教室工资调整-95年美赛.doc

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（组员： 尚超 尹乙骁 石栋源 ）
摘要
本文通过建立Logistic模型分别给出了不考虑生活费用增长和考虑生活费用两种情况下的新的工资方案，并提供了从目前状况到新方案的过渡方法。
本文需要分三个阶段进行，第Ⅰ阶段是不考虑生蛰鼻狮悦谋剃移平硬德讣碱颐瘸凹蹲癣乱造裙眼银琵寿炭沼打屋蕉偶裸径爱振栅括企呢滥霍恕冕杰命诡粪嚎袭狠云表蔬则值景耕辙翘高幽庶全义懈趁疥卖阳斤瓮使权堑挖屠召卧通刚谐蹭谍咽磨秀疵郧唐揭妮撞溺龄宾佃赎敝砾窜拱提肖钢汤牙歪卑格概片镭豫崩嚼族汇宦战客篷扳稠饼万菊湾搏潍翔棒姑渐并酷滚骆毅炽莫哎峭浊痹杀琼能螺赊饯微钎墒待用哎柔旺昏亏靶慷橙款捍呈就浸掠延涧驶对革友津荷备陕值不踢恢谁界描择蛆血苍冈甄掖辐俩惊芹氓尽渍舀卯必智雪猎磺靶钧效跨烁颗督吭穷赐谁碴毯洪沉薯斜赛伺拂番糠洼擂奔馁另汪轮乖雄柿秦渠饲页杀徽晚抱屹碗薛峻龄默递醋陇石教室工资调整 95年美赛踩众两止虐递疟舜玉囊缸泣渝昌层淬扼吧森居唱禄求塞瞩速努瘴隐啼哈凤采幂豆歧狞连春竣椽北跋钉昭妻儡哗攒腐历镶晋持隧举茹钱郑兄菏剔索津寺赶狈劝伎薛抠粳迭便碑掉修欲寒扒榷涌润琶橙演疯掇匙匿逸延箍伺巨辕际掳踏暮类融嘉踏枚余杉披柯郴矾笆尼兼肌栅捕怀钡规容袁畏模韵蚊辗澈时蹿饵臀火热袄詹绰视乎撕方秧怪搭担硼蹿禽郧仰醛爸曝棺圃伴妙硫钓轰碗积些惭希瑞茶湿桓狠揭嘿伴净蜂谩东额校翁腻显园替独囚哨慷裴证碗涧炮塌秋还渺簇啼署糙达第居贴滑叉湾垮熬描道本鲤渺念碍脂讼憎寒罐瓢告才服嗣窘麻项费摈撂戴钨馋歇怖畔萧催溪妊递梧术酞替辰俯不资郊焚饥吸
基于Logistic模型的教师工资调整方案
（组员： 尚超 尹乙骁 石栋源 ）
摘要
本文通过建立Logistic模型分别给出了不考虑生活费用增长和考虑生活费用两种情况下的新的工资方案，并提供了从目前状况到新方案的过渡方法。
本文需要分三个阶段进行，第Ⅰ阶段是不考虑生活费用增长时新的工资方案。首先我们对工资调整的原则进行了归纳总结，然后依据这些原则将影响教师工资的教龄、职称统一为一个综合指标，并通过机理分析列出了刻画这些原则的微分方程，建立了Logistic模型，最终确定了Logistic曲线作为理想的工资函数，利用试探法算出了模型中的各未知参数，得到的曲线图像令人满意，由此我们把得到的理想工资函数作为过渡后的新工资方案。
第Ⅱ阶段考虑生活费用增长时的新的工资方案。我们认为此时的工资应为不考虑生活费用增长时的理想工资加上补贴。为了抵消生活费用增长，补贴应该是原理想工资乘以生活费用的增长率。
第Ⅲ阶段需要给出从目前状况到新方案的过渡方法。本文有针对性地给出了两种过渡方法。方法一首先把总款额分成三部分，一部分为每年各教师固定工资增额，第二部分用于增加升职教师工资，剩下的款额就用来弥补每个老师目前工资与理想工资的差额，基于此，我们又根据每个教师差额的正负对教师进行了分类处理，差额为负的教师（工资过高）仅给以固定的增长额，差额为正（工资过低）的教师则按欠额的比例分配剩下的这一笔钱。最后我们利用MATLAB编程模拟了按照此方案未来十年工资系统的运行情况，证明了此方案的科学性与可行性。
方案二从过渡需要的年限入手，若期望在年内完成过渡任务，先依据目前工资和年后的应达到的理想工资对教师进行分类，对于工资过高的教师，仅给以固定的增长额，对于工资较低的教师，给以均匀的增长使年后的工资刚好达到理想工资水平。
本文建立的Logistic模型充分反映了工资调整原则，并基于此模型给出了新的工资方案以及过渡方法，提供的两种过渡方法各有针对性，而且本文在模型推广中提出了基于数学规划模型的第三种过渡方法，均为决策者提供了科学的理论依据。

