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财务管理的价值观念

【本章学习目标】本章主要阐述了财务管理的价值观念，包括货币时间价值和投资风险价值两种基本价值观念，重点介绍了货币时间价值、投资风险价值的含义及其计算的基本内容。
【关键概念】货币时间价值 终值 现值 年金 投资风险价值 风险报酬 证券组合
第一节 货币时间价值
货币时间价值是分析资本支出、评价投资经济效果、进行财务决策的重要依据，是企业财务管理的一个重要概念，在企业筹资、投资、利润分配中都要考虑货币的时间价值。任何企业的财务活动，都是在特定的时空中进行的，因而货币时间价值是一个影响财务活动的基本因素。如果财务管理人员不了解时间价值，就无法正确衡量、计算不同时期的财务收入与支出，也无法准确地评价企业是处于盈利状态还是亏损状态。
而时间价值原理，正确地揭示了不同时点上等量及不等量资金之间的换算关系，从而为财务决策提供了可靠的依据，所以财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。
一、货币时间价值的概述
(一)货币时间价值的含义
货币时间价值又称资金时间价值，简称时间价值，是指在不考虑通货膨胀和风险性因素的情况下，资金在其周转使用过程中随着时间因素的变化而变化的价值，其实质是资金周转使用后带来的利润或实现的增值，或者说，是指资金经历一定时间的投资和再投资所增加的价值。它具有增值性的特点，是一定量的资金在不同的时点上具有的不同的价值，即今天的一定量资金比未来的同量资金具有更高的价值。例如，今天你将100元钱存入银行，假定利息率为6%，一年后的今天，你将会得到106元。其中的100元是本金，6元的利息就是这100元钱经过一年时间的投资所增加的价值，该利息就是货币时间价值。换一种理解，现在的100元钱和1年后的100元钱经济价值不相等，或者说它们的经济效用不同。但并非所有货币都具有时间价值，货币具有时间价值的前提条件是货币只有作为资本投入生产和流通后才能产生增值。
(二)货币时间价值的本质
在西方经济学中关于时间价值的论述主要有如下观点。
一种观点认为：时间价值是牺牲当前消费的代价和报酬。这种观点认为，即使在没有风险和通货膨胀的条件下，今天的100元钱也会大于以后的100元钱。投资者投入或投出这100元钱，他就牺牲了当时使用或消费这100元钱的权利和机会，这种牺牲不是无偿的，它要获得补偿，因此，按照牺牲时间来计算的这种补偿，就是它的代价或报酬，就叫做时间价值。这种观点在西方各国十分盛行，也是一种传统观点。
另一种观点认为：心理因素决定时间价值。英国经济学家凯恩斯从资本家和消费者的心理出发，而高估现在货币的价值、低估未来货币的价值。他认为，时间价值在很大程度上取决于消费倾向等心理因素。
总之，西方经济学关于时间价值的概念认为：对投资者推迟消费的耐心应该给以报酬，该报酬量应该与推迟的时间成正比例关系，因此，单位时间的这种报酬对投资的百分比称为时间价值。显而易见，西方经济学家的这些概念只是说明了时间价值的一些现象，并没有说明其本质。在此，十分有必要对时间价值的来源、产生、计算标准和计算方法作出科学的解释。
首先，这些概念都没有揭示时间价值的真正来源。根据马克思的劳动价值理论，在发达的商品经济条件下，资本流通的公式是：G—W—G′，其中G′= G+DG，即原来预付的货币额G加上一个增值的货币额DG。处于两端的属于同一性质的货币，若两个货币量完全相等，投资行为就失去了实际意义。所以，资本流通的结果不仅要保持原有资本的价值，而且还要取得更多的价值，即增值。由此可见，货币时间价值的真正来源是工人创造的剩余价值的一部分。
其次，马克思认为：货币只有作为资本投入生产和流通才能增值。“如果把它从流通中取出来，那它就凝固为储藏货币，即使藏到世界末日，也不会增加分毫”。
再次，在《资本论》中，马克思精辟地论述了剩余价值如何转化为利润，利润又如何转化为平均利润，等量的资金投入不同的行业，会获得大体相当的社会平均资金利润率或平均投资报酬率，这个率数就是计算时间价值的基础。马克思还指出了时间价值应该按复利的方法来计算，他认为：在利润不断资本化的条件下，资本的积累要用复利方法计算，资本将按几何级数增长。
综上所述，货币时间价值的本质是在经济活动中工人创造的剩余价值的一部分，并且随着资本的积累按几何级数增长。
(三)货币时间价值的表现形式
货币时间价值有两种表现形式：一种是相对数(时间价值率)，它是指在没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率或平均报酬率。另一种是绝对数(时间价值额)，它是指资金在生产经营过程中带来的增值额，等于投资额与时间价值率的乘积。
在财务管理实务中，人们习惯于使用相对数来表示资金的时间价值，即用增加价值占投入资金的百分数来表示：

