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极限求法总结

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极限的求法
1、利用极限的定义求极限
2、直接代入法求极限
3、利用函数的连续性求极限
4、利用单调有界原理求极限
5、利用极限的四则运算性质求极限
6. 利用无穷小的性质求极限
7、无穷小量分出法求极限
8、消去零因子法求极限
9、 利用拆项法技巧求极限
10、换元法求极限
11、利用夹逼准则求极限
12、利用中值定理求极限
13、 利用罗必塔法则求极限
14、利用定积分求和式的极限
15、利用泰勒展开式求极限
16、分段函数的极限

1、利用极限的定义求极限
用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：的ε-δ 定义是指：ε＞0， δ=δ(，ε)＞0，0＜＜δ(x)＜ε 为了求δ 可先对的邻域半径适当限制， 如然后适当放大｜f(x)｜≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：
｜｜()+()|≤＜｜｜+δ1
域()+()|≥＞δ1
从φ(x)＜δ2，求出δ2后，
取δ＝(δ1，δ2)，当0＜ |＜δ 时，就有(x)＜ε.
例：.

其中，。

2、 直接代入法求极限
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例 1. 求 .
分析 由于 ,

所以采用直接代入法.
解 原式=

3、利用函数的连续性求极限
定理：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果是函数的定义区间内的一点，则有。
一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果是初等函数，是其定义域内一点，则求极限时，可把代入中计算出函数值，即=。
对于连续函数的复合函数有这样的定理：若在连续且，在处连续，则复合函数在处也连续，从而或。
例：
解：复合函数在处是连续的，即有

4、利用单调有界原理求极限
这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。
例：求
解：令，则， ，即，所以数列单调递增，由单调有界定理知，有限，并设为，，即，所以。

5、利用极限的四则运算性质求极限
定理：若极限和都存在，则函数，当时也存在且
①
②
又若c0，则在时也存在，且有.
利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在， 一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现，， 等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例：求
解：由于当时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等于和的极限”这一法则，先可进行化简这样得到的新函数当时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即
例2. 求。
解

6. 利用无穷小的性质求极限
我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。
例：求
解：当时，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒数的极限，故。

例5． 求极限
分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形.
解 原式= (恒等变形)
因为 当 时, , 即 是当 时的无穷小,而 ≤1, 即 是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小,
得 =0.

7、无穷小量分出法求极限
适用于分子、分母同时趋于 ,即 型未定式
例3．
分析 所给函数中，分子、分母当 时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当 时，分子、分母同时趋于 ，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除 的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限.
为什么所给函数中,当 时，分子、分母同时趋于 呢?以当 说明：因为 ,但是 趋于 的速度要比 趋于 的速度快，所以 .不要认为 仍是 (因为 有正负之分).
解 原式 (分子、分母同除 )
（运算法则）
（当 时， 都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.）

8、消去零因子法求极限
适用于分子、分母的极限同时为0,即 型未定式
例4．
分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.
解 原式= (因式分解)
= (约分消去零因子 )
= (应用法则)
=
9、 利用拆项法技巧求极限
例6：
分析：由于=
原式=

10、换元法求极限
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。
例: 求
解：令 则

例7 求极限 .
分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换.
解 原式 =
= (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.)
= . ( 型,最高次幂在分母上)

11、利用夹逼准则求极限
已知为三个数列，且满足：
（1） ；
（2） ，。
则极限一定存在，且极限值也是 ，即。利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得。
例：，求的极限
解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项

则
又因为，则。

12、利用中值定理求极限
(1)微分中值定理：若函数 满足①在连续，②在(a，b)可导；
则在(a，b)内至少存在一点，使得。
例：求
解：，

＝
＝
＝
＝
(2)积分中值定理：设函数在闭区间上连续； 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得
例：求
解：
＝
＝
=0

13、 利用罗必塔法则求极限
定理:假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：
（1）和的极限都是0或都是无穷大；
（2）和都可导，且的导数不为0；
（3）存在（或是无穷大）；
则极限也一定存在，且等于，即= 。
洛必达法则只能对型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当等于 A 时，那么也存在且等于A. 如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论。
例：求
解：由知
所以上述极限是待定型

14、利用定积分求和式的极限
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数。把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。
例：求
解：由于
=
可取函数 ，区间为，上述和式恰好是 在上等分的积分和。
所以
＝
＝
＝

15、利用泰勒展开式求极限
泰勒展开式：若在0点有直到1 阶连续导数，那么
其中 (其中)
例：
解：泰勒展开式，
于是
所以

16、分段函数的极限
例8 设 讨论 在点 处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.
解 因为

所以 不存在.
注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 .
注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .

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