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圆的切线证明

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一、考点分析：
1.圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
三、解题方法
1、判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线
2、与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.
（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.

（5）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD
于E时（如图5），则：
①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG==DC2

图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：

（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。
（2）①G是⊿BCD的内心；② ；③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；
（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。
（4）如图（3），若①BC=CE，则：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH

图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如右图：（1）DE切⊙OE是BC的中点；
（2）若DE切⊙O，则：①DE=BE=CE；
②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2,
图形特殊化：在（1）的条件下
如图1：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；
如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：
① ;②

图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，
基本结论有：
（1）DE⊥ACDE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；
②EF=EC；③D是 的中点。④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD，产生母子三角形。

图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：

（1）如图1：①AD+BC＝CD； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC＝2=R2；
（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形2重合)
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.
图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。
基本结论有：

（1）PQ=PR (⊿PQR是等腰三角形)；
（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一
（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：
（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；
③∠AIB=90°+∠ACB;
（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.

图形8：已知，AB是⊙O的直径，C是 中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC
于E、F。基本结论有：
（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE
(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)
（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；②

10．（门1）已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连结BD．
（1）如图1，若BD∶CD＝3∶4，AD＝3，求⊙O的直径 AB的长；
（2）如图2，若E是BC的中点，连结ED，请你判断直线ED与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

8.（海1） 如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上， CF⊥OC，且CF=BF.
（1）证明BF是⊙O的切线;
（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小.

6．（房1）（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，
联结EB交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE=，AB=5，求AE的长．

4．（大1）在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于F.
（1） 求OA，OC的长；
（2） 求证：DF为⊙O′的切线；
（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形.那么在直线BC上是否存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，请你证明点P与⊙O′的位置关系，如果不存在，请说明理由.

1(西1)．如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点 B在⊙O上， 且AB＝AD＝AO
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，
△BEF的面积为8，且cos∠BFA＝，
求△ACF的面积．

图甲
O
A
C
P
D
B
y
x
9、（2010江苏省泰州市）在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．
（1）如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA＝OB．
①求k的值
②若b＝4，点P为直线y＝kx＋b上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标；
（2）若k＝－，直线y＝kx＋b将圆周分成两段弧长之比为1 : 2，求b的值．

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