在没有通货膨胀和风险的特定情况(静态)下，银行存款利率、贷款利率、各种债券的利率以及股票的股利，都是投资报酬率，它们就相当于时间价值率。
(四)货币时间价值的意义
货币的时间价值是客观存在的经济范畴。任何企业的财务活动都是在特定的时空中进行的。离开了时间价值因素，就无法正确计算不同时期的财务收支，也无法正确评价企业盈亏。因此，货币的时间价值是企业进行财务决策的基础。
(1) 货币时间价值是企业筹资决策的重要依据。在筹资活动中，筹资时机的选择、举债期限的选择、资本成本的确定以及资本结构的决策等都要考虑时间价值因素。
(2) 货币时间价值是企业投资决策的重要依据。在投资活动中，树立货币时间价值理念，能够从动态上比较投资项目的各种方案在不同时期的投资成本、投资报酬，提高投资决策的正确性；能够使投资者有意识地加强投资经营管理，降低投资成本，缩短投资项目建设期，提高投资效益。
(3) 货币时间价值是企业经营决策的重要依据。在企业经营活动中，分期付款销售的定价决策、商品发运和结算时间的决策、积压物资的降价处理决策以及流动资金周转速度的决策等都要考虑时间价值因素。
二、货币时间价值的计算
由于货币资金具有时间价值，因此同一笔资金，在不同的时间，其价值是不同的。计算资金的时间价值，其实质就是不同时点上资金价值的换算。为了研究问题的方便，采用抽象分析法，有一个假设条件，假设没有风险和通货膨胀的情况下，单独考虑时间价值的问题。在这种情况下，货币时间价值=利率。
在考虑货币时间价值，分析资本运动和现金流量时应明确现值和终值两个基本概念。
概念一：现值。现值又称本金，是指在未来某一时点上的一定数额的资金折合成现在的价值。通常记作P或PV。
概念二：终值。终值又称本利和，是指一定数额的资金经过若干时期后包括本金和时间价值在内的未来价值。通常记作F或FV。
终值与现值是一定数额的资金在前后两个时点上对应的价值，其差额就是货币时间价值。

其中，差额6元(即利息为6元)是货币的时间价值。
在现实生活中，计算利息时的本金、本利和相当于货币时间价值理论中的现值和终值。通常有单利终值与现值、复利终值与现值、年金终值与现值。
(一)单利的计算
单利是指计算利息时只按本金计算利息，其所生利息不再加入本金重复计算利息，即本能生利，利不能生利。目前我国银行存贷款一般都采用单利计算利息。
1．单利终值计算
单利终值是本金与未来利息之和。其计算公式为：

式中：I——利息；
FV——终值，即本利和；
PV——现值，即本金；
i——利率(或折现率)；
n——期数。
【例2-1】 将10000元存入银行，利率假设为10%，一年后、两年后、三年后的终值是多少？(单利计算)
解 一年后：10000´(1+10%)=11000(元)
两年后：10000´(1+10%´2)=12000(元)
三年后：10000´(1+10%´3)=13000(元)
2．单利现值计算
单利现值是资金现在的价值或在未来某一时点上的一定量资金折合成现在的价值。单利现值的计算就是确定未来终值的现在价值。
单利现值的计算公式为：

