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柱体压强的变化

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专题八 柱体压强的变化（计算题）
一、近年学业考试题
（2007年，考题17）
如图所示，边长分别为0.2米和0.1米的实心正方体 A、B 放置在水平地面上，ρA 为 0.l×l03 千克/米3, ρB为 0.8×l03 千克/米3。求：
(1) 物体A的质量mA；
(2) 物体B对地面的压力FB；
(3) 小明和小华两位同学设想在正方体 A 、B 上部沿水平方向分别截去一定的厚度后，通
过计算比较A、B 剩余部分对地面压强的大小关系。小明设想在 A、B 的上部均截去 0.09 米 , 小华设想在 A、B 的上部均截去 0.05 米，他们的计算过程及得出的结论分别如下表所示：

计算过程
结论
小明
PA=FA/SA=ρAghA=0.l×103千克/米3×9.8牛/千克×(0.2米一0.09米)=107.8帕
PB=FB/SB=ρBghB=0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×(0.1米一0.09米) =78.4帕
PA>PB
小华
PA=FA/SA=ρAghA=0.l×103千克/米3×9.8牛/千克×(0.2米一0.05米)=147帕
PB=FB/SB=ρBghB=0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×(0.1米一0.05米)=392帕
PA<PB
①请判断：就他们设想截去的厚度而言，小明的结论是 的，小华的结论是 的。 ( 均选填“正确”或“错误”)
②是否有可能存在某一厚度 h，沿水平方向截去 h 后使 A、B 剩余部分对地面的压强相等？若有可能，求出 h 的值；若没有可能，说明理由。

（2010年，考题22）
放置在水平地面上的两个物体A和B均为实心长方体，它们的长、宽、高如图所示。物体A的密度为0.8×103千克/米3，物体B的质量为8千克。求：
①物体A的质量；
②物体B所受重力的大小；
③在保持物体A、B原有放置方式的情况下，若沿竖直方向截取物体，并通过一定的方法使它们对水平地面的压强相等。下表中有两种方案，请判断这两种方案是否可行，若认为行，计算所截取的长度。

内 容
判断（选填“行”或“不行”）
方案一
从A的右侧截取一部分长方体叠放在B的上表面

方案二
分别从A、B的右侧按相同比例截取一部分长方体，叠放在对方剩余部分的上表面

（2011年，考题22）
如图所示，实心均匀正方体A、B放置在水平地面上，受到的重力均为64牛，A的边长为0.2米，B的边长为0.3米。
①求正方体A对水平地面的压强PA。
②求正方体A、B的密度之比为ρA：ρB。
③若正方体A、B上沿水平方向分别截去相同的厚度h后，A、B剩余部分对水平地面的压强PA’ 、PB’，请通过计算比较它们的大小关系及其对应的h的取值范围。
二、试题类型
1
[类型名称]
先在几个不同的方案中选出可以使柱体对水平支撑面的压强满足题目要求的方案，再通过计算求出该方案中变量的大小。
[典型例题]
（2013-1，金山，考题25）如图所示，边长分别为0.2米和0.3米的实心正方体A、B放置在水平地面上，物体A的密度为2×103千克/米3，物体B的质量为13.5千克。求：
⑴ 物体A对水平地面的压强；
⑵ 物体B的密度；
⑶ 在保持物体A、B原有放置方式的情况下，为了使A、B对地面的压强相等，甲同学的方案是：在两个正方体上方均放置一个重力为G的物体，乙同学的方案是：在两个正方体上方沿水平方向截取相同高度△h；
① 你认为 同学的方案是可行的；
② 确定方案后，请计算该方案下所放置的物体重力G或截取的相同高度△h。

