梁丰高级中学2014届高三4月份质量检测数学试卷.doc

江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期
高三数学4月质量检测 2014。4。12
数学Ⅰ
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）
1。已知集合，。
2.复数.
3.“”是“"的条件（从“充分不必要”、“必要不充分"、“充要”、“既不充分也不必要"中选一个）
4.从中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为．
5。为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)。已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,第2小组的频数为12,则抽取的男生人数是。
6。执行右面的框图,若输出p的值是24,则输入的正整数N应为________.
7。若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1,则此三棱锥的体积为。
8。在直角三角形中，，,,若,则．
9。已知，，则．
10。在平面直角坐标系xOy中,已知圆C与x轴交于A（1，0），B(3，0）两点,且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为．
11。双曲线右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为．
12.已知数列为等差数列，首项，公差，若成等比数列，且，,,则数列的通项公式．
13.已知定义在R上的函数满足:,,则方程在区间上的所有实根之和为.
14。若关于x的不等式(组）恒成立，则所有这样的解x构成的集合是____________.
二、解答题:（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．)
15。（本小题满分14分)已知函数。
（I）求函数的最小正周期；
（II)在中，若的值。
16．（本小题满分14分）如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为直角梯形,
AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD,PA＝PD，Q为AD的中点。
（1)求证：AD⊥平面PBQ;
（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ。
17. (本小题满分14分)
某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元．
(1）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；
（2)当米时，试确定座位的个数,使得总造价最低．
18．(本小题满分16分）
已知，数列有（常数)，对任意的正整数并有满足。
(1）求的值;（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是,说明理由；（3)令，是否存在正整数M,使不等式恒成立,若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由.
19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标，直线:经过椭圆的一个焦点,且点(0，）到直线l的距离为2.
（1）求椭圆E的方程；
（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且|AC|＝｜CB｜．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标;若不存在，说明理由．
20．(本小题满分16分）
已知函数.
(1）当时,求函数的极值；
(2)设定义在D上的函数在点处的切线方程为。当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”。当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在,请说明理由.
江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期
高三数学4月质量检测 2014。4。12
数学Ⅱ（附加题)
1。求使等式成立的矩阵M。
2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M是C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2。
（1）求C2的方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B，求AB。
3　集合中任取三个元素构成子集
（1)求a,b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；
（2)记a,b，c三个数中相邻自然数的组数为（如集合｛3，4，5｝中3和4相邻，＝2),求随机变量的分布列及其数学期望E（）。
4、如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形 AA1B1B的中心,AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B,且C1H＝。
（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
（3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．
高三数学4月质量检测（答案)
1. 2。 3.必要不充分 4。 5。48 6.
7、 8、 9、 10、 11、 12。
13.由题意知函数的周期为，则函数在区间0
B
-3
-5
1
C
A
y
x
上的图象如下图所示：
由图形可知函数在区间上的交点为，易知点的横坐标为，若设的横坐标为,则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为.
14。答案，不等式等价于,即
又（均值不等式不成立）令故
，所以，
,（因为最小值大于，在中，可以取等号)，故，解得或，所以答案为。
15。解:（Ⅰ）因为
，
所以函数的最小正周期为………………………………………6分
（Ⅱ）由(Ⅰ）得，，
由已知，，又角为锐角，所以,
由正弦定理,得……………………………12分
16。证明:⑴△PAD中，PA=PD，Q为AD中点，∴PQ^AD，
底面ABCD中，AD//BC，BC=AD，∴DQ//BC,DQ=BC
∴BCDQ为平行四边形，
由ÐADC=900，∴ÐAQB=900,∴AD^BQ
由AD^PQ，AD^BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQÌ面PBQ
∴AD^平面PBQ ……………………7分
⑵连接CQ,AC∩BQ=N，由AQ//BC,AQ=BC，∴ABCQ为平行四边形，
∴N为AC中点,
由DPAC中，M、N为PC、AC中点， ∴MN//PA
由MNÌ面BMQ，PAË面BMQ ∴面BMQ‖PA ……………………14分
17．17．（1)设摩天轮上总共有个座位,则，即，……2分
,…………4分
定义域．……………………6分
（2)当时，令,………………………8分
，
则，………………10分
∴，……………………………………12分
当时,,即在上单调减，
当时,，即在上单调增，
在时取到，此时座位个数为个．…………………………14分
18。解：（1）由已知，得,∴
(2）由得则,
∴，即,
于是有,并且有，
∴即，
而是正整数，则对任意都有,
∴数列是等差数列,其通项公式是。
（3）∵
∴
；
由是正整数可得,故存在最小的正整数M=3,使不等式恒成立.
19．（本小题满分16分)
在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点（0，）到直线l的距离为2。
（1)求椭圆E的方程;
（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝|CB|．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标;若不存在，说明理由．
19.
20．（本小题满分16分）
已知函数.
(1）当时，求函数的极值；
（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为。当时，若在D内恒成立,则称P为函数的“转点"。当时,试问函数是否存在“转点"？若存在，求出“转点"的横坐标；若不存在，请说明理由。
20。解：(I）当时，
当,当，
所以函数在和单调递增，在单调递减，
所以当时,函数取到极大值为,
当时,函数取到极小值为—2。…………（6分）
（II）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，
得
设
且
…………(10分)
当时，在上单调递减,
所以当时，；
当时，在上单调递减,
所以当时，；
所以在不存在 “转点"。…………（13分）
当时，，即在上是增函数。
当时,当时,即点为“转点".
故函数存在“转点”,且2是“转点”的横坐标.…………（16分）
附加题答案
5