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行列式按行列展开定理

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行列式按行列展开定理

一、 余子式的定义：
在n阶行列式中，把（i.j）元所在的第i行，第j列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作的余子式，记作
二、 代数余子式：
在n阶行列式的余子式加上符号，称作的代数余子式：

三、 引理1：一个n阶行列式，如果其中的第i行所有元素除了（i,j）元外都为0，则这个行列式等于与它的代数余子式乘积：

四、 行列式按行（列）展开法则：
定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

（）
推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：

（）

五、 克拉默法则：
如果含有n个未知数的n个线性方程组：

…………………………………
…………………………………
…………………………………

其系数行列式不等于0，即：
那么，方程组有惟一解：
,,…

① 定理4：如果含n个未知数的n个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。
② 定理：如果含n个未知数的n个线性方程组无解或者有两个不同的解，则它的系数行列式必然为0
③ 定理5：上述方程对应的齐次线性方程组：

…………………………………
…………………………………
…………………………………

一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的0解，如果是一组不全为0的数是齐次线性方程组的解，叫做齐次线性方程组的非0解，齐次线性方程组一定有0解，但是不一定有非0解。
定理5：如果齐次线性方程组有非0解，则它的系数行列式必然等于0
定理：如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则它一定没有非0解

六、 求解行列式的基本方法:
① 利用初等变换
② 利用性质
③ 特殊规律行列式解法

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