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24 (学生3份 ) 抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a、b、c的关系

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第24讲 二次函数图象与系数符号
学习目标：
1．探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图象之间的关系；
2．由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号；
学习过程
一、知识回顾：
1.抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由 决定：
开口向上
开口向下.
2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（ ）.
c>o与y轴的交点在 ；
c<o与y轴的交点在 ；
c=o抛物线过 点
3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 .
b=0对称轴是 ；
a、b同号－ 0对称轴在y轴的 侧；
a、b异号－ 0对称轴在y轴的 侧.
4.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由 决定.
抛物线与x轴有两个交点；
抛物线与x轴有一个交点；
抛物线与x轴没有交点.
二、协作归纳，获取新知
（一）a、b、c、△=b2-4ac的符号与抛物线位置的关系。
1. 抛物线y=ax2+bx+c开口向上 ；
抛物线y=ax2+bx+c开口向下 .
2. 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的负半轴上 ；
抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴上 ，
抛物线经过坐标原点 .

3. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴b 0；
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的左侧－ 0a、b 号；
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧－ 0a、b 号.
4. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点△ ；
抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点△ ；
抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点△ .
y
x
O
图1

经典例题
例1 已知的图象如图1所示，则的图象一定过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
例2如图所示的二次函数的图象中，刘星x
y
-1
1
O
1
同学观察得出了下
面四条信息：
（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。
你认为其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个

例3、二次函数的图像如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
第3题
O
x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C

强化训练
一、选择题
1. 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是( )第1题图

y
x
1
1
O
（A）
y
x
1
-1
O
（B）
y
x
-1
-1
O
（C）
1
-1
x
y
O
（D）

2. 若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？( )

3. 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（ ）

4. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

5.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
6.二次函数的图象如图所示，则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）

1
O
x
y
（第6题图）
y
x
O
y
x
O
B．
C．
y
x
O
A．
y
x
O
D．

7.已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是(　　)

A．a＞0 B．b>0 C． c＜0 D．3不是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 
9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10. 如图为抛物线的图像, A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1， 则以下结论：① ② ③ ④ ⑤中正确的个数有（   ）   

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

11.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：
①2a-b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a-b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，
错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A． a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋c>0

13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
14.抛物线的图象如图1所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A、y=x2-x-2 B、y= - x2 + x+1 C、y= D、y=
图1

15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论

①a、b同号 ②当x=1和x=3时函数值相等
③4a+b=0 ④当y=时x的值只能取0
其中正确的个数( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

16．关于二次函数y =ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0时且函数的图象开口向下时，ax2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称.其中正确的个数是（ ）
A.1个 B、2个 C、3个 D. 4个
17. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

18.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：其中正确的个数有（　　）
①a＜0，②b＜0，③c＞0，④a+b+c=0，⑤b+2a=0．A．1个B．2个C．3个D．4个

19、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；
④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．
其中错误的结论有（　　）
A、②③ B、②④ C、①③ D、①④

图1

20.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①  ②当时，函数有最大值。③当时，函数y的值都等于0. ④其中正确结论的个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
1.小明从图1所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）
2.如图所示，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标为、，其中、下列结论：①；②；③；④；正确的结论是         .

3．根据的图象，思考下面五个结论①；②；③；④；⑤正确的结论有________．

4.抛物线开口向下，则a=
5．已知二次函数y=x2+2ax-3，如果当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，那么实数a=______．
6．抛物线的对称轴是直线 ．
7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①ac＞0； ②a-b+c＞0； ③当x＜0时，y＜0；
④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根；⑤当x=2时，y=c；
⑥当x＜1时，y随x的增大而增大．其中错误结论序号有______．

8.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．
其中正确的结论是　 　．（只填序号）

三、解答题
1.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(﹣3，0)． 
(1)求点B的坐标； 
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点． 
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标； 
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点．
（1）根据图象确定a、b、c的符号，并说明理由；
（2）如果点A的坐标为（0，-3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数的解析式．

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