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导数习题及答案解析精品文档一、选择题1.(2010年广东卷.文)函数的单调递增区间是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案 D解析 ,令,解得,故选D2.（2010全国卷理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( )A.1 B. 2 C.-1 D.-2答案 B解:设切点，则,又.故答案 选B 3.（2010安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得几何，即，切线方程，即选A4.（2010江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( ) A或 B或 C或 D或答案 A解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.5.（2010江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )ABCD答案 A解析 由已知，而，所以故选A力。6.（2009全国卷理）曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 答案 B解 ,故切线方程为,即 故选B.7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +( )A. B.3 C. D.4答案 C解析 由题意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1) 52t2log2(t1)与式比较得tx2 于是2x172x29.（2009天津卷理）设函数则( )A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。二、填空题10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 解析 f(x) f(1)0 a3答案 311.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 ，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 ，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）答案 : （-2 ，15）【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.答案 解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 答案 -216.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； 对，则是平面上的线性变换； 设是平面上的线性变换，则对任意实数均有。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案 解析 ：令，则故是真命题同理，：令，则故是真命题：，则有是线性变换，故是真命题：由，则有是单位向量，0，故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。答案 解析 ，斜率k3，所以，y13x，即三、解答题1（本题满分12分）已知函数的图象如图所示（I）求的值；（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围解：函数的导函数为 （2分）（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且得 （4分）（II）依题意 且 解得 所以 （8分）（III）可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点； ，+0-0+增极大值减极小值增 （10分）当且仅当时，有三个交点，故而，为所求 （12分）2（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的单调区间；（II）函数的图象在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围解：（I）（2分）当当当a=1时，不是单调函数（5分） （II）（6分）（8分）（10分）（12分）3（本小题满分14分）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（I）求实数的取值范围；（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：解：（I）由，因为当时取得极大值，所以，所以；（4分）（II）由下表：+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得：，解得：所以函数的解析式是： （10分）（III）对任意的实数都有在区间-2，2有：函数上的最大值与最小值的差等于81，所以（14分）4（本小题满分12分）已知常数，为自然对数的底数，函数，（I）写出的单调递增区间，并证明；（II）讨论函数在区间上零点的个数解：（I），得的单调递增区间是， （2分），即 （4分）（II），由，得，列表-0+单调递减极小值单调递增当时，函数取极小值，无极大值 （6分）由（I）， （8分）（i）当，即时，函数在区间不存在零点（ii）当，即时 若，即时，函数在区间不存在零点 若，即时，函数在区间存在一个零点； 若，即时，函数在区间存在两个零点；综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当 时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点 （12分）5（本小题满分14分）已知函数（I）当时，求函数的最大值；（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；解：（I）当时，定义域为（1，+），令， （2分）当，当，内是增函数，上是减函数当时，取最大值 （4分）（II）当，函数图象与函数图象有公共点，函数有零点，不合要求； （8分）当， （6分）令，内是增函数，上是减函数，的最大值是， 函数没有零点，因此，若函数没有零点，则实数的取值范围（10分）6（本小题满分12分） 已知是函数的一个极值点（）（I）求实数的值；（II）求函数在的最大值和最小值解：（I）由可得（4分）是函数的一个极值点，解得 （6分）（II）由，得在递增，在递增，由，得在在递减是在的最小值； （8分）， 在的最大值是 （12分）7（本小题满分14分）已知函数 （I）当a=18时，求函数的单调区间； （II）求函数在区间上的最小值解：（），2分由得，解得或注意到，所以函数的单调递增区间是（4，+）由得，解得-24，注意到，所以函数的单调递减区间是.综上所述，函数的单调增区间是（4，+），单调减区间是6分 （）在时，所以，设当时，有=16+42，此时，所以，在上单调递增，所以8分当时，=，令，即，解得或；令，即，解得.若，即时，在区间单调递减，所以.若，即时间，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.若，即2时，在区间单调递增，所以综上所述，当2时，；当时，；当时，14分8（本小题满分12分）已知函数在上不具有单调性（I）求实数的取值范围；（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立解：（I）， （2分）在上不具有单调性，在上有正也有负也有0，即二次函数在上有零点 （4分）是对称轴是，开口向上的抛物线，的实数的取值范围 （6分）（II）由（I），方法1：，（8分）设，在是减函数，在增函数，当时，取最小值从而，函数是增函数，是两个不相等正数，不妨设，则， ，即 （12分）方法2： 、是曲线上任意两相异点， （8分）设，令，由，得由得在上是减函数，在上是增函数，在处取极小值，所以即 （12分）9（本小题满分12分）已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）证明：若（1）的定义域为， 2分（i）若，则 故在单调增加（ii）若 单调减少，在（0，a-1）， 单调增加（iii）若 单调增加（II）考虑函数 由 由于，从而当时有 故，当时，有10（本小题满分14分）已知函数（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II）若，设，求证：当时，不等式成立解：（I）， （2分）函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，当时，恒成立， （4分）即恒成立， 在时恒成立，或在时恒成立，或 （6分）（II），定义域是，即在是增函数，在实际减函数，在是增函数当时，取极大值，当时，取极小值， （8分）， （10分）设，则，在是增函数，在也是增函数 （12分），即，而，当时，不等式成立 （14分）11（本小题满分12分）设曲线：（），表示导函数（I）求函数的极值；（II）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于解：（I），得当变化时，与变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减当时，取得极大值，没有极小值； （4分）（II）（方法1），即，设，是的增函数，；，是的增函数，函数在内有零点， （10分）又，函数在是增函数，函数在内有唯一零点，命题成立（12分）（方法2），即，且唯一设，则，再设，在是增函数，同理方程在有解 （10分）一次函数在是增函数方程在有唯一解，命题成立（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分12（本小题满分14分）定义，（I）令函数，写出函数的定义域；（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为8的切线，求实数的取值范围；（III）当且时，求证解：（I），即 （2分）得函数的定义域是， （4分）（II）设曲线处有斜率为8的切线，又由题设存在实数b使得 有解， （6分）由得代入得， 有解， （8分）方法1：，因为，所以，当时，存在实数，使得曲线C在处有斜率为8的切线（10分）方法2：得， （10分）方法3：是的补集，即 （10分）（III）令又令 ，单调递减. （12）分单调递减， ， （14分） 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除