学位论文：在几何证题中向量代数的应用.pdf

本科毕业论文题目：在几何证题中向量代数的应用专业：数学与应用数学专业：在几何向量代数证明题中的应用摘要向量是现代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角 函数的一种工具，有着极其丰富的应用背景。因为向量具有良好的运算通性、几 何的直观性、表述的简洁性和处理问题的一般性，所以向量法有广泛的应用，对 各种数学问题的融会贯通、几何证明能力的提高都有一定的帮助。但调查表明 受传统数学知识的负迁移，无论是对向量的基础知识的掌握，还是向量运用的推 广，甚至对向量教学的探讨都是今后一个艰难的课题。本文尝试在这三个方面作 一些较深入的整理和研究。以加深对向量的工具性作用的认识，推广向量法。本 文从高中引入向量的必要性出发，先介绍了向量的基础知识，对那些暂时还没有 被选入现行中学教材中的运算和向量空间等基础知识也作了归纳，以完善向量知 识体系，然后对编入教材中的向量内容进行分析，通过例题加讲解的形式对向量 在高中数学中的应用进行了详细的分类阐述，并且与传统方法作了对比性的评 注，这是本文的重点之一，本文的另一个重点是对高中，大学向量的教与学的现 状进行了调查与分析。主要结论之一：师生都认为向量有用、可用，可就是用 的不踏实，向量法在高中数学方法中还只是个“候补队员”，通常是传统方法失 效后才想起向量法，远远没有达到普及的程度。主要结论之二：用传统方法解某 些立体几何题所用的时间与用向量方法所用时间尽管没有显著差异，但是用向量 方法在解题的准确性上明显优于传统方法，而且所用的时间也略少于传统方法。最后是对向量教学的几点思考，期望能给今后的向量教学研究以借鉴。Application of Vector Algebra in The GeometryLuo danAbstractVector modern mathematics and basic mathematical concepts one,it is a tool of communication algebraic,geometric and trigonometric extremely rich background.Expression vector has good continuity,geometry intuitive simplicity of expression and processing of general vector method has a wide range of applications,the mastery of a variety of mathematical problems,geometric proofs have some capabilities help.But the survey showed that negative migration by traditional mathematical knowledge,whether it is to master the basics of vector,or vector use promotion even explore are the future of vector teaching a difficult subject.This article attempts to make some more in-depth collation and research in these three areas.In order to deepen the understanding of the vector tools promotion vector method.The necessity of introducing vectors from the high school,first introduce the basics of the vector,summarized the basics of computing vector space in the existing secondary school textbooks yet not selected to improve the vector of knowledge,and thenmaterials incorporated into the vector content analysis,examples added to explain the form of vector in high school mathematics the detailed classification elaboration and commentary made a comparison with the traditional methods,which is one of the focus of this articleanother focus of this article is the investigation and analysis of the status quo of the teaching and learning of the high school,the University of vector.One of the main conclusions:teachers and students that useful vector,can be used,is to use is not practical,the vector method in the high school math method also just an alternate players,usually after the recall is the traditional method fails vector method is farextent universal.Main conclusions:solutions using traditional methods used in some three-dimensional geometry question vector method with time despite no significant difference,but on the accuracy of the problem-solving vector method is better than traditional methods,and time slightly less than the traditional method.Finally,the vector Teaching thinking and expectations of to give future vectors teaching research to learn.目录摘要.2Abstract.31.引言.52.