2
[类型名称]
采取某一方式改变柱体压强，通过计算比较变化后的压强关系及相应变量的取值范围。
A
B
乙
甲
0.4米
[典型例题]
（2012-1，宝山，考题22）如图所示, 两个底面积大小分别为10厘米2和8厘米2的薄壁圆柱形容器A和B放置在水平桌面上，已知A容器内部液体甲对容器底部产生的压强为3136帕，B容器内部盛的液体乙是水，且两容器中的液体液面高度均为0.4米。
⑴求甲液体的密度ρ甲。
⑵求乙液体（水）对B容器底部的压力F乙
⑶若再从A、B两容器内同时抽出体积（ΔV）相等的液体后，甲乙两种液体对容器底部的压强分别为p´甲和p´乙，请通过计算比较它们的大小关系及其对应的ΔV的取值范围。
3
[类型名称]
极值问题。
[典型例题]
*（2013-1，浦东，试题22）某底面积为0.01米2的薄壁柱形容器内盛有0.2米深的水，另一容器中盛有体积为3.0×10-3米3的酒精(ρ酒精=0.8×103千克/米3)。
①求水对容器底部的压强p水；
②求酒精的质量m酒；
③若把以上两种液体分别倒入底面积为S和2S的两个足够高的薄壁柱形容器内，要求液体对容器底部压强的比值最大。
根据要求选择：底面积为_____的容器装水，底面积为_____的容器装酒精；
求出：液体对两容器底部压强的最大比值。
[第(3)小题解题思路]
1、本题仿照了2012年上海物理中考试卷第22题的第(3)小题的命题思想。解决此类问题一般有2种思路，一是列出表达式，然后从数学的角度判断何时该表达式最大；二是算出所有情况下的比值，然后从中选取最大者为最后结果。下面给出两种思路下的求解方法。
2、参考解法：
(1)表达式分析法：
由可得：或，显然，要使得比值最大，压力的比值与受力面积的比值都要最大。之前可计算出：，，因此，用酒精压力比水的压力可得到压力的最大比值，即。现在只要受力面积之比最大就能满足压强比值最大的要求，若把水装在底面积为2S的容器中，酒精装在底面积为S的容器中，可得到最大。此时压强的最大比值为。
(2)列举取大法：
用酒精压强比水的压强，且酒精装2S，水装S时，比值为0.6；
用酒精压强比水的压强，且酒精装S，水装2S时，比值为2.4；
用水的压强比酒精压强，且酒精装2S，水装S时，比值为5/3；
用水的压强比酒精压强，且酒精装S，水装2S时，比值为5/12；
所以，压强的最大比值为2.4。
4
[类型名称]
表达式分析。
[典型例题1]
*（2011-4，闸北，试题21）如图所示，体积相等、密度分别为的ρA、ρB的A、B两个立方体正对叠放在水平桌面上，且ρA：ρB=1：3。A对B的压强为pA，B对桌面的压强为pB。
① 如果A的体积为1.0×10-3米3，密度为3×103千克/米3，求A的质量、A对B的压强；
② 如果逐渐减小A的体积，但始终保持A的形状为立方体且密度不变，在A的体积逐渐减小的过程中，列出pA与pB的比值的表达式，并指出比值的变化规律。
[第(2)小题解题思路]
1、求解A对B的压强时，由于A始终为柱体，因此A对B的压强既可以用，也可以用。而B对桌面的压强只能用。
2、参考解法：
，，化简得：；
由时，可知，逐渐减小至零的过程中，逐渐减小。
[典型例题2]
（2011-4，普陀，试题22）如图所示，边长分别为0.2米和0.1米的实心正方体A、B 放置在水平地面上，ρA 为 0.2×l03 千克/米 3, ρB为 0.3×l03 千克/米 3。求：
（1）物体A的质量mA。
（2）物体B对地面的压强pB。
（3）为使A、B对水平地面的压强相等，小芳与小李讨论后认为将正方体A沿水平方向切下体积V1一块后叠放到正方体B上方，或将正方体A沿竖直方向切下体积V2一块后叠放到正方体B上方都可以达到目的，请求出V1与V2的之比。

5
[类型名称]
比较“液体对容器底部压强变化量”与“容器对水平桌面压强变化量”。
[典型例题]
（2012）水平地面上有一个质量为1千克、底面积为1x10-2米2的薄壁圆柱形容器，容器内盛有质量为4千克的水。
① 求水的体积V。
② 求容器对地面的压强p。
③ 现将一物块浸没在水中，水未溢出，若容器对地面压强的增加量等于水对容器底部压强的增加量，则该物块的密度为 千克/米3。（本空格不需要写解答过程）

三、简要点拨
求解柱体压强变化计算题的最后一小题时，常要列出一些规模较大的表达式来求解。对于初中学生而言，能不能根据题意建立出表达式是一个难点，当建立出表达式后，在没有计算器的前提下，能不能正确解出最后的代数结果同样是一个难点。
使用作为表达式，来表示变化后的压强，较其它表达式，更具有简化运算的优点。一是能约掉，二是不必将受力面积代入计算，而只要通过换位算出受力面积之比。若要进一步简化运算，可将与的形式保持一致。例如，要求水平截去相同体积，则，若将也写成形式，则密度可以不直接参与运算，只要通过换位算出两柱体密度之比即可，举例如下：
如上述[试题类型]2（2012-1，宝山，考题22）中的表达式：