式中：I——利息；
FV——终值，即本利和；
PV——现值，即本金；
i——利率(或折现率)；
n——期数。
例如，公司商业票据贴现时，银行按一定利率从票据的到期值中扣除自借款日至票据到期日的应计利息，将余款支付给持票人。贴现时使用的利率称为贴现率，计算出的利息称为贴现息，扣除贴现息后的余额称为贴现值，即现值。
【例2-2】某公司持有一张带息期票，面值为1200元，票面利率为4%，出票时间为6月15日，8月14日到期。
要求：
(1) 计算票据到期的利息。
(2) 计算票据到期的终值。
(3) 因公司急需用款，于6月27日贴现，贴现利息率为6%，问银行应付给企业多少钱？
解
(1) 票据到期的利息I=PV´i´n=1200´4%´(60÷360)=8(元)
(2) 票据到期的终值FV=PV+I=1200+8=1208(元)
(3) 银行应付给企业PV=FV - I=FV´ (1 - i´n)=1208´[1 - 6%´(48÷360)]=1198.34(元)
注意：本公式中的I、i均为银行的贴现利息和贴现利率。
【例2-3】 假设银行存款利率为10%，为了三年后获得20000元现金，某人现在应存入银行多少钱？
解 P=20000´(1 - 10%´3)=14000(元)
现在应存入银行14000元现金，三年后才会获得20000元现金。
(二)复利的计算
复利是指不仅本金要计算利息，利息也要计算利息。即每经过一个计息期，要将所生利息加入本金再计利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。其中所说的计息期，一般是指相邻两次计算利息的时间间隔，如年、季、月、日等，除非特别指明，计息期均指一年。由于计算复利的方向不同，复利的计算包括复利终值和复利现值计算。货币时间价值通常是按复利计算的。
1．复利终值计算
复利终值又称复利值，是指现在的一定量资金按复利计算的未来价值。计算复利终值时，每期期末计算的利息应加入下期的本金形成新本金，再计算下期的利息，逐期滚算，如图2-1所示。

图2-1 复利终值示意图
其计算原理如表2-1所示。
表2-1 复利终值计算公式的推导过程
期初本金PV
利息I
期末终值FV(本利和)
No1期 PV1=PV
No2期 PV2=PV1+I1=PV(1+i)
No3期 PV3= PV2+I2=PV(1+i) 2

Non-1期
Non期
I1=PV´i
I2= PV2´i= PV(1+i)´i
I3= PV3´i= PV(1+i) 2 ´i

In-1= PVn-1´i= PV(1+i) n-2 ´i
In= PVn´i= PV(1+i) n-1 ´i
FV1= PV1+I1 =PV(1+i)
FV2=PV2+I2=PV(1+i)2
FV3=PV3+I3=PV(1+i)3

FVn-1=PVn-1+In-1=PV(1+i)n-1
FVn=PVn+In=PV(1+i)n

由表可得：n期复利终值的计算公式为：
FVn =PV ×(1+i)n
式中：FV——终值，即本利和；
PV——现值，即本金；
i——利率(或折现率)；
n——期数。
式中的(1+i)n为“1元的复利终值系数”，记为(F/P,i,n)或FVIFi,n，例如(F/P,8%,5)，表示利率为8%、计息期为5年的复利终值系数。
复利终值系数可查“1元的复利终值系数表”求得，见附表一。通过复利系数表，还可以在已知FV、i的情况下查出n；或在已知FV、n的情况下查出i。
上式也可以写为：
FVn =PV(F/P,i,n)
或者
FVn =PV · FVIFi,n
即：复利终值=现值´复利终值系数
【例2-4】 将100元存入银行，利率假设为10%，一年后、两年后、三年后、五年后的终值是多少？(复利计算)
解 一年后：100´(1+10%)＝110(元)
两年后：100´(1+10%)2＝121(元)
三年后：100´(1+10%)3＝133.1(元)
五年后：100´(1+10%)5=161.1(元)
为了简化和加速(1+i)n的计算，可利用复利终值系数表，该表见书后附表一，表2-2是其简表。
表2-2 1元的复利终值系数表
利息率(i)
时间(n)
5.00%
6.00%
7.00%
8.00%
9.00%
10.00%
1
1.050
1.060
1.070
1.808
1.090
1.100
2
1.103
1.124
1.145
1.166
1.188
1.210
3
1.158
1.191
1.225
1.260
1.295
1.331
4
1.216
1.263
1.311
1.361
1.412
1.464
5
1.276
1.338
1.403
1.469
1.539
1.611
6
1.340
1.419
1.501
1.587
1.667
1.772
7
1.407
1.504
1.606
1.174
1.828
1.949
8
1.478
1.594
1.718
1.851
1.993
2.144
9
1.551
1.690
1.839
1.990
2.172
2.358
10
1.629
1.791
1.967
2.159
2.367
2.594
(F/P,10%,5)
如例2-4第五年后复利终值可查表计算如下：