向量的起源与发展.52.1 向量的起源.52.2 向量的发展.53.向量研究方法的分析.63.1向量的线性运算在几何中的应用.63.2 点共线问题.83.4 共面问题.113.5 向量的数量积在几何证明题中的应用.113.6 向量的向量积在几何证明题中的应用.143.7 向量的混合积在几何证明题中的应用.164.总结.18参考文献.19致谢.201.引言在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后，只用一个 实数就可以表示出来，例如长度、质量、面积等.还有一些量，它们的特征不能 单纯地用一个数表示，如轮船在海洋上航行的位移，我们说轮船“由港口A向东 北方向航行200海里到达港口 B”.这里，如果仅指出“由港口 A出发航行200 海里”，而不指明“向东北方向”航行，那么轮船就不一定到达港口 B 了，可见,位移是一个既有大小，又有方向的量，这类既有大小特性又有方向特性的量还有 很多，如力、速度、加速度等.这种量我们就称之为向量.向量不仅是数学中的重要概念之一，也是数学学习中的基本方法与工具.向 量和数一样，也能进行运算，而且用向量的相关知识能有效地解决数学和物理等 学科中的很多问题.向量代数含有非常丰富的内容，它主要包含的内容及其在几何证明题中的指 导作用如下：1.向量的线性运算：向量加法、减法和数乘的运算；2.向量的点共线问题：平行问题；3.向量的线共点问题；4.向量的共面问题；5.向量的数量积：利用向量的数量积可以处理有关垂直、距离、角度等相关 问题.6.向量的向量积：利用向量的向量积来处理有关面积的问题.7.向量的混合积：利用向量的混合积来求平行六面体的体积问题.所有这些知识构成了向量代数的基本内容，并且在此基础上建立了向量代数 的宏伟大厦.向量代数在几何证明题中的指导作用非常重大，它可以使复杂问题简单化,使学生从中学的解题思维定势中走出来，用一种更广阔的眼光来看几何证明问 题.2,向量的起源与发展2.1 向量的起源向量又叫做矢量，最开始是应用于物理中的.很多物理量如力、速度、加速 度和电场强度、磁感应强度等这些都是向量.大概公元前350年前，古希腊著名 学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，而且两个力的组合可以用平行四边 形法则得到.“向量”这个词来自力学、解析几何中的有向线段.英国科学家牛顿 是最先只用向量表示有向线段的人.我们高中所学的向量是一种带有几何性质的量，除零向量外，都可以用箭头 表示它的方向.但是在高等数学中我们又学习了更加广泛的向量.例如，把全体 实系数多项式看作一个多项式空间，那么这里的多项式都可看成一个向量.在这 种情况下，我们根本无法找到它的起点和终点甚至画出箭头表示方向.这种空间 中的向量比几何中的向量要广泛得多，它可以是任意数学对象或物理对象.这样,就可以将线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了.因此，空间向量的概 念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然 科学的各领域中都得到了广泛的应用.而向量及其线性运算也为“向量空间”这 一抽象的概念提供出了一个具体的模型.从数学发展史来看，历史上很长一段时 间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们 才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学 体系.2.2 向量的发展向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末 期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具 有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数，也学 会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样慢慢地进入了数学.但复数的利用是受限制的，因为它仅仅只能用于表示平面，若有不在同一平 面上的力作用于同一物体，就需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19 世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以 代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后，英 国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创 造了大量的向量分析.三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞 德于19世纪80年代各自独立完成的.他们提出，一个向量不过是四元数的向 量部分，但不独立于任何四元数.他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量 积.并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此，向量的方法被引进到分析 和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。3.向量研究方法的分析3.1 向量的线性运算在几何中的应用向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，叫做向量的线性运算.例1 O是平面内一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足 t-4 R ACOP=OA+丁+E）2 G 0,+河，贝!J P点的轨迹一定通过AABC的？AB acA R t解：由于丝表示向量AB上的单位向量,ABAC表示向量AC上的单位向量,以丝+代表示单位向量 AB ac T组与单位向量生的和，由向量加法的几何意义AB ac 可知当+吉表示以单位向量当AB AQ ABAC为邻边的菱形的对角线，所以 TAn Ar1 当+修）0,+河表示向量AM（点M在角A的平分线上，其位置由;I确AB ac定）.因为d=&+京=揄，所以点P的轨迹为角A的平分线.只有4ABC的内 心为角的平分线的交点.例2.证明三角形三中线交于一点.1 T证明：如图所示，设BC边中点为L，任取一点O,则a=5（O8+OC）.对于中线 AL 而言，其上的点都可以表示为T T T I A T 1 A TAOA+（1-A）OL=AOA+0B+OC.2 2同样，对AB上的中线，它上面的各点可以表示为：彳&+彳办+子 女，要求两条中线的交点，就是要求出一个2和一个/,使这两个表达式的系数完全相同.