首先约去，然后换位变形为：

代入甲、乙两柱体的受力面积与密度，可得：，再十字相乘可得：

得到后，再代入数据较容易计算。
四、拓展试题
（2013-1，静安，试题24）如图所示，两个均匀的实心正方体甲和乙放置在水平地面上，甲的边长小于乙的边长。甲的质量为5千克，边长为0.1米。
① 求甲的密度ρ；
② 求甲对水平地面的压力F和压强p；
③ 若甲、乙各自对水平地面的压强相等，现分别在两物体上沿竖直方向截去质量相同的部分并分别放在对方剩余部分的上方， 此时甲、乙剩余部分对地面的压强分别为p甲′、p乙′，则p甲′：p乙′_________1（选填“大于”、“等于”或“小于”）。（第③题不需要计算过程，请直接在空格内填写结果）

甲

乙

（2013-1，杨浦，试题26）如图所示，甲、乙两实心均匀正方体分别放在水平地面上，他们对水平地面的压力大小相等，甲的密度为1×103 千克/米3，乙的密度为8×103 千克/米3。若沿竖直方向将两正方体各切去相等的质量后叠放在对方剩余部分上部，求出叠放后水平地面受到甲、乙两物体的压强之比。

（a）

甲
乙
（2012-4，静安，试题22）如图（a）所示，放在水平面上的实心圆柱体甲、乙由同种材料制成，密度为5×103千克／米3，甲、乙的高度均为0.1米。甲的质量为5千克，乙的质量为15千克。
① 求：甲的体积V甲。
② 求：甲对水平面的压力F甲。
（b）

甲

乙
甲′
乙′
③ 如图（b）所示，若在甲、乙上沿水平方向截去某一相同的厚度，并将所截去的部分均叠放至对方剩余部分上表面的中央。当截去厚度h时，恰能使叠放后的物体甲′、乙′对地面的压力相等，（a）所截的厚度h为____________米；（本空格不需要写解答过程）（b）此时物体甲′、乙′对地面的压强分别为p甲′、p乙′，则p甲′︰p乙′＝____________。（本空格不需要写解答过程）

（2012-4，黄浦，试题21）在图（a）中，边长为0.1米密度为0.5×103千克/米3的实心正方体静止在水平面上。
①求正方体的质量；

（a） （b）
②求正方体对水平面的压强；
③现设想把该正方体截取一半，并将截取部分叠放在剩余部分上方的中央，使截取部分对剩余部分的压强与叠放后水平面受到的压强相等；
I、小华想沿竖直方向截取一半，他_______满足上述要求（选填“能”或“不能”）；
II、小明沿水平方向截取一半，并按图（b）所示方法放置，满足了上述要求，请说明理由。

A
B

甲
乙
（2012-4，闸北，试题22）如图所示，A、B两个轻质圆柱形容器放在水平桌面上，A容器中水的体积为0.0004米3，B容器内盛有质量为0.64千克、深为0.2米的液体，已知SB＝2SA＝0.004米2，两容器高均为0.4米。求：
①A容器中水的质量；
②B容器对水平桌面的压强；
③若要使液体对容器底部的压强相等，小张和小李分别用了以下方法：
小张：分别在两个容器中抽出等体积的液体；
小李：分别在两个容器中加入等体积的液体；（液体种类均与原来容器中的相同）
通过计算说明，他们的想法是否可行，如果可行，请计算体积大小。

同学
所设计的方法
小明
分别在甲、乙中倒入相同体积的酒精和水。
小红
分别在甲、乙中抽出相同体积的酒精和水。
小张
分别在甲中抽出与乙中倒入相同体积的酒精和水。

（2012-4，徐汇，试题22）如图所示，放在水平桌面上两个完全相同的柱形金属容器A、B，每个容器质量为0.5千克，底面是边长为0.1米的正方形，高为60厘米，分别装有2千克的水和3.0×10-3米3的酒精(ρ酒精=0.8×103千克/米3)。求：
①水的体积。
②A容器对桌面的压强。
③若将两个完全相同的金属立方体分别放入两个容器中，是否有可能使容器中的液体对底部的压强达到p水>p酒？若有可能请算出金属立方体体积的可能值，若没有可能，通过计算说明理由。

（2012-4，杨浦，试题22）放置在水平地面上的两个物体A和B均为实心长方体，它们的长、宽、高如图11所示。物体A的密度为0.8×103千克/米3，物体B的质量为9.6千克。求：
①物体A的质量；
②求长方体A、B的重力之比GA：GB。
③若在长方体A、B的右侧沿竖直方向按相同比例截取一部分长方体，叠放在对方剩余部分的上表面，这时A、B剩余部分对水平地面的压强为pA′、pB′，请通过计算比较它们的大小关系及其对应的比例n的取值范围。

