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力学作业解答第三章

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第三章基本知识小结

⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。
矢量式：
分量式：

⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。
导数形式：
微分形式：
积分形式：
（注意分量式的运用）

⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。
若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即

（注意分量式的运用）

⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。
在直线加速参考系中：
在转动参考系中：
⒌质心和质心运动定理
⑴
⑵
（注意分量式的运用）

3.4.1 质量为2kg的质点的运动学方程为
（单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。
解：∵, 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。
F=(242+122)1/2=12N，力与x轴之间夹角为：

3.4.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。
证明：∵
, ∴作用于质点的合力总指向原点。
m2
m1

F
μ1
μ2

3.4.4题图

3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。
解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，

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x
y
m1g
f1
N1
a1
a2
N2
N1'
m2g
F
f1'
f2

其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有

解方程组，得
要把木板从下面抽出来，必须满足，即

3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为m1,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离m1,m2，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μ(N1+m2g)=μ(m1+m2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：
m1
m2
F

f1
N1
m1g
T
a
F
N2
m2g
T
a
N1
f1
f2
①+②可求得：
将a代入①中，可求得：
3.4.7在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为m1,m2,m3，且两两不相等. 若物体A,B与桌面间的摩擦系数为μ，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。
解：以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：f1=μN1=μm1g，f2=μN2=μm2g，T'=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（a1+a2）/2=a3.
对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：
C
A
B

①,②,③联立，可求得：
T
f1
N1
m1g
a1
T
f2
N2
m2g
a2
T'
m3g
a3

*3.4.9跳伞运动员初张伞时的速度为，阻力大小与速度平方成正比：，人伞总质量为m。求的函数。
提示：积分时可利用式
解，

设，上式写成
积分
，代入，
，,
x
h
l
mg
N
y
a
α
α
3.5.14北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为9km，将要建设的京沪列车时速250km/h，若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.

解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：车厢速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2/R；设轨矩为l，外轨比内轨高h, 有
选图示坐标o-xy，对车箱应用牛顿第二定律：
①/②得：，两边平方并整理，可求得h：

3.4.15汽车质量为1.2×10kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？
解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示：
y
α
x
α=15°
α
f
N
mg
an
v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33
设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第二定律：

②/①得：

，说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。

3.4.20 圆柱A重500N，半径RA=0.30m，圆柱B重1000N,半径RB=0.50m，都放置在宽度L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑的，求A、B间的压力及A、B柱与槽壁和槽底间的压力。
NBA
B
NB'
NB
NA
NAB
A
α
α
mBg
mAg
L

A
B
C
AB=RA+RB=0.8
ααα
CB=L-RA-RB=0.4
y
x
o

解：隔离A、B,其受力情况如图所示，选图示坐标，运用质点平衡方程，有
通过对△ABC的分析，可知，sinα=0.4/0.8=0.5 ∴α=30º, cosα=/2,分别代入（1）、（2）、（3）、（4）中，即可求得：
NB = 288.5 N , NB'= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.

3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1≠m2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？
解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1'=a2'=a'为m1、m2相对升降机的加速度.
以向下为正方向，由牛顿二定律，有：
解得：
设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式，
写成标量式：，将a’代入，求得：

3.6.1就下面两种受力情况：⑴（N,s），
⑵（N,s）分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用图表示；再求t=0至t=1时间内的冲量，也用图表示。
x
y
F(0)
F(1/4)
F(1/2)
F(3/4)
F(1)
1
2
1
2
0
解：⑴代入t值得：

x
y
1
2
1
2
0
I
α

,与x轴夹角
α= arctgIy/Ix = arctg2 = 63.5°
x
y
F(0)
F(1/4)
F(1/2)
F(3/4)
F(1)
1
2
1
0
⑵ 代入t值得：

I
x
y
1
2
1
2
0
α

,与x轴夹角
α= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 26.5°

3.6.2一质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：
，求质点的动量。
解：质点速度：
质点动量：
大小：
方向：与x轴夹角为θ，tgθ= py/px = - ctgωt·b/a
m

M
3.6.5 质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为μ0，质量为m的滑块与M均处于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高，松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M？设当m下落h后经过极短的时间Δt后与绳的铅直部分相对静止。
解：以地为参考系，选图示坐标，
先以m为研究对象，它被托起h，再落 y
回原来位置时，速度大小为， x
在Δt极短时间内与绳相互作用，速度
又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有：，∴
再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F，M受到的最大静摩擦力为fmax=μo Mg，因此,能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是：
F≥fmax，即
m1
X

3.7.1 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）
解：（1）用质点系动量定理解：
F

x
m1
m2
以岸为参考系，把车、船当作质点
系，该系在水平方向只受缆绳的拉
力F的作用， 应用质点系动量定
理，有FΔt=m1v∴F=m1v/Δt=1500×5/5=1500N
（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有：
(m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/Δt=v/Δt，
a2为船对地的加速度，据题意a2=0，∴ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1，
ac=m1v/[(m1+m2)Δt] ，∴F=m1v/Δt=1500N
（3）用牛顿定律解： a2=0 a1
m2
m1
分别分析车、船两个质点的 F f f
受力与运动情况：其中f为
静摩擦力，a1=v/Δt，对两个质点分别应用牛顿二定律：

3.7.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。
m1
m2
x
解：以地为参考系，选图示坐标o-x,设人的质量为m1=70kg，人相对地的速度为v1，相对船的速度为v1’，它们的方向显然与x轴同向；设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2，（方向显然与x轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1’+v2.
由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0，即 m1(v1’+ v2)+m2 v2=0 ，可求得
v2= - v1’m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间Δt，v2Δt=s2为船相对地的位移，v1’Δt=s1’=3.2m，即
s2 = - s1’m1/(m1+m2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m

3.7.7载人的切诺基和桑塔纳汽车质量各为m1=165×10kg，和m2=115×10kg，各以速率v1=90km/h和v2=108km/h向东和向北行驶，相撞后连在一起滑出，求滑出的速度，不计摩擦
m1 v1
v2
m2
v
x(东)
y (北)
α
解：设两车撞后的共同速度为，由动量守恒：
向x轴投影：

向y轴投影：

与x轴夹角