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瓜豆原理(与相似有关)

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瓜豆原理（与相似有关）
编者的话：上一节课已经体验了瓜豆妙用，能解决相应的最值问题．本节课继续学习瓜豆相关知识，但是难度要比上一节课要增大，本节不仅需要旋转还需要进行放缩，即与相似有联系．不过相信在理解前一节的基础上，再学本节会简单很多，我们一起来攻克吧！
一、典型例题
例1．如图，∠AOB=60°，C，D是边OA上的两点，且OD=8，CD=2，点P是射线OB上一动点，连接PD，点Q是PD的中点，连CQ，则CQ的最小值为 ．

解：第一步：判断．点D为定点，P为主动点，Q为从动点，满足瓜豆原理．
第二步：画路径．局部变化：点Q是点P以定点D为位似中心，以为相似比缩小而来．P点在射线OB上运动，则整体上变化：Q点的路径是射线OB以定点D为位似中心，为相似比缩小而来，即射线Q1Q为Q的运动路径．（实际作图：两点确定一条直线，只要寻找两个特殊点即可．当点P在点O时，取OD中点Q1，连Q1Q并延长即可）．由位似的性质，△DQ1Q∽△DOP，且相似比为，Q1Q∥OB．
第三步：计算．即当CQ⊥Q1Q时，CQ2最小．∠AOB=∠AQ1Q=60°，CQ1=2，则CQ2=．
例2．平面内两定点A，B之间的距离为8，P为一动点，且PB=2，连接AP，并且以AP为斜边在AP的上方作等腰直角△APC，如图，连接BC，则BC的最大值与最小值的差为 ．

解：第一步，判断．确定P点的路径为⊙B．A为定点，P为主动点，C为从动点，满足瓜豆原理．
第二步，画路径．局部变化是点P到点C的变化是先绕点A逆时针旋转45°，再以A为位似中心，以为相似比缩小．点P在⊙B上运动，则整体的变化：将⊙B先绕点A逆时针旋转45°，再以A为位似中心，以为相似比缩小得到⊙O．（实际作图：以AB为斜边向上构造等腰直角三角形，顶点即为圆心O，连OC，以O为圆心OC为半径画圆即得到⊙O）
第三步：计算．BC的最值转化为点圆位置关系，则BC2－BC1= C1C2，即为⊙O的直径．
例3．如图，等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，D是AB上的点，且AD=．点E是BC边上的一动点，过E作EF⊥ED，使，连接FD，CF，则CF的最小值是 ．

解：第一步：判断．点D为定点，E为主动点，F为从动点，满足瓜豆原理．
第二步：画路径．局部变化：点F是点E绕点D顺时针旋转60°，再以定点D为位似中心，以2为位似比放大得到；点E在BC上运动，则整体上变化：F的路径为BC绕点D顺时针旋转60°，再以定点D为位似中心，以2为位似比放大得到B’C’．（实际作图：将BD，DC分别顺时针旋转60°再扩大2倍得到B’，C’，连接即可）．
第三步：计算最小值CK．AD:AC=1:3，可得∠ADC=60°=∠BDB’，则B’，D，C共线且B’C=6；又△BDC∽△B’DC’，所以∠B’=∠B=45°，则CK=．
例4．如图，△ABO为等腰直角三角形，A（-4，0），直角顶点B在第二象限，点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着点C的运动也在一条直线上运动，这条直线的函数解析式是 ．

图1 图2
解：第一步：判断．点B为定点，点C为主动点，点D为从动点，满足瓜豆原理．由于D点的位置没有明确，故分两种情况进行讨论．
第二步：画路径．局部变化：点D是点C先绕B旋转45°，再以B为位似中心以为位似比缩小而来．则整体上：D点的路径为y轴绕点B旋转45°，再以B为位似中心以为位似比缩小．（实际作图：直线型的我们可以寻找两个特殊点，两点确定一条直线．如图1，点C在y轴上，当BC1⊥y轴时，D1（-1，3）；当C2在O点时，D2（0，2）；如图2，当BC1⊥y轴时，D1（-1，1）；当C2在O点时，D2（-2，0）
第三步：计算．；．
二、 巩固练习
1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，E为对角线BD上一动点，以E为直角顶点，AE为直角边作等腰直角Rt△AEF，A，E，F按逆时针排列．当点E从点D运到到点B时，点F的运动路径长为 ．

