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第五章 弯曲应力

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第五章 弯曲应力
内容提要
一、梁的正应力
Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲
纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：
1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；
2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；
3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴
中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为
(5-1)
式中：为变形后中性层的曲率半径，为弯矩，为梁的弯曲刚度。(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式
1. 横截面上任一点的正应力为
(5-2)
正应力的大小与该点到中性轴z的距离y成正比，试中M和y均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为
(5-3)
(5-4)
为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：
1)在线弹性范围内，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比时，误差。
Ⅴ、梁的正应力强度条件
拉、压强度相等的等截面梁
(5-5)
式中，为料的许用正应力。
当梁内，且材料的时，强度条件应为
，
Ⅵ、提高梁正应力强度的措施
1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。可使梁的最大正应力降低，从而提高梁的承载能力。
2)对于的梁，应使横截面的中性轴偏于受拉一侧，最好使，使和同时达到其许用应力。
3)采用等强度梁或变截面梁，使每个横截面上的最大正应力同时达到许用应力或接近许用应力。
二、梁的切应力
梁的切应力公式的分析方法是，首先对切应力在横截面上的分布规律作出部分假设，再根据微段的平衡条件导出切应力公式。横截面形状态不同，对切应力在横截面分布规律的假设不同，必须按不同横截面形状分别导出其切应力公式。
Ⅰ、矩形截面梁

假设切应力的方向平行于剪力，其大小沿宽度b均匀分布(图b)，由图a中带阴影线部分微段的平衡条件，得
(5-6)
式中，为横截面上的剪力，b为横截面的宽度，，为横截面上距中性轴为y的横向线以下(或以上)的部分面积对中性轴z的静面矩，其值为，可见切应力沿横截面高度h按抛物线规律变化，处，，(中性轴处)时，，其值为
(5-7)
Ⅱ、工字形截面梁

1. 腹板上的切应力
切应力的分布假设同矩形截面梁，由微段(图5-2b)的平衡条件，得
(5-8)
式中，为横截面上的剪力，d为腹板的宽度，为整个工字形截面对中性轴的惯性矩，为距中性轴z为y的横向线以下(或以上)的部分横截面面对对中性轴z的静面矩，可见剪应力沿腹板高按抛物规律分布(图5-2，d)，在腹板和翼缘交界处，在中性轴处，其值为
(5-9)
式中，为中性轴以下(或以上)的半个横截面对中性轴z的静面矩，计算时，为下(或上)翼缘的面积对中性轴z的静面矩。型钢时为型钢表中的。
腹板的主要功能之一是抗剪切，腹板承受铅垂剪力的约95%~97%。
2. 翼缘上的切应力
翼缘上的水平切应力沿其厚度均匀分布，由图c所示微段的平衡条件得
(5-10)
式中，为翼缘的厚度，和的意义和(5-8)式相同，为距翼缘端部为的部分翼缘面积对中性轴z的静面矩，，，可见沿翼缘宽度按线性规律变化(图5-2，d)。
3. 切应力流
根据剪力的指向确定腹板上切应力的指向，按顺流方向确定翼缘上的切应力方向，例如：设的方向向下，上翼缘上的切应力犹如水流一样由其两端的两股水流流向腹板，经由腹板，再分成两股流入下翼缘两端。根据切应力流的概念可以判断开口薄壁杆的切应力方向。
Ⅲ、由狭长矩形组合的组合截面梁的切应力

对于图5-3所示的几种形状的薄壁截面梁，其腹板和顶板及底板上的切应力公式仍为(5-8)和(5-10)式，切应力的分布规律及切应力流如图所示。

Ⅳ、圆截面梁及薄壁圆环截面梁
图5-4a所示圆截面梁，其最大切应力在中性轴处，其方向与剪力平行，其值为
(5-11)
式中，。
图5-4，b所示薄壁圆环截面梁，其最大在中性轴处，其方向与剪力平行，其值为
(5-12)
式中，。
Ⅴ、切应力强度条件
对于等直梁，横截面的最大切应力发生在最大剪力所在的横截面上，一般位于该该截面的中性轴处，中性轴处的正应力为零，即所在的点为纯剪切应力状态，剪切强度条件为
(5-13)
式中，为中性轴一侧的横截面对中性轴的静面积；b为横截面在中性轴处的宽度，为横截面对中性轴电惯性矩。
梁应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件，通常梁的强度由正应力强度条件起控制，当梁的跨度较小，荷载离支座较近时，切应力强度条件也可能为梁强度的控制条件。
三、非对称截面梁的平面弯曲，开口薄壁截面的弯曲中心

