三角恒等变换大题说课讲解.doc

三角恒等变换大题
1.求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

2.已知函数f(x)＝.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．

3.已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tan α－－1的值．

4. 已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．

5.已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．

6．已知函数.
（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值。21世纪教

7.已知，，试求的值．

8.已知函数f(x)＝sin2x＋msinsin.
(1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值范围；
(2)当tan α＝2时，f(α)＝，求m的值．

9.已知，．
（1） 若，求的单调的递减区间；
（2） 若，求的值．

10．设函数f(x)＝sin xcos x－cos xsin－.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．

11.已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f()的值； (2)求f(x)的最大值和最小值．

12.（1）已知

课堂活动区
例1　解题导引　化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
解　y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6，
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin 2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1　解　(1)f(x)
＝
＝
＝＝＝2cos 2x，
∴f＝2cos＝2cos ＝.
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x
＝sin.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当x＝时，g(x)max＝，
当x＝0时，g(x)min＝1.
例2　解题导引　(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．
解　由sin(＋2α)·sin(－2α)
＝sin(＋2α)·cos(＋2α)
＝sin(＋4α)＝cos 4α＝，
∴cos 4α＝，又α∈(，)，故α＝，
∴2sin2α＋tan α－－1
＝－cos 2α＋
＝－cos 2α＋
＝－cos－＝.
变式迁移2　解　(1)∵α是第一象限角，cos α＝，
∴sin α＝.
∴＝
＝
＝＝＝－.
(2)cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin
＝(cos 2α－sin 2α)，
∵≤α<π，
∴≤α＋<π.
又cos(α＋)＝>0，
故可知π<α＋<π，
∴sin(α＋)＝－，
从而cos 2α＝sin(2α＋)
＝2sin(α＋)cos(α＋)
＝2×(－)×＝－.
sin 2α＝－cos(2α＋)
＝1－2cos2(α＋)
＝1－2×()2＝.
∴cos(2α＋)＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－)
＝－.
例3　解题导引　本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明　由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)解　由(1)得＝2tan α，即＝2x，
∴y＝，即f(x)＝.
(3)解　∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0<α≤，0<x≤，
设g(x)＝2x＋，则g(x)＝2x＋≥2(当且仅当x＝时取“＝”)．
故函数f(x)的值域为(0，]．
变式迁移3　证明　因为左边＝

＝
＝
＝＝
＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
课后练习区
1．D　[∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，
∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.]
2．C　[因为α＋＋β－＝α＋β，
所以α＋＝(α＋β)－.
所以tan＝tan
＝＝.]
3．B　[∵＝cos 2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝.又∵α∈，
∴sin α＝－.]
4．B　[f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋
＝＝
∴f＝＝8.]
5．C　[由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cos B＋1＝0，
∴cos B＝或cos B＝1(舍)．
∴sin B＝.]
6．－
解析　因为α为第二象限的角，又sin α＝，
所以cos α＝－，tan α＝＝－，
所以tan 2α＝＝－.
7．1－
解析　∵y＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，
∴当sin(2x＋)＝－1时，函数取得最小值1－.
8.
解析　∵＝
＝－(sin α＋cos α)＝－，
∴cos α＋sin α＝.
9．解　(1)∵sin 2α＝2sin αcos α，
∴cos α＝，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝···
＝＝.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝………………………………………………………(9分)
＝＝＝tan4α.………………………………………………………(12分)
10．解　f(x)＝sin xcos x－cos xsin－
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10分)
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)有最小值－.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解　(1)f()＝2cos＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1
＝3(cos x－)2－，x∈R.………………………………………………………………(10分)
因为cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.…………………………………………………(14分)
解　(1)当m＝0时，f(x)＝sin2x
＝sin2x＋sin xcos x＝
＝，[3分]
由已知x∈，得2x－∈，[4分]
所以sin∈，[5分]
从而得f(x)的值域为.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－cos 2x
＝＋sin 2x－cos 2x
＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，[8分]
由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝，
cos 2α＝＝＝－.[10分]
所以＝＋，[11分]
解得m＝－2.[12分]