【答案】：．提示：法1，寻找始末位置，F1为开始的位置，F2为最终的位置，连接即为F的路径．利用勾股即可求得．法2，口算．E点的路径长为5，F点是由E点旋转扩大得到，满足瓜豆，知其路径也为线段，并且扩大倍，即F的路径为．
2．如图，AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上的一动点，以BD为边向右下作等腰△BDE，其中顶角∠BDE=120°，则点D从A运动到C的过程中，则E点的运动路径长为 ．

【答案】：．提示：满足瓜豆原理．法1：画出路径具体求解．法2：口算法，D到E旋转放大倍，即E点的路径为．
3．如图，在等边△ABC中，BC=6，D，E是BC边上的两点，且BD=CE=1，P是DE上一动点，过点P分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，连接MN，AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过BG扫过的区域面积为 ．

【答案】： 提示：满足瓜豆原理．找始末位置G1，G2，则G1G2为△ADE的中位线即．∴．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，4），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠ADE＝90°，连接OE，则OE的最小值为 ．

【答案】：．提示：瓜豆直线型，路径是x轴绕点O逆时针旋转45°得到．实际操作，找一个特殊点（图上已经有一点），C点为开始点，连接CE即为E点运动路径，则OE1为最小值．即．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D是半径为2的⊙A上一点，点E是CD的中点，则BE长的最大值是 ．

【答案】：．提示：以C为位似中心，为位似比缩小，转化为点圆位置关系．
6．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．

【答案】： 提示：法1：画路径求路径，以C为位似中心，为位似比缩小，即为点M的路径长．法2：口算．M路径为P点路径长的一半．
7．如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，长度为2的动线段AE绕点A旋转，连接EC，取EC的中点F，连接DF，则DF长的取值范围为 ．

【答案】：．提示：确定E点的路径为圆．以C为位似中心，为位似比缩小，转化为点圆位置关系．
8．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AED=90°，F为CE的中点，连接BF，则BF的最大值为 ．

【答案】：．提示：确定E点的路径为圆．以C为位似中心，为位似比缩小，转化为点圆位置关系．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在AD边上，且AE：ED=1：3．动点P
点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF^PE交射线BC于点F，设M是线段EF
的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为 ．

【答案】：9．提示：E为定点，P为主动点，F为从动点（一线三垂直可得PE：EF=1：3），为线段型瓜豆，找始末两特殊点F1，F2．F在F1F2上运动，则M点的路径为△EF1F2的中位线．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB上一动点以DC为斜边向上作等腰直角△DCE，使∠CED=90°，连接BE，则BE的最小值为 ．

【答案】：．提示：线段型瓜豆，找始末位置，得路径线段E1E2．△E2CE1∽△BAC．得到∠CE2E1=∠CBA=60°，则∠BE2E1=30°，∴
11．如图，直线m // n，m，n之间的距离为3，A，B为直线n上的两点，且AB=2，点C是直线m上的动点，四边形ACDE为矩形，，则BD的最小值 ．

【答案】：．提示：定点A，主动点C，从动点为D，点C绕点A逆时针旋转60°，并以A为位似中心放大2倍得到D，满足直线型瓜豆．找特殊点D1即有D点路径，此时D1D与m，n的夹角为60°，则
12．如图，BE，AC为四边形ABCE的对角线，CE=2，∠CAE=60°，∠CAB=90°，∠CBA=30°，连接BE，则BE的最大值为 ．

【答案】：．
提示：第一步：定角定弦隐圆．点A的路径是以O为圆心，OA为半径的圆上（部分圆）．O在CE的垂直平分线上，且∠COE=120°．
第二步：C为定点，A为主动点，B为从动点，满足瓜豆．A到B是绕点C逆时针旋转60°,再以C为位似中心放大2倍，即B点的路径为将绕点C逆时针旋转60°再以C为位似中心放大2倍．（实际作图：过C作CE的垂线，过O作CO的垂线相交于点O’，此时Rt△O’OC为含30°的直角三角形，O’C=2OC，∠O’CO=60°，再以O’B为半径作圆即可）．
第三步：计算．点圆位置关系．．

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