Ⅰ、非对称截面梁平面弯曲的条件
梁的横截面没有纵向对称轴时，只要荷载作用在梁的形心主惯性平面xy内(横向力沿形心主轴)，或荷载作用面和梁的形心主惯性平面平行(横向力平行于形心主轴)，荷载和梁的挠曲线位于同一平面内(图5-5a)或荷载的作用面和挠曲面平行(图5-5b)。梁产生平面弯曲。当荷载的作用面和梁的形心主惯性平面不平行时，梁产生斜弯曲(图5-5c)。
Ⅱ、开口薄壁截面的弯曲中心A
1. 弯曲中心：横力弯曲时，横截面上由切应力所组成的合力(剪力)的作用点，称为弯曲中心，简称为弯心，用A表示。当横向力通过弯心时梁只产生弯曲变形，不产生扭转变形。若横向力不通过弯心，梁在发生弯曲变形的同时还要产生扭转变形。
2. 几种常见开口薄壁截面弯曲中心的位置

图5-6a,b中，弯心A和形心C重合；图5-6c中，弯心A位于对称轴z上；图5-6d,e中，弯心A位于两狭长矩形中心线的交点处。
3. 弯曲中心仅与截面的形状和尺寸有关，是截面的几何性质，与横向力的大小及材料的性能无关。

例5-1 一铸铁梁如图a所示，已知材料拉伸时的强度极限为，压缩时的强度极限为。试求梁的安全因数。
解：梁的弯矩图如图b所示。

以横截面的下底边为参考轴，形心C的y坐标为

横截面对形轴z的惯性矩为

B、C截面上正应力的分布规律如图 c所示，最大拉应力发生在B的上边缘或C截面的下边缘，由于，所以最大拉应发生B截面的上边缘。
由
得
式中，为拉应力达到强度极限时的安全因数。
最大压应力显然发生在C截面的上边缘，
由
得
式中，为压应力达到强度极限时的安全因数。
由于>，可见该题的强度由拉应力强度条件控制，梁的安全因数为

例5-2 横截面如图所示的铸铁简支梁，材料的许用拉应力为[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa，试确定截面尺寸d值。

解：设形心C距截面下底边的距离为

于是

截面对中性轴z的惯性矩为

C截面的弯矩为

由
得
由
得
由于，所以取 。
讨论：由以上计算结果可见该题的强度是由拉应力强度条件控制的，即拉应力先达到危险状态，也可以用以下方法判断拉应力先达到危险状态。
，
可知，选达到危险状态,只需按拉应力强度条件确定即可。

例5-3 一平顶凉台如图a所示，其长度，顶面荷载集度，由间距的木次梁AB支持。木梁的许用弯曲正应力，木次梁为b×h的矩形截面，且。试求：(1)在木次梁用料最经济的情况下，确定主梁位置x值；(2)选择木次梁的尺寸。
解：1. 次梁的计算简图如图b所示，四根次梁中以中间两根所受的荷载最大，以此为强度计算的依据，中间次梁的荷载集度为

2. 求次梁用料最经济时，主梁位置x
用叠加法作出次梁的弯矩图如c所示，当时，次梁用料最经济。
由

得
3. 选择b和h
当时

由
得

讨论：上面分析次梁用料最经济时，利用了，为梁的最大弯矩的近似值，得到主梁位置也是近似的，实际上最大正弯矩应位于剪力等于零的横截面处，若用实际的最大弯矩等于，得到的主梁位置，可见二者误差甚小，但用第二种方法计算时，计算工作量较大。

例5-4 起重机大梁由两根25a工字组成如图a所示，起重机自重，起重机起吊的重量为。梁材料的许用应力，，单根25a号工字钢的，，，设全部荷载平均分配在两根梁。试校核梁的正应和切应力强度。

解：1. 求起重机的支反力
起重机的受力图如图b所示
由 得
由 得
2. 校核梁的正应力
梁的受力图如图c所示，由于荷载是移动的，必须确定最不利位置，梁在集中力和作用下，其最大弯矩必在C或D截面处，设C轮距支座A的距离为x，梁的支反力为
(kN) ， (kN) (1)
C截面的弯矩为

由 ，得
即
(2)
D截面的弯矩为

由 ，得
即
(3)
由于，所以最不利位置为，梁的弯矩图如图d所示。

稍大于，但其误差<5%，所以梁满足正应力强度条件。
3. 校核切应力
当两个集中力移动至使紧靠B支座时，为剪力的最不利位置，即时由(1)和(2)式，得，，梁的剪力图如图e所示。