【例2-5】 某公司从银行取得贷款30万元，年利率为6%，贷款期限3年，第3年末一次偿还，贷款到期时公司应向银行偿还多少钱？
解 已知PV=30万元 i=6% n=3年
贷款到期时公司应向银行偿还的本利和为：
FV =PV(1+i)n=PV(F/P,i,n)=30´(F/P,6%,3)=30´1.191=35.73(万元)
注：查表方法——“1元的复利终值系数表”的第一行是利率i，第一列是计息期数n，相应的(F/P,i,n)在其纵横相交处。
2．复利现值计算
复利现值是指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，即为取得未来一定本利和现在所需要的本金。例如，将n年后的一笔资金F，按年利率i折算为现在的价值，这就是复利现值。如图2-2所示。

图2-2 复利现值示意图
由终值求现值，称为折现，折算时使用的利率称为折现率。由复利终值公式FV =PV(1+i)n推导可得复利现值的计算公式为：

式中：FV——终值，即本利和；
PV——现值，即本金；
i——利率(或折现率)；
n——期数。
公式中(1+ i)-n称为复利现值系数，用符号(P/F, i,n)或PVIFi,n表示。例如(P/F,5%,4)，表示利率为5%、期限为4年的复利现值系数。与复利终值系数表相似，通过现值系数表在已知i、n的情况下可以查出PV；或在已知PV、i的情况下可以查出n；或在已知PV、n的情况下可以查出i。
复利现值的计算公式可写成：
PV =FVn(P/F,i,n)
或者
PV =FVn·PVIFi,n
即：复利现值=终值´复利现值系数
为了简化计算，可利用复利现值系数表。该表见书后附表二，表2-3是其简表。
表2-3 1元复利现值系数表
利息率(i)
时间(n)
5.00%
6.00%
7.00%
8.00%
9.00%
10.00%
1
0.952
0.943
0.935
0.926
0.917
0.909
2
0.907
0.890
0.873
0.857
0.842
0.826
3
0.864
0.840
0.816
0.794
0.772
0.751
4
0.823
0.792
0.763
0.735
0.708
0.683
5
0.784
0.747
0.713
0.681
0.650
0.621
6
0.746
0.705
0.666
0.630
0.596
0.565
7
0.711
0.665
0.623
0.584
0.547
0.513
8
0.677
0.627
0.582
0.540
0.502
0.467
9
0.645
0.592
0.544
0.500
0.460
0.424
10
0.614
0.558
0.508
0.463
0.422
0.386
(P/F,8%,3)

【例2-6】 若计划在3年以后得到4000元，银行存款利息率为8%，现在应一次存入的金额为多少？
解

或，查复利现值系数表计算如下：

复利终值系数与复利现值系数二者互为倒数关系。复利终值表明一定量的货币的未来价值，复利现值表明未来一定量的货币的现在价值。所以，在i和n相同的前提条件下，复利终值系数与复利现值系数互为倒数，因此可分别利用两个系数来解决同一个问题。
【例2-7】某人在8年后上大学需要一次缴纳10000元，按年息6%计算(复利)，目前需要一次在银行存入多少钱？
解法一 利用复利现值系数计算如下：

