财务管理作业期权二叉树.doc

财务管理作业22、(1)期权的价值是股票的价格减去执行价的现值，所以 C0=80-70/1.06=13.96（美元） （2）防止套利的存在，得出看涨期权的价值是 80=（95-75）/（95-90）C+75/1.06 所以C0=2.31（美元）23、（1）期权的价值是股票的价格减去执行价的现值，所以 C0=70-45/1.05=27.14（美元） （2）防止套利的存在，得出看涨期权的价值是 70=2 C0+60/1.05 所以C0=6.43（美元）24、 利用买卖期权平价求解看跌期权的价格 61+P=65e-0.026 *3/12+4.12 所以P=7.70（美元）30、 看张期权的期限Delia是N（d1）,所以 d1=（87/85）+（0.05+0.562 /2）*0.75/()=0.3678 所 以N（d1）=0.6435 所以看张期权的Delia是0.64，看跌期权的Delia=0.64-1=-0.36 Delia表示一个标的资产每变化1美元时，期权价格的变化量。31、 用B-S模型期权定价模型，股票价格为160万美元，执行价格为 175美元，所以 d1=（1600000/1750000）+（0.05+0.022/2）*（12/12）/ （0.20*）=-0.0981 d2=-0.0981-(0.20*)=-0.2981 进而求得N（d1）=0.4609 N（d2）=0.3828 将这些值 代入B-S公式，可得 C=1600000*0.-0.05*1*0.3828=100231.18（美元）34、 股票价格可能增长15%，也可能下降15%。所以到期时股票价格 可能为 股票价格（增长）=75*（1+0.15）=86.25（美元） 股票价格（下降）=75*（1-0.15）=63.75（美元）两种情况下的收益都是股票的价格减去执行价格与0的最大值， 所以 股价上升的收益=Max*86.25-70 ，0=16.25（美元） 股票下降的收益=Max*63.75-70 ，0=0（美元） 股价上升时风险中性的概率是 股价上升的概率=（0.15+0.12）/（0.15+0.15）=0.90 股价下降的概率=1-0.90=0.10 所以，看涨期权风险中性的价值是 看涨期权的价值=（0.90*16.25）+（0.10*0）/（1+0.08） =13.06（美元）35、 股票价格上升或下降，期权收益将保持不变，因为股价的变化量 是一样的。股票的价格增长后新的风险中性概率为 股票价格上升概率=（0.08+0.15）/（0.15+0.15）=0.7667 股票价格下降概率=1-0.7667=0.2333所以看涨期权价格的风险中性价值为：看涨期权价值=（0.7667*16.25+0.2333*0）/（1+0.15）=11.54（美元） 36、如果行权价格为0，看涨期权价值等于股票价值，即85美元。 44、（1）为了用二叉树模型解决这个问题，首先需要画出一个包含股票当前价格和期权到期时股票的可能价格的股票价格二叉树。然后，还需要给期权画一个类似的二叉树，该二叉树指明在两种可能的股价变动下，到期时期权的价值是多少。 股票价格 110美元执行价格的看涨期权今天 一年后 今天 一年后 125 15 =Max（0,125-110）100 ？ 80 0 =Max（0,80-110） 今天的股票价格是100美元，1年后它可能上涨到125美元，也可能下跌到80美元。如果股票上涨到125美元，看涨期权执行价格是110美元，那么到期时其持有者将获得15美元的收益。如果股票下降到80美元，期权持有者不会执行期权，到期时收益为0。如果股票的价格上升，期间收益率为25%，如果 股票价格下降，期间收益率为-20%。可用下面的表达式来确定股票价格上升时的风险中性概率 无风险利率=股价上涨率*增长受益+股价下跌概率*下降收益0.025=股价上涨概率*0.25+（1-股价上涨概率）*（-0.20） 得股价上涨概率=50%这就是说，股票价格下降的风险中性概率为 股价下跌概率=1-0.5=50%用风险中性概率，可以得到看涨期权在到期日的期望收益 到期日的期望收益=0.50*15+0.50*0=7.50（美元）应为这个收益在1年以后才发生，必须折现。