梁满足切应力强度条件。
讨论：梁在两个移动的集中力作用下，最大弯矩部是发生集中力作用点处，最大剪力总是发生在集中力位于支座附近处的情形。

例5-5 图所示吊车梁由36a号工字钢在其中间区段焊上两块的矩形钢板制成。电葫芦重，起吊的重物的重量为，材料的许用应力为，。
1. 校核梁的正应力强度；
2. 求加强板的长度；
3. 校核梁的切应力强度。
解：由于梁上受移动荷载作用，必须确定荷载的最不利位置，在进行正应力强度校核时，集中力应位于跨度的中间截面处；求加强板长度时，集中力应位于C(或D)截面处；进行切应力强度校核时集中力应在紧靠支座处。
1. 校核正应力
梁上受到的移动的集中力为

设F力位梁的跨度中央截面处，该截面的弯矩为

36a号工字钢的，考虑加强板时整个截面的惯性矩为

跨中截面的最大正应力为

2. 求加强板长度
设集中力F位于C(或D)截面处，
由 ，得 ；
36a号工字钢的，梁在C截面处的许用弯矩为

令，即

解得
加强板的长度为

3. 校核梁的切应力
当集中力F紧靠支座时，最大剪力为

36a号工字钢的，，梁的最大切应力为

梁的正应力和切应力强度条件均满足，该梁是安全的。
例5-6 T形截面外伸梁,受移动荷载F作用,支座A为滚轴支承(活动铰支座)。支座B为用销钉连接两块支承板(固定铰支座)，如图a所示。已知：，T形截面对形心轴z的惯性矩，销钉的直径，许用切应力。
1. 求梁的最大拉应力和最大压应力；2. 求梁的最大切应力；3. 校核销钉的剪切强度。
解：1. 求和。
F力位于C截面和D截面时， 梁的剪力图和弯矩图分别如图b、c、d、e所示，位于C截面的下边缘，

由于，所以发生在A截面的下边缘，

2. 求梁的最大切应力。
由剪力图可见，当F力位于D时，，最大切应力为，

3. 校核销钉的切应力强度
当F力位于B支座处时，销钉受力最大，其剪切为。

销钉满足切应力强度条件。

例5-7 箱形截面悬臂梁由四块木板胶合而成如图所示。已知横截面对中性的惯性矩；材料为红松，其许用弯曲正应力，许用顺纹切应力；胶合缝的许用切应力。试校核梁的强度，并画出危险截面上切应力的分布规律以及切应力流的指向。

解：1. 校核梁的正应力强度

2. 校核顺纹切应力强度。

3. 校核胶合缝的切应力强度。
上水平板和两块竖直板有两条胶合缝，求其切应力的公式中，为上水平板对中性轴z的静面矩，因为有两胶合缝，其宽d为。

下水平板和两块竖直板也有两条胶合缝，下水平板的dx微段的分离体如图b所示，可见求胶合缝的切应的公式中，为下水平板对中性轴z的静面矩，因为有两条胶合缝，其宽度为。

可见，梁满足正应力、顺纹切应力及胶合缝处的切应力强度。
4. 横截面上切应力的分布规律及切应力流的方向如图c所示，上、下水平板中点处的水平切应力为零，可从分离体的平衡条件或水平切应力是反对称分布的，可以得到该结论。

例5-8 矩形截面悬臂梁，受均布荷载q作用(图a)，沿梁的中性层截出其下半部分(图b)，试求：
1. 图b 中顶面上的切应力及其由组合的水平力；
2. 研究下半部分梁(图b)的平衡条件，并导出梁的挤压应力的公式。

解：1. 求图b中顶面上的及
梁的x横截面上的剪力及切应力分别为

(1)
(2)
由切应力互等定理，得图b顶面上的切应力为
(3)
切应力形成的合力为
(4)
2. 研究下半部分梁(图b)的平衡条件，并导出的公式。
B截面处的最大压应力为

由B截面处的压应力组合的合力为
(5)
的作用线距中性层的距离为 。
由(4)式和(5)式可见，和满足平衡方程
B截面上的剪力为
下半部分梁(图b)，仅在、及作用下不能满足平衡方程 及，要满足该两平衡方程，应在图b的顶面上有作用。因为dx微段(图c)上有荷载q作用，其左、右两侧的剪力不相同，图c中带阴影线部分的立体图如图d所示，其左、右两侧面上的剪力分别为
(6)
(7)
设图d的顶面上有作用，由
，
即
梁的挤压应力为
(8)
当时，；时，；当时，即中性层处的挤压应力为。
中性层上组成的合力为
(9)
下半部分梁上各力如图e所示，其平衡方程为

可见，图b所示下半部分梁满足所有平衡方程。

*例5-9 矩形截面悬臂梁，其顶、底两面受大小相等、指向相反的切向均布荷载作用。试导出横截面上切应力的计算公式，并画出的指向和沿高度的变化规律。
解：用相距dx的两个横截面及距中性层为y的纵截面从梁中截取一微段如图b所示，图中

