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导数的应用练习题及详解

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一、导数应用
1． 单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数； 如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
二、导数应用的细节
1、导数与函数的单调性的关系
㈠与为增函数的关系。
能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。
㈡时，与为增函数的关系。
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。
㈢与为增函数的关系。
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。
㈣单调区间的求解过程，已知
（1） 分析 的定义域; （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。
2、求极值、求最值。
用导数判别f(x0)是极大、极小值的思路: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值

1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是(　　)
A．b2－4ac>0　　　　　　 B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0
[答案]　D
[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.
2．(2014·广东，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
[答案]　D
[解析]　考查导数的简单应用．
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)
[答案]　B
[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．
4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)

[答案]　C
[解析]　当0<x<1时xf′(x)<0
∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数
当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是(　　)
A.和 B.和 C.和 D.和
[答案]　A
[解析]　y′＝xcosx，当－π<x<－时，
cosx<0，∴y′＝xcosx>0， 当0<x<时，cosx>0，∴y′＝xcosx>0.
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
[答案]　C
[解析]　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，
故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.
7．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．
[答案]　b<－1或b>2
[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，
由题意b＜－1或b＞2.
8．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．
[答案]　a≥1
[解析]　由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0　(x＞1)，
∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，
∴g(x)＜g(1)，
∵g(1)＝1，
∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，
∴a≥1.
9．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析]　(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即，解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.
所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．

10.在区间上的最大值是
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
解：，令可得x＝0或2（2舍去），当－1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。选C
11.若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__ _。
答案: a>2或a<-1。提示： ∵f(x) 既有极大值又有极小值 , 有两个不同的解。
12．f（x）= 1+3sin x + 4cos x取得最大值时，tan x =
解答：f′（X）=3cosx－4sinx=0 tanx=，f(X)在tanx=时取得最大值，即填。
13设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。
（Ⅱ）求的单调区间与极值。
思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值
解析：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，令=0，解得，由，由此可知，
函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；
进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
14设a为实数,函数 求的极值.

解：(I)=3－2－1
若=0，则==－，=1
当变化时，，变化情况如下表：

(－∞，－)
－
(－，1)
1
(1，+∞)

+
0
－
0
+

极大值

极小值

∴的极大值是，极小值是
15已知a为实数，
（1）若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
思路分析：（1）按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。（2）当函数f(x)在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有,从而得到关于a的不等式。
解: (Ⅰ)由原式得
∴
由 得,此时有.
由得或x=－1 ,
当变化时，的变化如下表

-

递增
极大值
递减
极小值
递增

所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为
16已知函数的图象为曲线E.
(Ⅰ) 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；
(Ⅱ) 说明函数可以在和时取得极值，并求此时a,b的值；
(Ⅲ) 在满足(2)的条件下，在恒成立，求c的取值范围.
解：(1) ,设切点为,则曲线在点P的切线的斜率,由题意知有解，
∴即.
(2)若函数可以在和时取得极值，
则有两个解和，且满足.
易得.
(3)由(2)，得.
根据题意，()恒成立.
∵函数（）在时有极大值（用求导的方法），
且在端点处的值为.
∴函数（）的最大值为.
所以.

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