由于适应风险中性概率，还可以利用无风险收益率，所以 到期日期望收益的现值=7.50/1.025=7.32（美元）所以，给定1年后股价波动信息，一个行权价为110美元，1年后到期的欧式看涨期权的现值是7.32美元。（2） 是的。有办法创设一种和刚才描述的看涨期权具有相同收益情况的合成的看涨期权。为了做到这一点，需要以无风险利率借入资金购买股票。购买股票的数量取决于期权的Delia值，而Delia又由下面的等式决定 Delia=15/45.0.3333因此，创设一个合成看涨期权的第一步应该购买1/3份股票，股票的现价为100美元每股，所以购买1/3股票花费33.33美元。为了决定借款量，需要比较看涨期权的收益和到期时1/3份股票的收益看涨期权 如果股票价格上涨为125美元 收益=15美元 如果股票价格下跌为80美元 收益=01/3份股票到期时的收益 股票价格上升到125美元 收益=1/3*125=41.66（美元） 股票价格下降到80美元 收益=1/3*80=26.66（美元）合成看涨期权的收益应该跟实际看涨期权收益相同。可是买入1/3份股票在到期时无论股票上升还是下降都获得了超过实际期权收益26.66美元的收益。为了使到期日的收益降低26.66美元，应该借入26.66美元的现值。一年后支付该26.66美元的债务降低收益，使其与实际到期收益相同。所以为了创设跟一执行价为110美元一年后到期的看涨期权一样的收益的合成期权，只需要购买1/3的股票和借款26.01美元。 （3）因为购买1/3的股票的成本是33.33美元，借款是26.01美元，该合成期权的成本为 合成期权的成本=33.33-26.01=7.32（美元）这也是跟实际看涨期权有相同的价格，由于合成期权和实际期权的收益是一样的，公司对两者所愿意投入的资金也是一样的。45、（1）为了用二叉树模型解决这个问题，首先需要画出一个包含股票当前价格和期权到期时股票的可能价格的股票价格二叉树。接下来，还要为期权画一个类似的二叉树，该二叉树指明在两种可能的股价变动下，到期是期权的价值为多少。 股票价格 执行价格为40美元的看跌期权价格 今天 半年后 今天 半年后 60 0 =Max（0,40-60） 30 ？ 15 25=Max（0,40-25） 今天的股票价格是30美元，半年后它可能下跌为15美元，也可能上涨为60美元。如果股票下跌为15美元，看跌期权将会被执行，相应的收益为25美元，如果股价上涨为60美元，看跌期权不会被执行，收益为0。若股票价格上升，期间收益率是100%，如果股票价格下降，期间收益率是-50%。可以用下面表达式来确定股票价格上升的风险中性概率。 无风险利率=股价上涨的概率*增长收益+股价下跌的概率*下降收益 0.10=股价上涨的概率*1+（1-股价上涨的概率）（-50%） 股价上涨的概率=40%进而求得 股价下跌的概率=1-40%=60%用风险中性概率，可以得到看涨期权在到期日的期望收益为 到期日的期望收益=0.40*0+0.60*25=15.00美元现值为 PV（期望收益）=15.00/（1.21）1/2 =13.64美元所以该欧式看涨期权今天的现价是13.64美元。（2） 是的。有办法创设一种和刚才描述的看跌期权具有相同收益情况的合成的看跌期权。为了做到这一点，需要卖出股票并将获得资金以无风险利率借出去。需要卖出去的股票的数量取决于期权的Delia值，而Delia值由下式决定 Delia=期权价格的变动/股价的变动因为股票价格上升期权价为0，股票价格下降期权价为25美元，所以期权的涨落为-25美元。因为到期时股票价格或者是60美元或者是15美元，所以股价的涨落为45美元。所以有 Delia=-25/45=-5/9因此，创设合成看跌期权的第一步是卖出5/9份股票，目前的股票交易价格是每股30美元，所有通过卖出5/9份股票可获得16.67美元（5/9*30）的收益。为了决定借出去的资金数量，需要比较实际看跌期权的收益和5/9份股票到期时的收益。 看跌期权的收益 股价上涨至60美元，收益为0美元 股价下跌至15美元，收益为25美元 5/9份股票的收益 股价上涨至60美元，收益=（-5/9）*60=-33.33美元 股价下跌至15美元，收益=（-5/9）*15=-8.33美元合成看跌期权的收益应该与实际看跌期权的收益相同。