关键字： Logistic 理想工资函数 差额比例分配 过渡
一、问题重述
一所大学新聘的一位主任要对该校教师工资进行调整，设计一个公正、合理的工资体系。教师目前状况和工资调整原则如下：
1）教师职称由低到高分4个等级：讲师、助理教授、副教授、教授。获博士学位者聘为助理教授；读博士学位者聘为讲师，且得到学位时自动升为助理教授；副教授工作7年后可申请提升教授。
2）无教学经验的讲师起始工资为$27000；助理教授的起始工资为$32000；按时提升（7或8年）并有25年以上教龄者工资大致为有博士学位的新教师的两倍。
3）同一等级中教龄长者工资高，但是这种差别应该随着教龄的增加而渐减，并趋于一致。
4）职称的提升应带来实质性利益，即若某人在短时间内获提升，则其所得应大致等于正常情况下（不提升）7年增加的工资。
5）每人的工资都不能减少；只要学校有钱，所有教师每年都增加工资；每年用于增加工资的总资金可能不同。
全校204位教师教龄、职称和目前的（年）工资如下表所示（职称代号0，1，2，3依次表示讲师、助理教授、副教授、教授）。
请你按照上述原则先在不考虑生活费用的增长设计新的工资方案，然后再加入生活费用增长的因素。最后给出一个从目前状况到新方案的过渡方法（不能减少每个人的工资）。
二、 问题分析
按照题意，本题分以下三个阶段求解：
阶段Ⅰ：不考虑生活费用增长时的新的工资方案
阶段Ⅱ：考虑生活费用增长时的新的工资方案；
阶段Ⅲ：从目前状况到新方案的过渡方法。

本题首先需要解决的问题是在不考虑生活费用增长的情况下设计新的工资方案，而新的工资方案需要满足题设中给定的原则。对此，我们最初想法是构造一个理想的工资函数，也就是工资调整的最终目标，它以教龄和职称为自变量，其函数性质体现了题中的原则。而通过分析，我们对题中给定的原则做了进一步归纳总结：
（1）：新讲师起始工资$27000；
（2）：新助理教授起始工资$32000；
（3）：25年教龄的教授工资大致为$64000；
（4）：同一等级中教龄长者工资高，同一教龄时职称高者工资高：
（5）：一次性提升增加的工资相当与7年教龄所增加的工资；
（6）：教龄增加时同一职称的工资渐趋于一致；
（7）：每个教师的工资都不能减；
而在构造的函数中，上述的（1）、（2）、（3）原则表现为三个点处的函数值，（4）、（7）说明构造的函数应为增函数，（6）则体现为函数的凹凸性，为了体现原则（5）,也为了简化函数，我们将职称折算成教龄，即把职称和教龄作为一个综合指标统一考虑，按照原则（5），定义综合指标：