，

式中， ，

由

得

当时， 得，时，；时，。切应力指向和沿高度的变化规律如图c所示。
*例5-10 开口薄壁圆弧形截面如图a所示，已知截面上的剪力铅垂向下。试求
1.截面上的切应力及其方向；2.弯曲中心A的位置。
解：1. 截面上的切应力
取坐标Oyz 如图b所示，，

切应力的方向与截面的中线相切。图中仅画出截面上的方向。
2. 弯曲中心位置。
由
所以

例5-11 试判断图示各截面弯曲中心的大致位置。若各截面上的剪力指向向下，试画出各截面切应力流的方向。

解：弯曲中心为截面上的剪应力所构成的合力作用点，各截面的弯曲中心A的位置和切应力流的方向如图b所示。图b中y、z为形心主轴。

例5-12 两根20a号工字钢用螺栓连在一起组成组合梁如图a所示。螺栓的间距，直径，。若梁横截面上的剪力。试校核螺栓的剪切强度(不计工字钢之间的摩擦力)。

解：两根工字钢作为整体弯曲时，由于相邻两横截面上的弯矩不相等，使，上、下两工字钢有沿接触面相对错动的趋势(图b)，使螺栓受到剪力(图c)，由于梁的各横截面上剪力相等，螺栓间距及直径分别相同，故每个螺栓受的剪力相等。

式中，为单根工字钢的面积，为对z轴的静矩。，研究图c所示各力的平衡条件，由，即

得
螺栓的切应力为

20a工字钢的，，。

故螺栓是满足切应力强度条件的。

*例5-13 矩形截面的钢、木组合梁，其宽度b=10mm，木材部分地高度h=200mm，钢板的厚度d=5mm，木材与钢板之间不能滑动。已知Me=8kN.m，木材的弹性模量E1=10GPa，钢材的弹性模量E2=210GPa。试求木材与钢板中得最大弯曲正应力。

解：由于木材和钢板之间不能相对滑动，所以梁的横截面可以视为整体。试验表明，平面假设依然成立，设y为对称轴，z为中性轴(位置待定)如图(b)所示，纵向线应变沿着横截面高度呈线性规律变化如图(c)所示，任一点处地线应变为

式中，r为中性层得曲率半径。
由胡克定律得材料1、2两部分的正应力分别为
， (1)
正应力沿横截面高度变化规律如图(d)所示。
静力学条件为
(2)
(3)
将(1)式带入(2)式，可得
(4)
式中，Sz,1、Sz,2分别表示材料1、2两部分面积对中性轴z的静面积。由(4)式确定中性轴位置。将(1)式带入(3)式，可得
(5)
式中，Iz,1、Iz,2分别表示材料1、2两部分面积对中性轴z的惯性矩。
将(5)式带入(1)式，可得
， (6)
设中性轴z到横截面底边得距离为如图(b)所示，材料1、2两部分对中性轴z的静面积分别为

将E1、E2、Sz,1、Sz,2带入(4)式，得

解得
材料1、2两部分面积对中性轴z的惯性矩[图(e)]分别为

由(6)式可得木材和钢板的最大弯曲正应力分别为

(压应力)

两种材料的组合梁也可用相当截面求解
将式的右端的分子和分母均除以，并令
式成为
(g)
式中。
将材料(1)截面的宽度b折算为
材料(1)截面的高度和材料(2)的截面保持不变。于是，将组合梁的截面变换成一种材料(材料2)的截面，该截面称为相当截面，其水平形心轴为原组合截面的中性轴，对水平形心轴的惯性矩称为相当惯性矩，记为。
本例中，，相当截面如图f所示。
设形心距下底边的距离为

相当惯性矩为

钢板(材料(2))中的最大弯曲正应力为

木材(材料(1))中的最大弯曲正应力为

例5-14 图示矩形截面悬臂梁，由(1)和(2)两种材料组合而成，材料的弹性模量分别为和，且。若F力作用在梁的纵向对称平面内。试问梁是否发生平面弯曲？求梁的弯曲中心。
解：设(1)和(2)两部分梁的剪力分别为和(图b)。
(1)
弯矩为
， (2)
由于(1)、(2)两部分梁作为一个整体发生弯曲，所以它们的曲率相等，即
即　　　 (3)
将(2)式代入(3)式，并利用，得
即 (4)
联立求解(1)和(4)式，得
, (5)
由于，所以，故和的合力作用线位置不在纵向对称平面内，但仍和形心主轴y平行，梁仍然产生平面弯曲。但同时还要产生扭转。
设和的合力距y轴的距离为e，弯曲中心Ａ位于ｚ轴上，
由　　　　
得　　　　　　　　　　 (6)
　　当F力通过弯曲中心A，并平行于形心主轴y时，梁只产生平面弯曲。
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