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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
类型一：解一元二次不等式
例1. 解下列一元二次不等式
（1）； （2）； （3）
思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
解析：
（1）方法一：
因为
所以方程的两个实数根为：，
函数的简图为：

因而不等式的解集是.
方法二： 或
解得 或 ，即或.
因而不等式的解集是.
（2）方法一：
因为，
方程的解为.
函数的简图为：

所以，原不等式的解集是
方法二：（当时，）
所以原不等式的解集是
（3）方法一：
原不等式整理得.
因为，方程无实数解，
函数的简图为：

所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
方法二：∵
∴原不等式的解集是.
总结升华：
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.
举一反三：
【变式1】解下列不等式
(1) ；(2)
(3) ； (4) .
【答案】
（1）方法一：
因为
方程的两个实数根为：，
函数的简图为：

因而不等式的解集是：.
方法二：∵原不等式等价于,
∴ 原不等式的解集是：.
（2）整理，原式可化为,
因为,
方程的解，，
函数的简图为：

所以不等式的解集是.
（3）方法一：
因为
方程有两个相等的实根：，
由函数的图象为：

原不等式的的解集是.
方法二：∵ 原不等式等价于：,
∴原不等式的的解集是.
（4）方法一：
因为，方程无实数解，
由函数的简图为：

原不等式的解集是.
方法二：∵，
∴ 原不等式解集为.
【变式2】解不等式：
【答案】原不等式可化为不等式组
，即，即，
解得
∴原不等式的解集为.
类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数
例2. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
思路点拨:由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
解析：由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。
举一反三：
【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________。
【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知a<0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。
由根与系数关系得
解得a=-2, b=-2。
【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：.
类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题
例3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
解析：
(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意。
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。
(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即， ∴ 1<m<19。
综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}。
总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。
举一反三：
【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
【答案】关于的不等式的解集为空集
即的解集为R
当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
即，解得，
综上，的取值范围为：.
【变式2】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.
【答案】当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
即，解得，
综上，的取值范围为：.
【变式3】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.
【答案】当时，原不等式为：，即，符合题意.
当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意
当时，只需，
即，解得，
综上，的取值范围为：.
类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法
例4．解下列关于x的不等式
（1）x2-2ax≤-a2+1；
（2）x2-ax+1>0；
（3）x2-(a+1)x+a<0；
解析：
(1)
∴原不等式的解集为。
(2) Δ=a2-4
当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为
当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为。
当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R。
（3）(x-1)(x-a)<0
当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}
当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}
当a=1时，原不等式的解集为。
总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：
【答案】原不等式化为
①a=1或a=-1时，解集为Æ；
②当0<a<1 或a<-1时，，解集为：；
③当a>1或 -1<a<0时，，解集为：。
【变式2】解关于的不等式：（）
【答案】
当a＜0或a＞1时，解集为；
当a=0时，解集为；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
例5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。
解析：若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或x＞1；
若a＞0，原不等式，
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式；
（2）当a＞1时，原不等式；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
综上所述：
当a＜0，解集为；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
当a＞1时，解集为。
总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【答案】当a=0时，x∈(-¥,2].
当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为
①当a>0时，
若， 即时，；
若， 即时，x∈R；
若， 即时，.
②当a<0时，则有：， ∴ 。
【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；
【答案】当a=0时，.
当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，
①a>0时，则Δ>0，.
②a<0时，
若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；
若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；
若a<0，△>0， 即 -1<a<0时， 。
【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1>0
【答案】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；
若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.
方程的判别式△=1-4a
(Ⅰ)当△=1-4a<0，即时，方程没有实数根，
故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为实数集R；
(Ⅱ)当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，
故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；
(Ⅲ)当△=1-4a>0，即时，方程有两个不等实数根
，，
①当时，函数的图象开口向上，
与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；
②当a<0时，函数的图象开口向下，
与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：

所以，此时不等式的解集为；
综上所述：
a<0时，原不等式解集为；
a=0时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为实数集R.

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