）
23.设函数 在x = 0处连续,则k =　1 ．（12.7）
24。函数的间断点是 x=—1 ．（10。1）
25.曲线在点的斜率是　1 ．（07。7 ，09.7）
26.曲线在点处的斜率是 ．(12。7）
27。曲线在点处的切线方程是x-2y+1=0（或）．（09.1，11。7，13。7）
28。曲线在点处的切线斜率是（）。
或切线方程是x+2y—3=0（或) ．(12.1,13。1）
29.曲线在点（0，1）处的切线方程是 x—y+1=0(或y=x+1) ．（10.7）
30.已知．（08。1）
31。若，则 2 ．（11.1)
32.已知，则=．(07。1）
33.已知,则=．(08。7）
34.函数的单调增加区间是 ［-1,+∞） ．（10.1）
三、计算题
⒈计算极限（07。1 ,08。7)
解：
2。计算极限(07.7)
解：=
3.计算极限（08.1，11.7）
解：=
4。计算极限（09.1）
解：=
5。计算极限（09.7）
解：=
6。计算极限(10.1）
解:=
7.计算极限(10。7）
解：=
8.计算极限（11。1）
解：=
9。计算极限（12。1）
解：=
10．计算极限（12.7)
解：=
11.计算极限(13.1）
解：
12。计算极限 (13.7）
解:
13。设，求（dy)(07.1，11.1)
解:
（ ）
14.设，求(07.7)　
解：
15.（08.1）
解：
16．设，求. （12.7）
解:
17。，求 (08.7）
解： ,
18。设,求 （09。1， 12。1)
解:，
19。设,求 （09.7)
解： ，
20.设，求 (10。1）
解： ，
21.设,求 (10.7)
解：，
22.设，求 (11。7）
解:，
23.设，求 （13。1)
解：，
24.设,求 （13.7）
解： ，
四、应用题
1。欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料
最省? （07。7 ,10.7 ，11。7，12。7)
解：设容器的底边为x,高为h，所用材料为y，
由已知x2h=108，则，
令= 0得唯一驻点x=6。因为本题存在最小值，此时有，所以当容器的底边为6米，高为3米时用料最省。
2。欲做一个底为正方形,容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省? (09.1 , 10。1,12。1，13.1）
解：设容器的底边为x，高为h，所用材料为y，
由已知x2h=32，则，
令= 0得唯一驻点x=4.因为本题存在最小值,此时有，所以当容器的底边为4米，高为2米时用料最省。
3.用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱,已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？(08。7 ，11。1 ，13。7）
解：设水箱的底边为x，高为h,表面积为S,且有，
所以，
，令得x=2。 因为本题存在最小值,且函数的驻点唯一，所以当水箱的底边为2米，高为1米时，可使总费用最低.
这时的费用为（元）
4。某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器,问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？(09。7)
解：设容器的底半径为r,高为h，由已知，则
表面积为
由得唯一驻点,由实际问题可知,当时，可使用料最省,此时，即当容器的底半径与高分别为与时，用料最省.
5.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？（07.1）
解：设土地一边长为x，另一边长为，所用建筑材料为y
于是
令得唯一驻点x=12（x=-12舍去）
因为本题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以,当土地土地一边长为12米，另一边长为18米时,所用建筑材料最省.
6.设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体.试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大？ （08.1）
解：设矩形的边长为x、y,由已知2x+2y=120，则y=60-x
又旋转所成的圆柱体体积为
求导得
令得x=40（x=0舍去)为唯一驻点.
＜0
说明x=40是极大值点，也是最大值点，故当矩形的边长为40和20并以短边为旋转轴时可使圆柱体的体积最大。
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