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1. 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必需满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多．
[回扣问题1] 若A＝{1,2,3}，B＝{4,1}，则从A到B的函数共有________个；其中以B为值域的函数共有______个．
答案 8 6
2．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数肯定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出全部的不等式，不应遗漏．若f(x)定义域为[a，b]，复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a，b]，则f(x)定义域相当于x∈[a，b]时g(x)的值域．
[回扣问题2] 已知f(x)＝，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为________．
答案 [1,3]
3．求函数解析式的主要方法：
(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等．
[回扣问题3] 已知f(x)－4f()＝－15x，则f(x)＝________.
答案 x＋
4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
[回扣问题4] 已知函数f(x)＝
则f(f())＝________.
答案 －2
5．函数的奇偶性
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|);
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；
定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；推断函数的奇偶性，先求定义域，再找f(x)与
f(－x)的关系．
[回扣问题5] 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)＋1，求f(x)的解析式．
答案 f(x)＝
6．函数的周期性
由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a＞0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；
②若f(x＋a)＝(a≠0)成立，则T＝2a；
③若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a.
[回扣问题6] 设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(47.5)等于______．
答案 －0.5
7．函数的单调性
①定义法：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数；
②导数法：
留意f ′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不肯定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；∴f ′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
③复合函数由同增异减的判定法则来判定．
求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必需是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
[回扣问题7] 函数f(x)＝x3－3x的单调递增区间是________．
答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)
8．求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合于已知或能推断单调性的函数；
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；
(3)基本不等式法：特殊适合于分式结构或两元的函数；
(4)导数法：适合于可导函数；
(5)换元法(特殊留意新元的范围)；
(6)分别常数法：适合于一次分式；
(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特殊是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．
[回扣问题8] 函数y＝(x≥0)的值域为________．
答案
9．常见的图象变换
(1)平移变换
①函数y＝f(x＋a)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位得到的．
②函数y＝f(x)＋a的图象是把函数y＝f(x)的图象沿y轴向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位得到的．
(2)伸缩变换
①函数y＝f(ax)(a＞0)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的得到的．
②函数y＝af(x)(a＞0)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的．
(3)对称变换
①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
[回扣问题9] 要得到y＝lg的图象，只需将y＝lg x的图象________．
答案 向左平移3个单位，向下平移1个单位
10．二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(3)一元二次方程实根分布：先观看二次系数、Δ与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再依据上述特征画出草图．尤其留意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．
[回扣问题10] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________．
答案
11．指、对数函数
(1)对数运算性质
已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0.
则loga(MN)＝logaM＋logaN，
loga＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，
对数换底公式：logaN＝.
推论：logamNn＝logaN；logab＝.
(2)指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化状况考虑，特殊留意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
[回扣问题11] 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a＞b＞c
12．幂函数
形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．
(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．
②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．
③当0＜α＜1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．
④当α＞1时，在第一象限内，图象是下凸的．
(2)增减性：①当α＞0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α＜0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．
[回扣问题12] 函数f(x)＝x－x的零点个数为 ( )．
A．0 B.1
C．2 D.3
答案 B
13．函数与方程
(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)y＝f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x0∈(a，b)使f(x0)＝0.这个x0也就是方程f(x)＝0的根．
(3)用二分法求函数零点
[回扣问题13] 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )．
A．(－2，－1) B.(－1,0)
C．(0,1) D.(1,2)
答案 B
14．导数的几何意义和物理意义
(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)v＝s′(t)表示t时刻即时速度，a＝v′(t)表示t时刻加速度．
留意：过某点的切线不肯定只有一条．
[回扣问题14] 已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是________．
答案 3x＋y＝0或24x－y－54＝0
15．利用导数推断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，假如f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；假如f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；假如在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常数．
留意：假如已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
[回扣问题15] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．
解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由f′(x)＝3ax2－2x＋1≥0，得解得a≥.a＝时，f′(x)＝(x－1)2≥0，
且只有x＝1时，f′(x)＝0，∴a＝符合题意．
答案
16．导数为零的点并不肯定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
[回扣问题16] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．
答案 x＝1
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