但是，无论股价是上涨还是下跌，卖出5/9份股票都会使收益下降33.33美元，为了到期时的收益增加33.33美元，应该借出现值为33.33美元的资金。6个月后，将收到33.33美元，这将使得收益刚好等于实际看跌期权的价值。因此，借出的数额为 借出的数额=33.33/1.211/2=30.30美元（3） 因为卖出股票将产生正的16.67美元的现金流，借出数额为30.30美元，合成看跌期权的总成本为 合成看跌期权的总成本=30.30-16.67=13.64美元这跟实际看跌期权的价格相同。由于合成期权和实际期权的收益是一样的，公司对两者所愿意投入的资金也是一样的。46、（1）公司会购买3个月到期，行权价格为375美元/盎司的看涨期权。当黄金的价格上涨超过375美元/盎司时，这个看涨期权能够弥补价格上涨给公司带来的损失，它使得公司购买黄金的最高价格为375美元/盎司。（2）为了用二叉树模型解决这个问题，首先需要画出一个包括标的资产当前价格和标的资产在期权到期时的可能价值的价格二叉树。接下来，还要为期权画一个类似的二叉树，该二叉树指明在两种可能的股价变动下，到期时期权的价值为多少。 黄金价格 行权价为375美元的看涨期权今天 三个月后 今天 三个月后 400 25 =Max（0,400-375） 350 ？ 325 0 =Max（0,325-375） 今天黄金价格为每盎司350美元。如果价格上涨到400美元，公司将行使行权价为375美元的看涨期权，并在到期日获得25美元的回报。如果黄金价格跌到325美元，该公司将不会行使期权，回报为0.如果黄金价格上升，在此期间的收益率是14.29%（400/350-1）。如果黄金价格下降，在此期间的收益率是-7.14%（325/350-1）。使用下边的表达是来确定黄金价格上涨的风险中性概率：无风险利率=股价上升的概率*上升的收益率+（1-股价上升的概率）*下降的收益率0.04=股价上升的概率*0.1429+（1-股价上升的概率）*（-0.0714）股价上升的概率=52%下降的概率=1-52%=48%用风险中性的概率，可以得到看涨期权在到期日的期望收益为：到期日的期望收益=0.52*25+0.48*0=13美元因为这个收益是发生在3个月以后，因此，必须用无风险利率对其 进行折现，算出PV：PV（到期日的期望收益）=13/1.6991/4=12.5美元因此知道黄金价格在未来三个月变动的情况，这份行权价为375美元。三个月到期的欧式看涨期权在今天价值是12.5美元。（3） 可以，有一种方法可以复制上述期权。首先，公司需要购买黄金并在无风险的利率水平上借款。购买多少黄金取决于期权的Delia，计算公式是： Delia=看涨期权价格的变动/黄金价格的变动因为如果黄金价格上升，那么期权的价值将会是25美元，如果黄金价格下降，期权的价值将会为0，那么期权的涨落为25美元。由于黄金的价格或者是400美元或是325美元，所以黄金价格的涨落为75美元。根据以上信息计算Delia：Delia=期权价格的变动/黄金价格的变动=25/75=1/3因此复制期权的第一步是购买1/3盎司的黄金，因为当前黄金价格是350美元每盎司，因此公司会为此支付116.67美元。为了计算出应该借多少钱，将1/3盎司黄金的到期收益和期权的到期收益相比：（1） 看涨期权的到期收益如果黄金价格上升为400美元，收益=25美元如果黄金价格下降为325美元，收益=0（2）1/3盎司黄金的到期收益如果黄金价格上升为400美元，收益=1/3*400=133.33美元如果黄金价格下降为325美元，收益=1/3*325=108.33美元因为，这个合成看涨期权的收益要和实际看涨期权的收益相同。然而不管黄金的价格上涨还是下跌，购买1/3盎司黄金都会使我们的收益高出108.33美元。为了将公司在到期日的收益减少108.33美元，应该借入现值为108.33美元的资金。因为三个月后，公司需要偿还108.33美元，这就抵消了高出来的收益，当期需要借入的资金量：当前需要借入的钱=108.33/1.16991/4=104.17美元（4） 因为公司为了购买黄金支付了116.67美元，又以无风险利率借入了104.17美元，为了购买这个期权公司总共投入12.5美元。这同前面计算的期权的价格是相同的，由于合成期权和实际期权的收益是一样的，公司对两者所愿意投入的资金也是一样的。