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代数式的概念和运算

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代数式的概念和运算

知识要点：

重点、难点：

1、代数式的分类：代数式包括有理式和无理式。有理式包括整式和分式；整式包括单项式和多项式。
[注]（1）有理式和无理式的区别，要看字母出现的位置，如果字母出现在根号下面，这个代数式就是无理式。
（2）整式与分式的区别，同样看字母出现的位置，如果字母出现在分数线下面，这个代数式是分式。
（3）易混的概念：如代数式是无理式，而不应是分式，因为根号下出现了字母“”，就应属无理式，而不是有理式，也就不会是分式。
2、正整数指数幂的几个公式：（以下这几个公式是整式乘除法的基础必须熟练掌握）
（1）同底数的幂乘法：（是正整数）
（2）幂的乘方：是正整数）
（3）积的乘方：（是正整数）
（4）同底数的幂相除： （是正整数）
（5）分式的乘方：（，n是正整数）
（6）零指数幂：（）
（7）负整数指数幂：（，P是正整数）
3、整式的乘除法：
（1）单项式乘以单项式：系数相乘，结果是积的系数，同底数的幂相乘，单独因式写入积里。
（2）单项式除以单项式：系数相除，同底数的幂相除，作为商的因式，被除式单有的字母，连同它的指数也作为商的一个因式。
（3）单项式乘以多项式：。
（4）多项式除以单项式：把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
（5）多项式乘以多项式：
用一个多项式的每一项乘法另一个多项式的每一项所得的积相加。
（6）常用的乘法公式：

4、代数式的求值：
注意：首先化简所给的代数式，然后代入字母的值；在求代数式的值时，可有向几种情况，第一种情况是字母的值直接给出的，第二种情况是通非负数和为零的情况给出的；如：
当，求关于含有a，b的代数式的值；第三种情况可能通过方程形式给出，如时，求某代数式的值。因此求某代数式的值有时也是一道小综合题，需要寻求某个字母的值，或者整体代入求值。
5、因式分解：
因式分解的概念；把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
因式分解的方法：
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：

（3）十字相乘法：

（4）分组分解法：多于三项的多项式，应考虑分组分解法。
分组以后提出各组的公因式或应用公式进行分解。
[注]：因式分解的步骤：
（1）多项式各项有公因式时应先提取公因式。
（2）多项式是否能用公式分解：两项的考虑平方差公式或立方和立方差公式；三项的考虑完全平方公式。
（3）如果上述方法不能分解，再看能不能用十字相乘分解因式。
（4）对于多于三项的多项式，一般应考虑运用分组分解法分解因式。
（5）在指定数（有理数，实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解。
（6）因式分解后，如果有相同的因式，在写成幂的形式，并且把各个因式化简。
6、分式：
（1）形如的式子叫做分式，其中A，B均为整式，B中含字母，注意：B的值不能为零，分式属于有理式的范畴，当分母不等于零时，分式有意义，当分子等于零时，但分母不等于零时分式的值为零。
（2）分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变。
，，（其中，M是不等于零的整式）
（3）分式的运算：
①分式加减法：；
；
②分式乘法：；
③分式除法：；
④分式乘方： （n为正整数）
7、二次根式：
（1）式子叫做二次根式；当被开方数大于等于零时二次根式有意义。
（2）二次根式的主要性质：
①是一个非负数。
②
③
④
⑤
（3）最简二次根式和同类二次根式：
最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：
①被开方数的因式是整数，因式是整式。
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同类二次根式是指化成最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式。
（4）二次根式的化简：
二次根式的化简，首先要转化成绝对值的形式，然后再去掉绝对值，题型通常分三类：
①给出字母的取值范围，在给定的条件下去绝对值：如，当，=；
②没有给出字母的取值范围，但隐含在题目中，需要先判断出字母的取值范围，再去掉绝对值。
如：化简，因为，所以0，因此
③字母没有范围限制或给出范围，需要分类讨论：
如：
（5）分母有理化：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
方法是：分子、分母同时乘以分母的有理化因式，常用的有理化因式有以下几类：
①

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