类型一古典概型与分布列学习资料.doc

类型一古典概型与分布列

精品文档
类型一古典概型与分布列
1.(本小题满分12分)
某中学准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为.
(1)求该小组中女生的人数；
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率为，每个男生通过的频率为.现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3个人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

2.(本小题满分12分)
某市直小学为了加强管理，对全校教职工实行新的临时事假制度：每位教职工每月在正常的工作时间，临时有事，可请假至多3次，每次至多1小时．现对该制度实施以来50名教职工请假的次数进行调查统计，结果如下表所示.
请假次数
0
1
2
3
人数
5
10
20
5

(1)从该小学任选两名教职工，用η表示这两人请假次数之和，记“函数f(x)＝x2－ηx－1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
(2)从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

3. (本小题满分12分)
电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱3瓶，有8种口味供你选择(其中有一种为草莓味)．小王点击进入网页，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择．(各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同)
(1)小王花10元钱买3瓶，请问小王共有多少种不同的选择方式？
(2)小王花10元钱买3瓶，由小王随机点击3瓶，请列出草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望．

4.(本小题满分12分)
某科技公司投资生产A，B两种新型空气净化器，其质量按测试指标划分：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种空气净化器各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100)
净化器A
8
12
40
32
8
净化器B
7
18
40
29
6
(1)试分别估计A，B两种新型空气净化器为正品的概率；
(2)生产1件净化器A，若是正品可赢利50元，若是次品则亏损10元；生产1件净化器B，若是正品可赢利100元，若是次品则亏损20元，在(1)的前提下．
①求生产5件净化器B所获得的利润不少于300元的概率；
②记ξ为生产1件净化器A和1件净化器B所获得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

5. (本小题满分12分)
节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示：

以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．
(1)现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；
(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：
使用时间t(单位：千小时)
t<4
4≤t<6
t≥6
每件产品的利润y(单位：元)
－20
20
40
若从大量的A型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

6.(本小题满分12分)
甲、乙两人参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图：
(1)指出学生乙成绩的中位数；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为派哪位学生参加，成绩比较稳定？
(3)若将频率视为概率，对学生甲在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
7.“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1－4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，也可继续挑战后面的门以获得更多奖金(奖金金额不累加)．但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20－30,30－40(单位：岁)，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
每扇门对应的家庭梦想基金(单位：元)
第一扇门
第二扇门
第三扇门
第四扇门
1 000
2 000
3 000
5 000

(1)写出2×2列联表并判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．(下面的临界值表供参考)
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，，，，正确回答一扇门后，选择继续回答下一扇门的概率是，且各扇门回答正确与否互不影响．设该选手所获家庭梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

1.解析　(1)设该小组有n个女生，根据题意，得＝，(3分)
解得n＝6或n＝4(舍去)．(5分)∴该小组中有6个女生．(6分)
(2)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝××＝，(7分)
P(ξ＝1)＝C×××＋()2×＝，(8分)
P(ξ＝2)＝C×××＋()2×＝，(9分)
P(ξ＝3)＝()2×＝.(10分)
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)
2．思路　(1)根据零点存在定理，先确定η的范围，再由η是自然数，确定η的值，然后根据古典概型及互斥事件的概率计算公式计算即可；
(2)根据题意，两人请假次数之差的绝对值可以为0,1,2,3，然后分别求出各自的概率，列出分布列，再根据数学期望的公式计算．
解析　(1)因为函数f(x)＝x2－ηx－1过(0，－1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，所以即
解得<η<，所以η＝4或η＝5.(3分)
当η＝4时，P＝＝，当η＝5时，P＝＝.(5分)
因为η＝4与η＝5为互斥事件，所以P＝＋＝.(6分)
(2)由题意知，ξ的所有可能取值分别是0,1,2,3，(7分)
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.(9分)
从而ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)
3.解析　(1)若3瓶口味均不一样，有C＝56种选择；若其中2瓶口味一样，有CC＝56种选择；若3瓶口味一样，有C＝8种选择．所以小王共有56＋56＋8＝120种选择．(4分)
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.由于各种口味的高极口香糖均超过3瓶且瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次获得草莓味口香糖的概率均为.(6分)，
故随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B(3，)，
P(ξ＝0)＝C×()0×(1－)3＝，P(ξ＝1)＝C×()1×(1－)2＝，
P(ξ＝2)＝C×()2×(1－)1＝，P(ξ＝3)＝C×()3×(1－)0＝.
ξ
0
1
2
3
P

所以ξ的分布列为
其数学期望E(ξ)＝np＝3×＝.

4.解析　(1)依题意得，净化器A为正品的概率为＝，净化器B为正品的概率为＝.(3分)
(2)①设生产的5件净化器B中正品件数为x，则有次品(5－x)件，
由题意知100x－20(5－x)≥300，解得x＝4或5.
设“生产5件净化器B所获得的利润不少于300元”为事件C，
则P(C)＝C()4×＋C()5＝.(6分)
②依题意，随机变量ξ的所有可能取值为150,90,30，－30，则
P(ξ＝150)＝×＝， P(ξ＝90)＝×＝，
P(ξ＝30)＝×＝， P(ξ＝－30)＝×＝.(8分)
所以ξ的分布列为
ξ
150
90
30
－30
P

数学期望E(ξ)＝150×＋90×＋30×＋(－30)×＝108.(12分)
5.解析 (1)从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)＝.(1分)
从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)＝.(2分)
∴从A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率P＝C()1()1×C()1()1＋C()2×C()2×C()2×C()2＝.(6分)
(2)据题意，知X的可能取值为－40,0,20,40,60,80.(7分)
∵P(X＝－40)＝C()2＝，P(X＝0)＝C()1×()1＝，
P(X＝20)＝C()1×()1＝，P(X＝40)＝C()2＝，
P(X＝60)＝C()1×()1＝，P(X＝80)＝C()2＝.
∴X的分布列为
X
－40
0
20
40
60
80
P

∴数学期望E(X)＝10(－4×＋0＋2×＋4×＋6×＋8×)＝52
6．解析　(1)依题意，学生乙成绩的中位数为＝84.(3分)
(2)派甲参加比较合适，理由如下：
甲＝(70×2＋80×4＋90×2＋9＋8＋8＋4＋2＋1＋5＋3)＝85，
乙＝(70×1＋80×4＋90×3＋5＋3＋5＋2＋5)＝85，
s＝35.5，s＝41，∴甲＝乙，且s<s.
∴甲的成绩比较稳定．(7分)
(3)记“甲在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P(A)＝＝，(8分) ∴P(ξ＝k)＝C()k(1－)3－k，k＝0,1,2,3.
ξ
0
1
2
3
P

∴ξ的分布列为

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (或E(ξ)＝3×＝)(12分)
7.解析　(1)根据所给的条形图得到列联表如下：

正确
错误
合计
20－30(岁)
10
30
40
30－40(岁)
10
70
80
合计
20
100
120
根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到
K2＝＝3>2.706，(3分)
∴有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．(4分)
(2)ξ的所有可能取值分别为：0,1000,2000,3000,5000，
则P(ξ＝0)＝1－－－－＝. P(ξ＝1000)＝×＝，
P(ξ＝2000)＝×××＝， P(ξ＝3000)＝×××××＝，
P(ξ＝5 000)＝××××××＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1 000
2 000
3 000
5 000
P

ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1000×＋2000×＋3000×＋5000×＝.(12分)

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除