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经典实数知识点总结及习题练习

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实数知识点总结
平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（0）
；注意的双重非负性：
-（<0） 0
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

实数（平方根）单元习题练习
思维启动
如图是一块由两个正方形并排放在一起而成的硬纸板，请你用两刀把它裁成四块，然后拼成一个正方形，拼后的正方形边长为多少？

综合探究
探究一 由平方根和算术平方根的意义确定字母的取值范围
1．中被开方数为___________，根号下的被开方数必须是_____________才有意义，因此可列出不等式______________，的取值范围是______________．
2．要使有意义，需要列出不等式组为________________．的取值范围是______________．
3．若有意义，则的取值范围是______________．
答案：1．，非负数，，．
2．．
3．．
探究二 根据非负数性质求未知数的值
已知、为实数，且．
1．由于，都是非负数，结合已知，你能得到什么结论？
_________________________________________________________________________．
2．由1，你能求出的值吗？
_________________________________________________________________________．
答案：1．∵，，，∴，．
2．由1得，，；，．∴．
探究三 平方根与简单的一元二次方程
1．由可得_______________，
2．据1得，是196的_______________，所以______________．
3．由1，2的启示，请你试着求等式中的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________．
答案：1．．
2．平方根，．
3．由，得，∴，∴或．
探究四 由平方根的意义确定字母的值
和都是的平方根，求和的值．
1．当与相等时，求和的值．
______________________________________________________________________．
2．当与互为相反数时，求和的值．
_____________________________________________________________________．
3．讨论总结：的值为____________．
答案：1．，得，，，．
2．，得，，，．
3．的值为1225或49．
探究五 利用被开方数非负性求未知数的值
已知、都是有理数，且，求的平方根．
1．表示的_________________，则的范围是______________．
2．表示的_________________，则的范围是______________．
3．由1，2，得______________，_______________．
4．讨论总结：的平方根是多少？
_________________________________________________________________．
答案：1．算术平方根，．
2．算术平方根，3．
3．，．
4．∵，∴的平方根为．
探究六 算术平方根与绝对值相综合题
已知，求的值．
1．由式子可以得出的取值范围是什么？
________________________________________________________________________．
2．由1，你能将等式中的绝对值去掉吗？
_______________________________________________________________________．
3．由2，你能求出的值吗？
_______________________________________________________________________．
4．讨论总结：求的值．
_______________________________________________________________________．
答案：1．∵，∴．
2．原式变形为，即．
3．，．
4．，∴．
探究七 平方根的实际应用
一个开口的长方体盒子，是从一块正方形的马口铁的每个角剪掉一个36cm2的正方形后，再把它的边折起来做成的，如图，量得这个盒子的容积是150cm2，求原正方形的边长是多少？
1．由题意可知剪掉正方形的边长为______________cm．
2．设原正方形的边长为cm，请你用表示盒子的容积．
________________________________．
3．由1，2的分析，请你列出方程，并解答，求原正方形的边长．
_________________________________________________________________________．
答案：1．6．
2．．
3．，，．∴或（舍去）．即原正方形的边长为11cm．
随堂反馈
1．的平方根的数学表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．9的算术平方根是（ ）
A． B．3 C． D．81
3．当时，的值是（ ）
A．5 B． C． D．25
4．正方形M的面积是正方形N的面积的64倍，那么正方形M的边长是正方形N的边长的（ ）
A．4倍 B．8倍 C．16倍 D．2倍
5．一个数的算术平方根是它的本身，则这个数是______________．
6．若，则的算术平方根为______________．
7．代数式的最大值为______________．
8．已知，满足，求的平方根．

9．如果为正数，为整数，求的最大值及此时的值．

10．已知的平方根为，的平方根为，求的平方根．

参考答案

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1．D 2．B 3．A 4．B 5．0，1 6．4 7．
8．∵，，，
∴，；，，
∴．∴，的平方根为．
9．∵为正数，
∴，．
因此的最大值为5，此时的值为4．
10．由题意，得解得
∴，的平方根为3．

平方根跟踪练习（一）
一、选择题
1．下列各式中无意义的是（）
A． B． C. D．
2.的算术平方根是（）
A． B． C． D．
3.下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
二、填空题
4.若一个正方形的面积为13，则正方形的边长为___________.
5.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是_________.
6.计算：⑴=_________;⑵___________;⑶________;
⑷－=_______;⑸_______.
7．若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围：⑴________⑵_______
8．若，则_________．
9．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的_______倍.
10._______的算数平方根是它本身.
三、解答题
11．求下列各数的算术平方根:
⑴169 ⑵0.0256 ⑶ ⑷

12.要种一块面积为615.44的圆形草地以美化家庭，它的半径应是多少米？（π取3.14）

平方根跟踪练习（二）
一、选择题
1．下列说法中不正确的是（）
A.是2的平方根 B.是2的平方根
C.2的平方根是 D.2的算术平方根是
2．的平方根是（）
A. B. C. D.
3．“的平方根是”，用数学式子可以表示为（）
A. B. C. D.
4．下列各式中，正确的个数是（）
①; ②; ③的平方根是－3;
④的算术平方根是－5; ⑤是的平方根.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.若a是的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a＋b的值为（）
A.8 B.0 C.8或0 D.4或－4
二、填空题
6.如果某数的一个平方根是-6，那么这个数为________．
7.如果正数的平方根为和，则的值是．
8．的算术平方根是，的平方根是.
9．若，则的平方根是.
三、解答题
10．求下列各式的值:
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹

跟踪练习一答案
一、选择题
1．C．
2．C．
3．A．
二、填空题
4．
5．0.9
6．3；5；2；－4；3
7．x≥0；x≤5
8．1
9．2；3；
10.0和1
三、解答题
11．13；0.16；；2
12．14

跟踪练习二答案

一、选择题
1．C
2．D
3．B
4．A
5.C
二、填空题
6．36
7．4
8.23或-3
9．2或-2
三、解答题
10．⑴15⑵-0.02⑶
⑷-0.1⑸0.7⑹9