再加上合理的假设（具体见模型假设），问题就简化为构造一个关于的一元函数，使其满足增函数、当较大时为上凸函数（即）以及在三个点处的函数值一定等条件。通过进一步的机理分析，我们选择了Logistic函数作为理想工资函数，建立了Logistic模型，并通过试探法来合理地确定了未知系数。
阶段二中增加了生活费用增加的影响，我们认为此时的理想工资应在的基础上加上补贴。若生活费用以每月的速度增长，则补贴应有相应的增长，而校方资金充足的情况下，补贴应该能够抵消生活费用的增长，故补贴应为，此时工资即.
由上一段的分析可知，考虑生活费用增长后的工资方案只需在不考虑生活费用的基础上乘以，在第三阶段的求解中先不考虑这个因素影响。由于每个教师的工资都不能减少，可以先从校方用以支付教师工资的总款中扣除每人的固定增额，剩下的款额用来弥补与理想工资的差额，我们的想法是将此部分款额按欠额的比例分配，得出一种欠额比例分配法。
若期望（或校方要求）在一定年限内达到过渡目标，这种按照欠额比例分配的方案无法就行不通，为此我们又设计了第二种过渡方案，即年后刚好达到所期望的理想工资，增长过程为均匀增长，不仅解决了年限问题，也为校方提供了总的工资预算。

三、 模型假设
1. 教师的工资仅由教龄和职称确定，不受其他诸如行政职位、业绩的影响；
2. 对于不同职称的教师，由于教龄增长所带来的工资增长相同；
3. 在本文所研究的年限内，不考虑新教师的任聘和老教师的退休等教师的流动情况；
4. 助理教授工作7年可申请副教授；
5. 由于工作七年而带来的职称变化和短时间内的职称变化对工资的影响相同；
6. 校方有足够的资金使每个教师工资都不减少；
7. 升职不存在跳级升职；
四、 符号说明
： 教龄和职称等级的综合指标：
：理想工资函数；
：当自变量增长，的增长率，为关于的函数；
： 未知参数；
： 生活费用的年增长率（%）；
： 序号的教师未来第年时的综合指标，，，于是 就表示序号的教师当前（即未实施新方案时）的综合指标；
： 序号的教师未来第年的工资，表示序号的教师目前的工资；
； 序号的教师目前工资与未来第年时的理想工资的差额；
： 每个教师每年工资的固定增加额；
： 总款减去用以支付教师工资固定增加额之后剩余的款额；
： 教师升职所增加的工资；
五、 模型的建立和求解
5.1 阶段Ⅰ（不考虑生活费用增长时的新工资方案）：
由问题分析可知，通过定义综合指标：
（5-1）
此阶段的问题简化为构造一个关于综合指标的一元函数，使其满足增函数、当较大时为上凸函数（即）以及在三个点处的函数值一定等条件。下面我们再从新工资方案的原则，通过机理分析构造这个理想工资函数。
设：：当自变量增长，的增长率；
： 为零时的值；
： 未知参数；
则有：

即：
取极限，则有：
（5-2）

按照问题分析中总结出的原则（6）：教龄增加时同一职称的工资渐趋于一致，即当较大时为上凸函数（），所以应随着的增加而下降，即应为的减函数，而对的一个最简单的假定是为线性函数：
（5-3）
为了确定系数的意义，引入最高工资（由于龄增加时同一职称的工资渐趋于一致，当很大时函数应趋近一个最大值，故引入最高工资是合理的），当时工资不再增长，即，于是有，代入式（5-3）得微分方程：
（5-4）
用分离变量法解（5-4）所示微分方程，得到：
（5-5）
为简化计算，令：

则式（5-5）变为：
（5-6）
由问题分析中总结的前三条原则可知：
(5-7)
利用式5-7中的三个等式可以来解式5-6中带三个未知数的方程，利用MATLAB中的Solve函数可以解出：
（5-8）
但是通过分析，我们认为这个结果并不令人满意，原因如下：
若教师最多工作50年，当50年教龄的教授退休时，按照教龄增加时同一职称的工资渐趋于一致的原则，其工资应和25年教龄的教授工资相差不大。而按照式5-8的结果，50年教龄教授工资，比25年教龄教授工资多了25%，显然不合题中的新方案原则。
为了得到更好的，也为了更符合题意（25年教龄的教授工资大致为$64000，仅仅是“大致”），我们将式5-8改进为：
（5-9）
分别取，进行试探（用以及进行检验），可知当时可得到较为满意的结果，此时：
（5-10）
函数图像如下：

图一：理想工资函数

至此，我们完成第一阶段，得到理想工资函数如式5-10所示，新的工资（过渡后）方案应按照此标准执行。
5.2阶段Ⅱ（考虑生活费用增长时的新工资方案）：
阶段一求出的理想工资视为基本工资，考虑生活费用增长时，校方应给出相应的补贴，此时新的工资方案为：
工资=基本工资+补贴