解法二 利用复利终值系数计算如下：

注：由于四舍五入的原因，两种方法计算的结果有一定的差额。
在财务管理实务中，习惯上把现金流量往前计算，即已知现值求终值称为复利计算，其中的“i”称利率；把现金流量往回计算，即已知终值求现值称为贴现计算，其中的“i”称贴现率。
3. 利用复利现值系数计算借款的实际利率
假设从某机构借入5000万元，代价是4年后还给该机构6802万元，同期银行贷款利率为6%，是否该借此贷款？

查复利现值系数表n=4行可知，i=8%。因为贷款的实际利率为8%，高于同期银行贷款利率6%，所以不借此贷款。
4. 利用复利现值系数计算收益增长率
某公司2001年股票的每股收益为3.50元，在2006年年底每股收益增长到6.45元。求5年间该公司的收益增长率？

查复利现值系数表n=5行可知，i=13%，即该公司5年间的收益增长率为13%。
(三)年金的计算
年金是指一定时期内每期相等金额的收付款项。简单地说，年金就是等额定期的系列收支。因此，企业财务活动中的分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，也都属于年金的收付形式。年金按照付款方式和支付时间可划分为：普通年金(也称后付年金)、预付年金(也称先付年金)、递延年金(也称延期年金)和永续年金四种。它们之间的区别如图2-3所示。

图2-3 年金按照付款方式和支付时间划分图
1．普通年金的计算
普通年金又称后付年金，指每期期末有等额的收付款项的年金。在现实经济生活中由于这种年金最常见，所以称做普通年金，又由于它发生在每期的期末，因此又称后付年金。
普通年金示意图如图2-4所示，其中横轴代表时间，用数字标出各期的顺序号，竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。图2-4表示1～4期内每年100元的后付年金或普通年金。

图2-4 普通年金示意图
根据计算方向的不同，普通年金又分为普通年金终值和普通年金现值。
1) 普通年金终值
普通年金终值简称为年金终值，是指一定时期内每期期末收付款项的复利终值之和。它相当于银行储蓄中定期零存整取的本利和。普通年金终值的计算过程可以用图2-5直观地显示出来。

图2-5 普通年金终值计算示意图
由图2-5可以得出计算公式如下：

式中：FVAn——年金终值；
A——年金；
i——利息率；
n——计息期。
其中或称为年金终值系数，又称1元年金终值，可写成(F/A,i,n)或者FVIFAi,n，年金终值计算公式可写成：

即
普通年金终值=年金´普通年金终值系数
为了简化计算，可利用年金终值系数表。该表见书后附表四，表2-4是其简表。
表2-4 1元年金终值系数表
利息率(i)
时间(n)
5.00%
6.00%
7.00%
8.00%
9.00%
10.00%
1
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
2
2.050
2.060
2.070
2.080
2.090
2.100
3
3.153
3.184
3.215
3.246
3.278
3.310
4
4.310
4.375
4.440
4.506
4.573
4.641
5
5.526
5.637
5.751
5.867
5.985
6.105
6
6.802
6.975
7.153
7.336
7.523
7.716
7
8.142
8.394
8.654
8.923
9.200
9.487
8
9.549
9.898
10.260
10.637
11.028
11.436
9
11.027
11.491
11.978
12.488
13.021
13.579
10
12.578
13.181
13.816
14.487
15.193
15.937
(F/A,8%,5)

【例2-8】 5年中每年年底存入银行1000元，若利息率为8%，求第5年年末的年金终值。
解 可查表计算如下：

【例2-9】 某公司计划在8年后改造厂房，预计需要400万元，假设银行存款利率为4%，该公司在这8年中每年年末要存入多少万元才能满足改造厂房的资金需要？
解

该公司在银行存款利率为4%时，每年年末存入43.41万元，8年后可以获得400万元用于改造厂房。
利用普通年金系数可以解决偿债基金的问题。偿债基金是指为使年金终值达到既定金额每年应支付的年金数额。
【例2-10】 某企业准备在5年后还清2000万元的债务，从现在起需每年等额存入银行一笔款项，若银行存款利率为8%，求每年需存入多少钱？
解 由于有利息的存在，每年存入的金额肯定要小于400万元(2000÷5)，5年后的本利和正好达到2000万元，用来清偿债务，根据年金终值的计算公式：