48、 （1） 复利计算现值 pv=30000*-0.05*2= 27145.12（2）用BS模型计算权益价值 d1 = （13000/30000）+（0.05+0.602/2）*2/（0.60*）= -0.4434 d2= -0.4434-0.6*= -1.2919求得N（d1）=0.3287 N（d2）= 0.0982将结果代入BS模型 E=13000*0.3287-30000*-0.05*2*0.0982=1608.19利用买卖期权的平等式 看跌期权价格=30000*-0.05*2+1608.19-13000=15753.31 风险债券的价值等于无风险债券的价值减去公司权益看跌期权的价值风险债券的价值=27145.12-15753.31=11391.81连续复利计算债券的收益率 1139.81= 30000* -R*2 得R=（1/2）0.37973 =48.42% 五年后到期，收益率为无风险利率的债券的价值 PV= 30000*-0.05*5= 23364.02应用BS模型计算权益的价值 d1 = （13000/30000）+（0.05+0.602/2）*5/（0.60*）=0.2339 d2= 0.2339-0.6*=-1.1078 求得 N（d1）=0.5925 N（d2）= 0.134把求得的数值代入BS模型的 E=13000*0.5925-30000*-0.05*5 *0.134=4571.62运用买卖期权平等式，计算看跌期权的价格为看跌期权的价格=30000*-0.05*5 +4571.62-13000=14935.64因此，风险债券的价值=23364.02-14935.64=8428.38连续复利计算债券的收益率 负债的收益率 8428.38= 30000* -R*5 得 R= （1/5）0.28095 =25.39%负债价值的减少是因为货币具有时间价值，直到股东收到权益货币的时间价值才变为零。但是，债券的必要收益率下降，在现有的情形下，公司没有足够的资金去偿还债务。在新的计划下，公司运行五年，期间公司资产的价值满足或者超过债务的面值的的可能性比公司运行两年的可能性要高。49.答：（1）利用连续复利计算公司：PV=6000*e-0.06*5=44444.09（2）运用B-S模型计算股票的价值：D1=【ln（57000/60000）+（0.06+0.502/2）】/（0.50*50.5）=0.7815D2=0.7815-0.50*50.5=-0.3366进而求得：N(D1)=0.7827 N（D2）=0.3682E=57000*0.7827-60000e-0.06*5*0.3682=28248.84看跌期权的价值=60000e-0.06*5+28248.84-57000=15697.93（3）风险债券的价值=44449.09-15697.93=28751.16 28751.16=60000e-R*5 解得R=-（1/5）ln0.47919=14.71%(4)利用连续复利计算公式PV=60000*e-0.06*5=44449.09（|美元）利用Black-Scholes计算股票的价值：d1=ln（57000/60000）+（0.06+0.602/2）*5/0.60*51/2=0.8562d2=0.8562-0.60*51/2=-0.4854进而求得：N(d1)=0.8041 N(d2)=0.3137将上述数据带人Black-Scholes：E=57000*0.8041-60000*e-0.06*5*0.3137=31890.02（美元）运用期权平价计算看跌期权的价值： 看跌期权的价值=60000*e-0.06*5+31890.02-57000=19339.11（美元）风险债券的价值等于无风险债券的价值减去公司股票看跌期权的价值：风险债券的价值=44449.09-19339.11=25109.18（美元）利用连续复利计算公式计算债券的收益率：25109.98=60000*e-0.06*5 解得：R=-（1/5）ln0.41853=17.42%负债的价值下降了，因为公司资产的标准上升了，债券面值的看跌期权的价值上升，是的债券当前的价值下降。（5）从（3）和（4）中债券持有人损失： 25109.98-28751.16=-3641.18（美元）从（3）和（4）中股票持有人获得：31890.02-28248.84=3641.18（美元）对于债券持有者来说，这是一个代理问题。