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导数习题及答案解析

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一、选择题
1.(2010年广东卷.文)函数的单调递增区间是 ( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
答案 D
解析 ,令,解得,故选D
2.（2010全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( )
A.1 B. 2 C.-1 D.-2
答案 B
解:设切点，则,又
.故答案 选B
3.（2010安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由得几何，
即，∴∴，∴切线方程，即选A
4.（2010江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ( )
A．或 B．或 C．或 D．或
答案 A
解析 设过的直线与相切于点，所以切线方程为

即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
5.（2010江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ( )
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
答案 A
解析 由已知，而，所以故选A
力。
6.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解 ,
故切线方程为,即 故选B.
7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，
则函数在区间上的图象可能是 ( )
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b

A ． B． C． D．
解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.
8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝ ( )
A. B.3 C. D.4
答案 C
解析 由题意 ①
②
所以,
即2
令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2
于是2x1＝7－2x2
9.（2009天津卷理）设函数则 ( )
A在区间内均有零点。
B在区间内均无零点。
C在区间内有零点，在区间内无零点。
D在区间内无零点，在区间内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间
为增函数，在点处有极小值；又
，故选择D。
二、填空题
10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则
解析 f’(x)＝
f’(1)＝＝0 Þ a＝3
答案 3
11.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填
或是。

解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 .
解析 考查利用导数判断函数的单调性。
，
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
解析 考查导数的几何意义和计算能力。
，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）
答案 : （-2 ，15）
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
答案
解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，
所以。
15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 .
答案 -2

16.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
答案 ①③④
解析 ①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有

∵是单位向量，≠0，故②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，
突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。
17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。
答案
解析 ，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即
三、解答题
1．（本题满分12分）
已知函数的图象如图所示．
（I）求的值；
（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．
解：函数的导函数为 …………（2分）
（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且
得 …………（4分）
（II）依题意 且

解得
所以 …………（8分）
（III）．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；
，

+
0
-
0
+

增
极大值
减
极小值
增
． …………（10分）
当且仅当时，有三个交点，
故而，为所求． …………（12分）
2．（本小题满分12分）
已知函数．
（I）求函数的单调区间；
（II）函数的图象在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．
解：（I） （2分）
当
当
当a=1时，不是单调函数 （5分）
（II）
（6分）

（8分）（10分） （12分）
3．（本小题满分14分）
已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．
（I）求实数的取值范围；
（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；
（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．
解：（I）

由，因为当时取得极大值，
所以，所以；
…………（4分）
（II）由下表：

+
0
-
0
-

递增
极大值
递减
极小值

递增
依题意得：，解得：
所以函数的解析式是：
…………（10分）
（III）对任意的实数都有
在区间[-2，2]有：

函数上的最大值与最小值的差等于81，
所以．
…………（14分）
4．（本小题满分12分）
已知常数，为自然对数的底数，函数，．
（I）写出的单调递增区间，并证明；
（II）讨论函数在区间上零点的个数．
解：（I），得的单调递增区间是， …………（2分）
∵，∴，∴，即． …………（4分）
（II），由，得，列表