甲
乙
（2012-1，崇明，试题22）如图所示，在水平桌面上，薄壁圆柱形容器甲和乙内分别装有1.8千克的酒精和2千克的水。甲的底面积为0.016米2，乙的底面积为0.01米2。（已知千克/米3）．求：
（1）水的体积；
（2）水对容器底部的压强p；
（3）若从甲、乙容器中抽出相同体积的酒精和水，有没有可能使酒精和水对各自容器底部的压强相等。如果有可能，请计算出抽出的体积△V；如果没有可能，请说明理由。

A B
水
酒精酒精
（2012-1，卢湾，试题22）如图所示，圆柱形容器A和B放在水平地面上，它们的底面积分别为2×10－2米2和1×10－2米2。A容器中盛有0.2米高的水， B容器中盛有0.3米高的酒精。（ρ酒精＝0.8×103千克/米3）求：
①A容器中水对容器底部的压强p水。
②B容器中酒精的质量m酒精。
③若在两容器中抽出相同质量的水和酒精后，剩余液体对容器底部的压强分别为p水¢和p酒精 ¢。请计算当p水 ¢＞p酒精 ¢时，抽出液体的质量范围。

（2012-1，浦东，试题22）如图所示A、B两个轻质圆柱形容器放在水平桌面上，A容器中盛水2.0×10-4米3，B容器内盛有质量为0.64千克、深为0.2米的液体，已知SB=2SA=4×10-3米2，两容器高均为0.4米，求：

A
B
①A容器中水的质量；
②A容器对水平桌面的压强；
③若要使液体对容器底的压强相等，小张和小王想出了以下方法：
小张：分别在两个容器中抽出等高的液体
小王：分别在两个容器中加入等高的液体
请你通过计算说明，他们的设想是否可行。

（2012-1，普陀，试题22）如图所示，两个形状完全相同，底面积为2×10-2米2的薄壁圆柱形容器甲、乙内分别装有质量相等的水和另一种液体，它们的高度分别为0.08米和0.1米。
求：
（1）甲容器中水对容器底部的压强p甲。
（2）乙容器中液体的质量m乙。
（3）试比较距离容器底部h处的A、B两点的压强pA和pB的大小关系，并说明理由。

*（2012-1，虹口，试题21）如图所示，质量为0.1千克、底面积为1×10-2米2的正方形木块放在水平地面上，底面积为5×10-3米2的柱形轻质容器置于木块中央，容器内盛有0.4千克的水。
① 求地面受到的压力F。
② 求水对容器底部的压强p。
③ 在水中放入一物块，物块沉底且水不溢出，若水对容器底部压强的增加量与地面受到压强的增加量相等，求物块的密度ρ物。

^（2012-1，黄浦，试题22）如图所示，质量为0.2千克、底面积为2×10－2米2的圆柱形容器放在水平地面上。容器中盛有0.2米高的水。
①求水对容器底部的压强。
②求容器中水的质量。
③若将一个体积为2×10－3米3的实心均匀物块浸没在容器内水中后（水未溢出），容器对地面的压强恰好为水对容器底部压强的两倍，求物块的密度。

（2012-1，普陀，试题21）水平地面上有一个高为0.2米的柱状薄壁容器内放有质量为2.7千克、密度为2.7×103千克/米3的正方体物块，往容器内注入一定量的液体，当液面恰好与容器口相平时，液体对容器底部的压强为1960帕。
① 求正方体物块的体积V。
② 求容器中液体的密度ρ。
③ 求当物块从液体中取出后，液体对容器底部压力减小的量ΔF。

（2012-1，松江，试题21）金属实心圆柱体甲的密度为2.0×103千克/米3，体积为10-3米3；底面积为2×10-2米2的薄壁圆柱形轻质容器乙放在水平地面上，容器内盛有水，水深0.2米。求：
（1）甲的质量m甲；
（2）水对乙容器底部的压强p水；
（3）若将甲浸没在乙容器的水中，求：容器对水平地面可能的最大压强p最大。

（2012-1，徐汇，试题23）水平地面上有一个底面积为2×10-2米2的薄壁柱形容器，内盛0.5米深的水。一个实心金属球的质量为3千克，体积为1×10-3米3。求：
①金属球的密度。
②水对容器底部的压强p水。
③将金属球浸没在容器内的水中，容器对水平地面压强变化量△p容器的范围。

A
A
（a） （b）
（2012-1，杨浦，试题23）如图所示，水平地面上有一个重为1.96牛、底面积为50厘米2的薄壁圆柱形容器，容器足够高，容器内盛有重为0.98牛的水。水平地面上有一实心长方体A，重2.45牛，体积为100厘米3。
① 求物体A的密度。
② 如图（b），用绳子吊着物体A，将一半体积浸入水中，求物块受到浮力。
③ 剪断绳子后，求容器对桌面的压强是多少帕。
④ 剪断绳子后，物体A浸没在水中，求水对容器底部压强的增加量。

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