以增加股东利益为目的的管理层，会损害债权人的李毅。债权人的损失正好等于股东的所得。50、(1)因为在同时用股权和债权融资的的公司的股东可以看做持有一份看股期权，其标的是公司的资产，行权价是公司债务的面值，期限等于公司负债的期限,所以折价公司股权的价值等于一份看股期权，行权价为美元,期限为1年。为了计算期权的价值，引入二叉数模型,首先画出当前包含前公司价值和期权到期日公司可能的价值二叉树，然后画出一个相似的期权二叉树，确定在这两种情况下在到期日的价值:公司当前价值是4亿美元。由于近期引进新的项目，未来它的价值要么增长到5亿美元要么减少到3.2亿美元。如果公司价值增长到5亿美元，股东会执行期权，他们在行权日将获利1.2亿美元的收益。然而如果公司价值减少到3.2亿元，股东不会行权，行权日他们获得的收入为0。公司的价值 行权价为3.8亿美元的股东的看涨期权的价格 (单位:亿美元) (单位:亿美元) 今天 一年后 今天 一年后 5 1.2 =Max（0, 5-3.8）4 ？ 3.2 0 =Max（0,3.2-3.8）如果项目成功，公司价值上涨，上涨幅度为25%（=500/400-1）。如果项目失败，公司价值下跌，下跌的幅度为-20%（-320/400-1），可以确定公司价值上涨的风险为中性概率：无风险利率=价值上升的概率*上升的利益+价值下跌的概率*下跌的收益 0.07=价值上升概率*0.25+（1-价值上升的概率）*（-0.02）解得：价值上升概率=60%进而求得：公司价值下跌的概率=1-60%=40%利用风险中性概率，可以得到到期时权益所有者看涨期权的期望收益： 到期日的期望收益=0.60*0+0.40*0=（美元）因为这个收益是1年以后的收益，因此必须对其折现，算出其现值： PV=/1.07=9（美元）因此，公司权益目前的价值为9美元。公司当前的价值等于权益加负债。公司的总价值减去权益的价值就可以得出负债的价值： VL=负债+权益 0=负债+解得：负债=0（美元）（2）每股价值等于权益价值除以发行在外的总股数：每股价格=总的权益价值/发行在外的股数=/500000=134.58（美元）（3） 公司负债的市场价值等于0美元。相同面值无风险债券的PV为7美元。公司债券的价值比无风险债券的PV要低，因为风险没有完全得到补偿。换句话说，负债的市场价值考虑到了公司的拖延支付的风险。无风险债券的价值为7美元。由于公司有可能不能全额偿付债权人，因此，公司负债的价值低于7美元。（4） Strudler公司现在的价值为4亿美元，因为引入一个新的项目，公司的价值有可能增长为8亿美元也有可能下跌为2亿美元。如果公司的价值上升到8亿美元，股东将会行权，他们在行权日将会得到4.2亿美元的报酬。然而，如果公司的价值下跌为2亿美元，股东将不会行权，行权日的收益为0美元。 公司的价值 .行权价为3.8亿美元的股东的看涨期权的价格 （单位：亿美元） （单位：亿美元） 今天 1年后 今天 1年后 8 4.2 =Max（0,8-3.8） 4 ？ 2 0 =Max（0,2-3.8） 如果项目成功，公司价值上涨的幅度为100%，如果项目失败，公司价值下跌的幅度为50%。利用下面的表达式算出风险中性下公司价值上升的概率 无风险利率=上升的可能性*上升幅度+下跌的可能性*下跌幅度 无风险利率=上升的可能性*上升幅度+（1上升的可能性）*（0.50）解得：上升的可能性=38%进而求得风险中的性下公司价值下跌的概率=138%=62%利用风险中性概率，可以算出股东的看涨期权在到期日的期望收益为： 到期日的期望收益=0.38*4200000+0.62*0=0（美元）因为这个收益是一年以后的收益，因此必须用无风险利率对其进行折现： PV=0/1.07=9（美元)因此，公司收益目前的价值为9美元。公司当前的总价值等于权益的总价值加上负债的总价值，因此，可以用公司的总价值减去权益的价值得出负债的价值： Vt=负债+权益 0=负债+9解得：负债=2508411(美元）风险更大的项目增加了公司权益的价值，减少了公司负债的价值，如果公司接受了风险更大的项目，公司对债权人违约的风险更大，因为更大风险的项目的承接增加了公司的拖延支付的风险，公司负债的价值下跌。债券持有人希望公司进行更加保守的项目。