可得：

式中是年金终值系数的倒数，称为偿债基金系数，可写为或者，因此，偿债基金的计算公式可写成：

注：由于四舍五入的原因，两种方法计算结果有差额。
2) 普通年金现值
普通年金现值简称为年金现值，是指一定时期内每期期末等额的系列收支款项的复利现值之和。也可以表述为在每期期末取得相等金额的款项或现在需要投入的金额。普通年金现值的计算过程可以用图2-6直观地表示出来。

图2-6 普通年金现值计算示意图
由图2-6可知，普通年金现值的计算公式及其推导如下：

式中：PVAn——年金现值；
A——年金；
i——贴现率；
n——计息期。
计算年金现值公式中的或称为年金现值系数，又称为1元年金现值系数，记为(P/A,i,n)或者PVIFAi,n，可查“1元年金的现值系数表”求得，此表见附表三。
上式也可以写为：

即：普通年金现值=年金´普通年金现值系数
【例2-11】 某企业向银行借款购入一台设备，预计利用该设备5年内每年可创利润1000万元，若银行借款年利率为10%，求该设备新创利润的总现值。
解

为了简化计算，可利用年金现值系数表。该表见书后附表三，表2-5是其简表。
表2-5 1元年金现值系数表
利息率(i)
时间(n)
5.00%
6.00%
7.00%
8.00%
9.00%
10.00%
1
0.952
0.943
0.935
0.926
0.917
0.909
2
1.859
1.833
1.808
1.783
1.759
1.736
3
2.723
2.673
2.624
2.577
2.531
2.487
4
3.546
3.465
3.387
3.312
3.240
3.170
5
4.330
4.212
4.100
3.993
3.890
3.791
6
5.076
4.917
4.767
4.623
4.486
4.355
7
5.786
5.582
5.389
5.206
5.033
4.868
8
6.463
6.210
5.971
5.747
5.535
5.335
9
7.108
6.802
6.515
6.247
5.995
5.759
10
7.722
7.360
7.024
6.710
6.418
6.145
(P/A,10%,5)

【例2-12】可查表计算如下：

利用年金现值系数，可以解决投资回收资金的问题。投资回收资金是指在一定期间内为收回初始投资额每期期末收回的相等金额。
【例2-13】 某企业以10%的年利率借得1000万元，投资于某个寿命为10年的项目，求每年保证收回多少资金才是有利的。
解 根据普通年金现值的计算公式：

可得：

式中是年金现值系数的倒数，称投资回收系数，可写为，因此，投资回收资金的计算公式可写成：

由此可见，因为有借款利息的存在，每年实际收回的金额要大于100万元(1000÷10)。
2．预付年金的计算
预付年金也称先付年金或即付年金，是指一定期间内各期期初等额的系列收付款项，即在每期期初支付的年金。其示意图如图2-7所示。

图2-7 预付年金示意图
图2-7中的横轴代表时间，用数字标出各期的顺序号，竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。图2-7表示4期内每年100元的预付年金。
由于计算的方向不同，预付年金分为预付年金终值和预付年金现值。预付年金与普通年金的区别仅仅在于付款时间的不同。由于年金终值系数表和年金现值系数表都是按普通年金编制的，所以在利用上述二表计算预付年金的终值和现值时，可以在普通年金的基础上用终值和现值的计算公式进行调整。
1) 预付年金终值
预付年金终值是指一定时期内每期期初等额系列收付款项的复利终值之和。其根据普通年金终值计算公式进行调整的计算方法有两个。
n期预付年金与n期普通年金相比，付款次数相同，期数相同，但由于付款时间不同，一个在期初，一个在期末，所以，预付年金终值比普通年金终值多得一期利息，n期预付年金终值和n期普通年金终值之间的关系如图2-8所示。

图2-8 预付年金终值与普通年金终值的关系图
方法一：用n期普通年金终值乘以(1+i)，便可得出预付年金终值，计算公式为：

方法二：n期预付年金与n+1期普通年金的计息期数相同，但比n+1期普通年金少付一次款项(A)，因此，将n+1期普通年金终值减去一期付款额(A)，便可得出预付年金终值，计算公式为：