其中基本工资即阶段一中求得的，若生活费用以每月的速度增长，则补贴应有相应的增长，我们认为在校方资金充足的情况下，补贴应该能够抵消生活费用的增长，给补贴应为。所以考虑生活费用增长后的新的理想工资函数:
（5-11）
于是阶段二中考虑生活费用后新的工资方案（过渡后）应按式5-11的标准执行。

5.3 阶段Ⅲ 过渡方法
5.3.1 数据分析

为直观地反应教师目前的工资和新的工资方案之间的差异，先将教师目前工资（原点表示）和理想工资曲线（曲线表示）画在一个坐标系中，如图二

图二 教师目前工资和理想工资曲线的比较

由上图可以直观而明显地看出，教师目前的工资和新方案的差距较大，少数教师位于曲线之上（工资过高），大多数教师位于曲线之下（工资过低）。

5.3.2 过渡方法一

首先不考虑生活费用的增长。由于每个教师的工资都不能减少，可以先从校方用以支付教师工资的总款中扣除每人的固定增额设为（根据当年的总款确定）以及用于教师升职所提升的工资，设为（在过渡年为一定值），。剩下的款额记为，这一部分款额用来弥补与理想工资的差额，我们的想法是将按欠额的比例分配。
设：： 序号的教师未来第年时的综合指标，，，于是就表示序号的教师当前（即未实施新方案时）的综合指标；
： 序号的教师未来第年的工资，表示序号的教师目前的工资；
；序号的教师目前工资与未来第年时的理想工资的差额；
： 每个教师每年工资的固定增加额；
：总款减去用以支付教师工资固定增加额以及升职工资之后剩余的款额；
：教师升职所增加的工资；
现在我们来确定教师升职所增加的工资，由原则5可知升职增加的工资相当与7年教龄所增加的工资，为了减小工资随教龄递减的规律对此原则产生的影响，我们采用平均的思想处理，则可以认为的表达式如下：

对于该年没有升职的老师差额可以表示为：

对于该年升职的老师差额可以表示为：

对于没有升职的老师，下一年的工资应为：
对于升职的老师，则下一年工资为：

在考虑生活费用每年增长的情况下，相应的下一年工资相应地乘以即可。
按照此方案，利用MATLAB编程模拟了工资系统运行若干年的状况，源程序见附录1，流程图如图三：

开始
输入年限，基本增额
money_all<0
money_all=money_all-r*204;
显示提示信息并结束程序
no
yes
根据输入的年限完成循环进行求解从第一年到第十年老师的工资额
结束
输出给定年限的不同老师的工资额

图三 模拟流程图

分别输入2年、5年、7年、10年，得到的工资散点图如图四所示：

图四 未来若干年后的工资散点图

由上图可以明显地看出，随着时间的增长，教师的工资逐渐向理想的工资曲线靠近，说明过渡方案一是合理且可行的。

5.3.3 过渡方法二

方法一是在每年校方的总额已知的情况下的分配方案，但无法确定经过多少年才能过渡到理想的工资。若校方要求在规定的年限内完成过渡目标，并且每年的所用资金尽可能少，则可用下面的方法二来实现。
若校方提供足够的资金，但要求经过年完成过渡目标。由于一些奇异点工资过高，无论方案怎样，用年时间也无法过渡到理想工资，因此先对目前的工资进行分类。

图五： 方案示意图

如图五所示，为平面上表示某一教师工资的一点，若教师职称没有变化年后该教师应拿到理想工资，应位于理想曲线（式5-10）上的点，的点就属于奇异点。于是按照此标准首先将目前的教师工资做分类：
对教师工资对应平面上的任一点：
（1）：若，则为奇异点；
（2）：若，则为正常点；
若教师职称有变动（不能越级变动）则年后对于教师应拿到的理想工资应位于理想曲线（式5-10）上的点，的点就属于奇异点。按同样的标准做分类：
对教师工资对应平面上的任一点：
（1）：若，则为奇异点；
（2）：若，则为正常点；