-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
当时，函数取极小值，无极大值．
…………（6分）
由（I），∵，∴，∴
， …………（8分）
（i）当，即时，函数在区间不存在零点
（ii）当，即时
若，即时，函数在区间不存在零点
若，即时，函数在区间存在一个零点；
若，即时，函数在区间存在两个零点；
综上所述，在上，我们有结论：
当时，函数无零点；
当 时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点．
…………（12分）
5．（本小题满分14分）
已知函数．
（I）当时，求函数的最大值；
（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；
解：（I）当时，
定义域为（1，+），令， ………………（2分）
∵当，当，
∴内是增函数，上是减函数
∴当时，取最大值 ………………（4分）
（II）①当，函数图象与函数图象有公共点，
∴函数有零点，不合要求； ………………（8分）
②当， ………………（6分）
令，∵，
∴内是增函数，上是减函数，
∴的最大值是，
∵函数没有零点，∴，，
因此，若函数没有零点，则实数的取值范围．………………（10分）
6．（本小题满分12分）
已知是函数的一个极值点（）．
（I）求实数的值；
（II）求函数在的最大值和最小值．
解：（I）由可得
……（4分）
∵是函数的一个极值点，∴
∴，解得 ……………（6分）
（II）由，得在递增，在递增，
由，得在在递减
∴是在的最小值； ……………（8分）
， ∵
∴在的最大值是． ……………（12分）
7．（本小题满分14分）
已知函数
（I）当a=18时，求函数的单调区间；
（II）求函数在区间上的最小值．
解：（Ⅰ），
2分
由得，解得或
注意到，所以函数的单调递增区间是（4，+∞）
由得，解得-2＜＜4，
注意到，所以函数的单调递减区间是.
综上所述，函数的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是 6分
（Ⅱ）在时，
所以，
设
当时，有△=16+4×2，
此时，所以，在上单调递增，
所以 8分
当时，△=，
令，即，解得或；
令，即， 解得.
①若≥，即≥时，
在区间单调递减，所以.
②若，即时间，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
③若≤，即≤2时，在区间单调递增，
所以
综上所述，当≥2时，；
当时，；
当≤时， 14分
8．（本小题满分12分）
已知函数在上不具有单调性．
（I）求实数的取值范围；
（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立．
解：（I）， ………………（2分）
∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，
即二次函数在上有零点 ………………（4分）
∵是对称轴是，开口向上的抛物线，∴
的实数的取值范围 ………………（6分）
（II）由（I），
方法1：，
∵，∴，…………（8分）
设，
在是减函数，在增函数，当时，取最小值
∴从而，∴，函数是增函数，
是两个不相等正数，不妨设，则
∴，∵，∴
∴，即 ………………（12分）
方法2： 、是曲线上任意两相异点，
，，
………（8分）
设，令，，
由，得由得
在上是减函数，在上是增函数，
在处取极小值，，∴所以
即 ………………（12分）
9．（本小题满分12分）
已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）证明：若
（1）的定义域为，
2分
（i）若，则 故在单调增加．
（ii）若
单调减少，在（0，a-1），
单调增加．
（iii）若
单调增加．
（II）考虑函数
由
由于，从而当时有

故，当时，有
10．（本小题满分14分）
已知函数．
（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；
（II）若，设，求证：当时，不等式成立．
解：（I）， ……………（2分）
∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，
∴当时，恒成立， ……………（4分）
即恒成立，
∴在时恒成立，或在时恒成立，
∵，∴或 ………………（6分）
（II），
∵定义域是，，即
∴在是增函数，在实际减函数，在是增函数
∴当时，取极大值，
当时，取极小值， ………………（8分）
∵，∴ ………………（10分）
设，则，
∴，∵，∴
∴在是增函数，∴
∴在也是增函数 ………………（12分）
∴，即，
而，∴
∴当时，不等式成立． ………………（14分）

11．（本小题满分12分）
设曲线：（），表示导函数．
（I）求函数的极值；
（II）对于曲线上的不同两点，，，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于．
解：（I），得
当变化时，与变化情况如下表：

＋
0
－

单调递增
极大值
单调递减
∴当时，取得极大值，没有极小值； …………（4分）
（II）（方法1）∵，∴，∴
即，设
，，是的增函数，
∵，∴；
，，是的增函数，
∵，∴，
∴函数在内有零点， …………（10分）
又∵，函数在是增函数，
∴函数在内有唯一零点，命题成立…………（12分）
（方法2）∵，∴，
即，，且唯一
设，则，
再设，，∴
∴在是增函数
∴，同理
∴方程在有解 …………（10分）
∵一次函数在是增函数
∴方程在有唯一解，命题成立………（12分）
注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分．

12．（本小题满分14分）
定义，
（I）令函数，写出函数的定义域；
（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为－8的切线，求实数的取值范围；
（III）当且时，求证．
解：（I），即 ……………………（2分）
得函数的定义域是， ……………………（4分）
（II）
设曲线处有斜率为－8的切线，
又由题设
①②③
∴存在实数b使得 有解， ……………………（6分）
由①得代入③得，
有解， ……………………（8分）
方法1：，因为，所以，
当时，存在实数，使得曲线C在处有斜率为－8的切线
………………（10分）
方法2：得，
………………（10分）
方法3：是的补集，即 ………………（10分）
（III）令
又令 ，
单调递减. ……………………（12）分

单调递减，
，
………………（14分）
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