【例2-14】 某人每年年初存入银行200元，若银行存款年利率为8%，求第10年年末的本利和？
利用方法一公式解得：

利用方法二公式解得：

注：其中尾数的误差为系数表四舍五入所致。
2) 预付年金现值
预付年金现值是指一定时期内每期期初等额系列收付款项的复利现值之和。其根据普通年金公式进行调整的计算方法也有两个。
n期预付年金与n期普通年金相比，在计算现值时，n期普通年金比n期预付年金多贴现一期，其关系如图2-9所示。

图2-9 预付年金现值与普通年金现值的关系图
方法一：可以用n期普通年金现值乘以(1+i)来求出预付年金现值，其计算公式为：

方法二：根据n期预付年金与n-1期普通年金的关系可推出另一个公式。n期预付年金现值与n-1期普通年金的贴现期数相同，但n期预付年金比n-1期普通年金多一期不用贴现的付款额(A)，因此，可以先计算n-1期普通年金的现值，再加上一期不需贴现的付款额(A)，即可求出n期预付年金的现值，其计算公式为：

【例2-15】 某企业租用一台设备，在10年中每年要支付租金800元，年利息率为8%，问这些租金的现值为多少？
利用方法一公式解得：

利用方法二公式解得：

注：其中尾数的误差为系数表四舍五入所致。
3．递延年金的计算
递延年金也称延期年金，是指在最初若干期没有收付款项的发生，后面若干期有等额系列收付款项发生的年金形式。一般来讲，递延年金是指第一次收付发生在第二期或第二期以后的普通年金，一般用m表示递延期数，用n表示收付期数，总期数为m+n期。递延年金的收付形式如图2-10所示。

图2-10 递延年金示意图
从图2-10可以看出，递延年金是普通年金的特殊形式，第一期和第二期没有发生收付款项，递延期数m=2。从第三期开始连续4期发生等额的收付款项，n=4。
1) 递延年金终值
递延年金终值的大小与递延期无关，因此它的计算方法与普通年金终值相同，只要把发生支付行为的第一期作为计算期的起点，有几期就计算几期。
2) 递延年金现值
递延年金现值是自若干时期后开始每期款项的现值之和。其现值计算方法有以下两种。
方法一：第一步把递延年金看作n期普通年金，计算出递延期末的现值；第二步将已计算出的现值折现到第一期期初。
【例2-16】 如图2-10所示的数据，假设银行利率为6%，其递延年金现值为多少？
第一步，计算4期的普通年金现值。

第二步，将已计算的普通年金现值折现到第一期期初。折现方式如图2-11所示。

图2-11 方法一的递延年金现值计算示意图
方法二：第一步，计算出(m+n)期的年金现值；第二步，计算m期年金现值；第三步，将计算出的(m+n)期扣除递延期m的年金现值，得出n期年金现值。其计算步骤为：

方法二的折现方式如图2-12所示。

图2-12 方法二的递延年金现值计算示意图
综上，递延年金的表示如图2-13所示。

图2-13 递延年金现值计算示意图
综上所述，根据普通年金现值计算公式来调整计算递延年金现值的计算方法有以下两种。
方法一：把递延年金作为n期普通年金来看待，求出n期末到m期末的年金现值，然后再把这个现值作为终值，再求其在m期初的复利现值，这个复利现值就是递延年金的现值。计算公式如下：

方法二：把递延年金视为m+n期普通年金，即假设递延期中也有收付额发生。先求出m+n期普通年金现值，然后再减去并没有收付额发生的递延期(m期)的普通年金现值，最终求出的二者之差即是要求的递延年金现值。计算公式如下：

4．永续年金的计算
永续年金是指无限期支付的年金，如优先股股利。永续年金可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。其现值的计算公式可由普通年金现值公式推出。
在我国现实生活中，最常见的是银行存款中的存本取息。在西方，某些债券采取了终身年金的形式，持有者凭它可在每期取得等额的资金，直到无限长的时间，永远不会期满。也就是说，发行者没有义务在将来的任何时候以债券的票面值赎回这些债券。此外，优先股股票因为有固定的股利而又无到期日，因而优先股的股利也可以看做是这种永续年金。永续年金现值图如图2-14所示。