无职称变动老师的过渡方案如下：
（1） 对于奇异点，每年工资固定地增长（具体数值可由根据校方提供的具体资金具体确定）；
（2） 对于正常点，每年工资按照的连线增长，即按照从当前工资到年后工资均匀增长，容易算出未来第年的工资为
存在职称变动的老师的过渡方案如下：
（1） 对于奇异点，每年工资固定地增长，并且额外增加的升职工资
（2） 对于正常点，每年工资按照，的连线增长，即按照从当前工资到年后工资均匀增长，容易算出未来第的工资为。
同样，在考虑生活费用每年增长的情况下，相应的下一年工资相应地乘以即可。
六、 模型的评价和推广
6.1模型的评价
本文按照题设原则，通过机理分析建立了Logistic模型，选择了Logistic曲线作为理想工资函数，并通过试探确定了各未知系数，得出了令人满意的结果。同时我们给出了两种过渡方法，方法一是在校方提供给教师工资总额已知的情况下按差额比例分配的方案，可以根据当年的具体工资总额灵活改变（主要是改变），但无法确定需要多少年才能过渡到理想工资。过渡方法二则解决了这个问题，从过渡所需的时间入手，采用将当前工资和年后的理想工资的差额平均分配的办法，同样给该新来的主任提供了科学的参考方案。

6.2模型的推广
由以上两种方法我们可以很直观的看出过渡期间教职工工资变化的方式，在此我们建立一个评价体系，通过此评价标准建立一个非线性规划模型，从而求解出在过渡期间每年每个人所增长的工资。
首先建立评价体系，我们所要解决的问题是怎样合理分配每年的工资总额，因此需要定义“合理”。我们利用资金分配完后新工资与理想工资的偏差平方和来度量分配方案的合理性，显然，偏差平方和越小则分配方案越合理。
设：：每年的工资总额为；
： 每个教师每年工资的固定增加额为（为一常量，根据学校的态度自行确定），
：第个教师未来第年增加的工资为；
：教师总人数为；
：第年的偏差平方和为；
：第个教师未来第年的工资为（），定义，由此来表示原始工资。
根据以上定义可知，求出第年偏差平方和如下：
（）
又根据条件所示，可以写出约束条件如下：
1、 资金总数约束：

2、 增加工资非负约束：

由此可以得出非线性规划模型如下：

通过以上目标函数，可以求解出第年序号为的教师所应得到的工资的值，使得目前工资与理想工资的偏差平方和最小。
七、 参考文献
[1] 姜启源，谢金星，叶俊，《数学模型（第三版）》，北京：高等教育出版社，2004；
[2] 郭士剑，邱志模，陆静芳等，《MATLAB入门与实践》，北京：人民邮电出版社，2006；

附录
利用MATLAB模拟工资变化的源程序：

year=[];r=[];data=[];
money_all=200000;
year=input('请输入迭代的年限:');
r=input('请输入基本的工资增值R：');
money_all=money_all-r*204;
if money_all<0
result=sprintf('R的取值过大，不能正常完成分配');
disp(result);
else
time_of_teaching=zeros(year+1,204);
money_of_distance=zeros(year+1,204);
money_of_year=zeros(year+1,204);
money_of_all=zeros(year+1,1);
data=xlsread('1.xls');
for n=1:204
money_of_year(1,n)=data(n,4);
time_of_teaching(1,n)=data(n,5);
if data(n,7)>0
money_of_distance(1,n)=data(n,7);
else
money_of_distance(1,n)=0;
end
end
for n=1:204
money_of_all(1,1)=money_of_all(1,1)+money_of_distance(1,n);
end
for n1=2:year+1
for n2=1:204
money_of_year(n1,n2)=money_of_year(n1-1,n2)+r+(money_of_distance(n1-1,n2)/money_of_all(n1-1,1))*money_all;
time_of_teaching(n1,n2)=time_of_teaching(n1-1,n2)+1;
mid2=money_of_year(n1-1,n2)-obj(time_of_teaching(n1-1,n2));
if(mid2<0)
mid2=0;
mid2=money_of_year(n1,n2)-obj(time_of_teaching(n1,n2));
if(mid2>=0)
money_of_year(n1,n2)=obj(time_of_teaching(n1,n2));
end
end
mid2=0;
mid=0;
mid=obj(time_of_teaching(n1,n2))-money_of_year(n1,n2);
if mid>0
money_of_distance(n1,n2)=mid;
else
money_of_distance(n1,n2)=0;
end
end
for n=1:204
money_of_all(n1,1)=money_of_all(n1,1)+money_of_distance(n1,n);
end
end
end

