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方阵最小多项式的求法与应用

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方阵最小多项式的求法与应用

[摘要]:本文首先介绍了方阵的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.
[关键词]:方阵；最小多项式；不变因子

Minimal polynomial of a square matrix and its applications

FENG Yu-xiang
(Class 1, Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)
Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui
[Abstract]:The minimal polynomial of square matrix is discussed, and four methods of solution for the minimal polynomial are presented. Further more ,the applications of the minimal polynomial are studied.
[Keywords]: square matrix; minimal polynomial; invariant operation

一、引言
文献[1]中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献[1]中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.
本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域上n阶方阵和多项式.

二 、最小多项式的性质及求法
由哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵 ，是的特征多项式，则 即就是任给数域上的一个级矩阵，总可以找到数域上的多项式，使得.如果多项式使得，我们就称为矩阵的零化多项式.当然的零化多项式很多的，于是我们有
定义1 设，次数最低的首项为1的的零化多项式称为的最小多项式，记为.
最小多项式有以下一些基本性质：
定理1[1] 设，则
（1）的任一零化多项式都能被整除；
（2）的最小多项式是唯一的；
（3）相似矩阵最小多项式相同.

2．1 由特征多项式求最小多项式
定理2[1] 是的特征多项式零点的充分条件是为的最小多项式的零点.
证明：见参考文献[1].
推论1 若阶方阵的特征多项式被分解为不同的一次因式方幂的乘积：
，
其中是的相异的特征值，是特征值的重数，且则的最小多项式具有如下形式：
，
其中为正整数.
推论1实际上给出了由方阵的特征多项式，求最小多项式的方法.

例1 求矩阵

的最小多项式.
解：因为的特征多项式为，根据推论1便可知，的最小多项式有以下两种可能：
（）（），
由于

因此，的最小多项式为.
有时在分解时比较困难，但由推论1可知，的最小多项式实质包含A的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出
例2 求矩阵

的最小多项式.
解：=

由辗转相除法求得
于是

==
于是
的最小多项式有以下三种可能：

而 ，
因此的最小多项式为.

2．2 按最小多项式的定义及存在性求最小多项式
定理3[1] 任意 阶矩阵都存在最小多项式.
证明：参见文献[1].
这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是：
第一步 试解

若能解出，则的最小多项式为
；
若关于无解，则做
第二步 试解

若能解出与，则的最小多项式为

若不能解出与，则做
第三步 试解

若能解出，与，则的最小多项式为

若不能解出，与，则再做
第四步 试解

等等，直到求出（使矩阵方程成立为止（由哈密尔顿---凯莱定理，这样的过程最多只有步即可终止），这时用代替，便得到所求最小多项式.
例2 求矩阵

的最小多项式.
解：（1）试解 ，显然关于无解.
（2）试解
写出方程两边的矩阵，并选择某行（某列）来求解代数方程组，以此求和，例如，比较第一行（3，2，0，-1）；的第一行为（），从而的方程组

此方程组显然无解.
（3）试解

写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解，和，这可由此比较方程两边第一列：；的第一列:,得关于，和的方程组:

解此方程组得 , ,
因为对于上面解出的，和,矩阵方程

成立.所以的最小多项式为

2.3 利用标准型求最小多项式
定理4[1] 设矩阵,则的最小多项式可以由

给出,其中是的相异的特征根,是在的型中包含的各分块的最大阶数.
证明:参见文献[1].
推论2 当的所有特征值都相异时,的最小多项式就是A的特征多项式.
由定理4,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J获得.
例3 求矩阵

的最小多项式.
解：由的特征多项式

知有两个不同的特征值：（均为三重的）.容易求得 ，所以对于的特征向量仅有一个，这表示对应的块的数目是1.又由于对应于的特征向量有2个，因此对应于的块共有2块.故的标准型为：

可见中包含的块的阶数，包含的块的最大阶数，因此的最小多项式为：

2.4 利用不变因子求最小多项式
引理1[4] 的最小多项式是的初等因子的最小公倍式.
证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子.因此只要对的若当标准型矩阵证明即可.设
，其中，
并且我们已知的最小多项式是，现在对任一多项式有

因此当且仅当.这就是说，是的化零多项式是的化零多项式，进一步，是的最小多项式必须是的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些的最小多项式的任一公倍式必须是的化零多项式，因而被整除.故的最小多项式必须是的最小多项式，即的初等因子的最小公倍式.
定理5[4] 的最小多项式恰为的最后一个不变因子.
证明 由于的最后一个不变因子具有性质，所以 中 包含了的初等因子所有互异的指数最高一次因式的幂，它恰是 的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.
例5 证明

的不变因子是，，其中.
证明： 因为的左下角的阶子式为，所以，于是

将的第二，第三，…，第行，第行分别各乘以都加至第一行上，依第一行展开即得：

因此，的不变因子是，.
由定理5可知，的最小多项式实质为的最后一个不变因子，而，其中为的阶行列式因子，故可得求的最小多项式的方法.
例6 求矩阵

的最小多项式.
解：
右上角有一个三级子式
所以

所以的不变因子是1，1，1，，它的最小多项式为

三 、最小多项式的应用
这一节我们将讨论最小多项式的一些应用

3．1 求矩阵的高次幂
例7 已知
，求
解：，由，而，知的最小多项式，所以不能对角化.但我们有

用待定系数法 令，，对上式求导后再令 ，解得
因此，
3.2 判断矩阵是否可逆
例8 设是矩阵的最小多项式.是任意多项式，证明：可逆的充要条件是
证：若，则存在，使

于是，故，从而可逆.
反之，当可逆时，设，
于是 ，
从而有 ，（*）
因为 ，所以，即可逆，这就有等式（*）推出，并进一步得到 且.

本文在文献[1]的基础上对最小多项式的求法做了总结和改进，并提出一些新的求法.同时，将最小多项式的求法应用到了求矩阵的高次幂和判断方阵可逆上，以此达到理论与实践的良好结合.

[参考文献]
1. 夏必腊，方阵最小多项式的性质与求法[J]，高等数学研究，2003，3：34—39.
2. 杨子胥，高等代数习题解[M],山东:山东科学技术出版社,2001.
3. 北京大学数学力学系，高等代数[M],北京：高等教育出版社，1988.
4. 刘玉森，苏仲阳主编，高等代数应试训练[M]，北京：地质出版社，1995.
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