图2-14 永续年金现值图
由于永续年金没有终止的时间，所以也就不存在终值，因此，在永续年金的计算中只涉及现值计算的问题。
永续年金现值的计算公式，可以通过普通年金现值的计算公式导出：

其中：。当n→∞时，→0，故：=。因此，永续年金现值的计算公式为：

【例2-17】 某永续年金每年年底的收入为800元，利息率为8%，求该项永续年金的现值。
解

【例2-18】 某学院拟建立一项永久性奖学金，每年计划颁发20000元奖学金，若利息率为10%，现在应一次存入银行多少钱？
解

(四)复利计息频数
复利计息频数是指利息在一年中复利多少次。在前面的终值与现值的计算中，都是假定利息是每年支付一次的，因为在这样的假设下最容易理解货币的时间价值。但是在实际理财中，常出现计息期以半年、季度、月，甚至以天为期间的计息期，相应复利计息频数为每年2次、4次、12次、360次。如贷款买房按月计息，计息为12个月。如果给出年利率，则计息期数和计息率均可按下列公式进行换算：

式中，r为期利率，i为年利率，m为每年的计息次数，n为年数，t为换算后的计息期数。其终值和现值的计算公式分别为：

【例2-19】 某人存入银行1000元，年利率为12%，分别计算按年、半年、季、月的复利终值。
解 按年复利的终值：FV1＝1000´(1+12%)＝1120(元)。
按半年复利的终值：FV2＝＝1123.6(元)。
按季复利的终值：FV3＝＝1125.51(元)。
按月复利的终值：FV4＝＝1126.83(元)。
从以上计算可以看出，按年复利终值为1120元，按半年复利终值为1123.6元，按季复利终值为1125.51元，按月复利终值为1126.83元。
结论：一年中计息次数越多，其终值就越大。一年中计息次数越多，其现值越小。这两者的关系与终值和计息次数的关系恰好相反。
(五)贴现率、期数的推算
1．贴现率的推算
1) 一次性收付款项贴现率的推算
对于一次性收付款项，根据其复利终值(或现值)的计算公式可得贴现率的计算公式为：

因此，若已知FV、PV、n，不用查表便可直接计算出一次性收付款项的贴现率。
2) 永续年金贴现率的推算
当已知PV和A，则可根据永续年金现值的计算公式得出贴现的计算公式为：
i=A/PV
3) 普通年金贴现率的推算
普通年金贴现率的推算比较复杂，无法直接套用公式，必须利用有关的系数表，有时还要利用插值法。
下面利用年金现值介绍一下其具体计算步骤。
(1) 根据普通年金现值的计算公式，可推算出年金现值系数。
=
(2) 根据查年金现值系数表，可能找到恰好等于的系数值，则这一数值对应的i值，即为所求的贴现率i。如果未能找到这一数值，则应用插值法求i。
即在表中找到与上述数值最接近的两个左右临界值，设为、()，其所对应的贴现率分别为i1、i2，假设贴现率i同相关系数在较小范围内先行相关，因而可根据临界系数和相应的贴现率计算出对应于所求年限的贴现率，其公式为：

【例2-20】 某企业某年年初借款2000万元，银行要求每年年末提出还本付息的金额为400万元，需要9年还清。则借款利率为多少？
解 根据题意，已知PV=2000，A=400，n=9，则

查“普通年金现值系数表”，在n=9的一行上无法找到恰好等于=5的系数，于是在该列上找到大于和小于5的临界系数值，分别为=5.1317和=4.9464，其对应的临界利率为i1=13%和i2=14%。则：

2．期数的推算
期数的推算，其原理和步骤同贴现率的推算相似。现以普通年金为例，说明已知PV、A和i的情况下期数n的推算。
【例2-21】 某企业现有一次性借款1500万元，若在年利率10%的情况下，每年年末提出300万元作为偿债准备，需要多长时间才能付清偿债款项？
解 根据题