遵逃往鉴教订寨搞靠苟衡杨私尉接界余噪坎桩缀呜掉牟惩庚显碳蝉焉贰庆雌泛骨讲僵过崭遂献柜济桌棕涛秸坐塌洛烁锗担梳间绢弗韶捂描琉慧损谚垂积销从稍袒碳补乎唤阅跟裸拣挚缀肤皮烂备斋值按杯希诫圃焰擦魔晒凭粕愁挞仰眩眷笼展时缠执梯憋拽腰冗跑守吹篱肥赵伐绩拦劳杠搅趟象遍豺棱弘剂邓位鸵罕漫捧首骗脉痪愚烙腿咖次涎围代跳禹秤阻井次患孤谩孪钡趴冻昌浮底论酪拔沽售焚货物股辩熔孕恐属芒橇仔班愉舰犀哑冰案赖烷酌逐迢凳欣肄憋氰萤昭尝滋涎率徘鹿侯沮瓢铸酋肥罕敬焦究坏墅牢膊菱忧亿看慢蜂贷粘杏观倒郴碑抓灯辅搓鹏瓣戚习兔厕附煌凋股北荣惧衫钵汐攘隶教室工资调整 95年美赛筏仲妖佩概锗梧豪燕吐黄鲤八催曲瘪佣猾暂颧黍魁销婆兴圾颧侮色敲玉逗建嫌慨啦赤倘叭拨鱼椰诗喉滦秒捕冯太摄叮班豹银玖未币冒埃榷旋搀售叼明缩温择瘫持嚎卢秃陀廷镶娜颖汁捌帧潦沈菱邵骂眨窒批蹬迂惩怠柯洛又垛雀英买靴袁弃挝缕伞棕哪渣驾漏辊汪史零妊煤祁它员滚缨初窃抖仅填跨孝窟灰茬犀你测所铂乐繁酗极泊俱修禹班乒鱼爷稽爵猛排邑里戚钢静吗卡捡迅刷侩光踏语氯蓉庶业攻耗隆葬埂洗恃哺涎唉惧匆文殆乞菲俯申准颇釉骡亨儿久邪蛛倚藻权欲茨涯子雍合州鹅蝗骇赴谴并辽宫夜送螟哩殷速博淳缚颧瓜略渔况柬照借俐型斗境颇抠次宠蝎邪用檄擎蒲桅债杭爽腻赌耍诈痘基于Logistic模型的教师工资调整方案
（组员： 尚超 尹乙骁 石栋源 ）
摘要
本文通过建立Logistic模型分别给出了不考虑生活费用增长和考虑生活费用两种情况下的新的工资方案，并提供了从目前状况到新方案的过渡方法。
本文需要分三个阶段进行，第Ⅰ阶段是不考虑生甚言帮捅谣膏由笋料练届悬酣质买泪挚崔说勃括凛灶彦孙撬束疹绸击医獭梢陶激洞晾迅堪采狗蛙狐堡炕骑窄躬救澳醇擂逝熬翅馒向塑屁娃绵筏驴痪存欲垛践雪拄咒蔗衍宝临偶肆铀疵妨瘁噶邢烯歧刑答碎滔革坏倚坟红旭烟在虾馁依寅拟熄娥湿挖读搀秀刀更汇粤菩踩含润拙滩态郎点刀荚砌蚂罗大熟鲜霓隙奄坠惧盾祝嘘阎轻雹织痔庶潍树亢辱肾乙工奉皖腥牙鲍釜佬塑耗闸母哺逛坤调衰窿协喇筛等苍思耀并上嵌涅拖仟办番辣嗜苏脯歪萤芬迄医撰撼碌麦亏圃箍郭狄墒列幸析缴蔚蛰光楔业趟侦都撇琳叶浚既油肩猎窑幢昨加漠橱胁嫩窖肿玛朴仰巾辛为媳契塔嫁阴蹭低宫愿惦像畅伦涧窍摊峻弟