所因此，令a=上幺,上4=上上,上4_ 、一-U.2 2 2 21 1 T T T解得：4=,其交点为一（Q4+O8+OC）33由对称性可知它也在第三条中线上.3.2点共线问题点共线问题是指：两个或两个以上的不同点都在同一条直线上，那么称这些 点为共线点.解决这类问题往往用两个向量W与3区w 0)共点的充要条件为W=几芯或两个向量Q=%2，丁2共线的充要条件为毛丁2-%2%=。或两个向量。=%1，=%2，%，22 共线的充要条件是芭：M：Z：为：Z2来求解.三个点A(X,以多)，B(x2,y2,z2),C()马,必0共线的充要条件是：%2-2 二乃一%二 Z2Z*3 玉 必M Z3 Z1例3 证明在三角形ABC中，外心0,重心G和垂心H在一条直线上(欧拉线)，并且 Nb=2cb.证明：如图所示，在AABC中，点H由质=以+办+6b所定，则(1)AH=OH-OA=OB+OC=2OL,n 1BH=OH-OB=OA+OC=2OM,CH=OH-OC=OA+OB=2ON.所以H为垂心.(、OH=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG所以0,G,H三点共线，且质=-2晶.例4 已知三点A,B,C,如果它们对应的向量分别是Ht，那么这三点位于同一条直线上的充要条件是存在三个非零实数a,Bq,使得aW+/c=0,a+夕+7=0(*)证明：（必要性）如图，若A,B,C三点在同一条直线上，且有&/二#&，由于c=a+AC,Z=b+BC=b-CB 由xa+x/得，（a+）c=aa+/3b,即aa+fib-（a+/3）c=0.令夕=一（0+夕），则有aa+/?+yc=0,且+/+/=0.（充要性）由（*）式得*=-丝血=匕胆./a+p因此於工一疝a=4&花，且&j二，a+p a+pAC=B a+BAB.即就与低平行且有公共点A,.A,B,C三点共线.3.3线共点问题例5证明三角形的三条中线交于一点.证明：设AABC的BC,CA两边上的高交于点P,再设1=a,PB=fi,PC=y.那么，AB=ft-a,BC-y-P,CA=a-yPA1BCAB.,.a(7-，)=0,即=又PBCA:.B(。-7)=0,即二y；从而a 7=夕7，即 7(Pa)=0 T PC.LAB.点P在aABC第三条边AB的高线上./.ZiABC的三条高线交于一点.例6证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.证明：设四面体ABCD一组对边AB,CD的中点E,F的连线为EF,它的中点为4,其余两组对边中点连线的中点分别为外，鸟，下面证明耳，P2,8三点重合：取不共面的三向量蓝二,AC=e2,AD=e3,建立仿射坐标系0;3,J.先求心用3,J线性表示的关系式.联结AF,因为A6是AEF的中线，所以有(AE+AF);又因为DF是4ACD的中线，所以又-1-T-有：AF=-(AC+AD)(e.+e.)；2 2FAD-7 1 7.而AE二AB二q,从而得：2 2T 11Tl TT 1api=-，+万“2+63）】=a（4+62+63），所以AP=AP2=AP3所以4,鸟，鸟三点重合.3.4 共面问题平行于同一平面的向量叫做共面向量.空间任意的两个向量都是共面的.但空 间任意三个向量不一定共面，比如空间四边形ABCD,凝,/,显）这三个向量就 不是共面向量，要使空间三个向量共面我们有空间向量的共面定理：如果两个向量Q,方不共线，则向量p与向量Q,方共面的充要条件是存在唯一实数T 对X,y,使得 p=Xa+yb.若三个非零向量1（XJ，4）工二用黑心/二用区）共面的充要条件是：x2y2 z2=0.X3B Z3例7已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件：t 1-9-7-。尸=5 0A+0B+0c.试判断：点P与A,B,C是否一定共面？解：由题意得 OP=OA+2OB+2OC,/.(OP-OA)=2(OB-OP)+2(OC-OP),AP=2PB+2PCPA=-2PB-2PC,点P与A,B,C共面.例8已知ABCD是平行四边形，从平面AC外一点0引向量-0E=kOA,OF=KOB,OG=kOC,OH=kOD(如图所示).求证：E,F,G,H四点共面.证明：四边形ABCD是平行四边形 T T/.AC=AB+ADEG=OG-OE=kOC-kOA=k(OC-OA)=kAC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH E,F,G,H四点共面.3.5 向量的数量积在几何证明题中的应用已知两个非零向量,力，我们把数量a b cos 叫做向量。与方的数量积（或 内积），记作即最a 1 cos.两个向量的数量积是一个数量而不 是向量.两条线段相等，两个角相等，以及两条线段垂直等问题都可以用向量的数量 积来解决.i.证明两个线段相等,先把两个线段改为两个向量，然后去证明这两个向量数量 平方相等。ii.用数量积证明两角相等,多采用计算角度的方法去解。iii.用数量积证明垂直问题的一般步聚为：欲证两条线段（或直线）垂直，可将这两条线段改为两个向量，然后证这两个向量的数量积为零，即。办=0就等价于垂直于办；或=（和必）,b=（x2,y2）那么当3为+%为二时，。就垂直于。.同理，当a=（）,b=C x2,y2,z2）,T-再12+H为+2遥2=0时，就垂直于A.iv.要证直线与平面垂直，可在直线上设出一个非零向量/在平面上再设出不共线向量力和c,去证或。c=0即可，或证平面的法向量平行于向量a.例9如图所示，在等腰直角三角形ABC中，NACB=90,CAXB,D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB,求证：ADCE.-1 T T证明：ADCE=（AC+C8）（CA+AB）2 3二一AC+2 3 3-/o AC+-CB C4cos90+-V2 AC cos45+AC cos 45233=-AC+AC=0例10 对任何向量7 b,证明等式：（H）2=G）2+（小2一21/当办不平行时，解释该等式的几何意义.证明：（。-万）之二（。-Z?）（a-Z?）=a+（4）a+(b)7 7=a+(-Z?)+(-/?)+(-/?)(-Z?)T T-TTT TT=a a-(Z?+)+=(a)2+(Z?)2-2flZ?.当W与不平行时，由图知等式变为BA=CA+CB-2C4 C5cosZAC5,这就是余弦定理.当NACB为直角时，总0,等式就是一 2 一 2 一 2BA=CA+CB,这就是勾股定理.例n 在三角形ABC中，NA=90,在AB,BC上向内各作正方形ABDE,BCFG,则G AJ_ DC.证明：如图所示，GADC=(品+BA)(DB+BC)=品 DB+RABCTT=GB DB cos(l 80-ZABQ+BA DB cos ZABC=0因此，G ADC.例12设ABCD是平面四边形，求证：对角线垂直的充要条件是一组对边的平方和t 2-2 T 2-2等于另一组对边的平方和，即AC_LBD=AB+CD=BC+DA.证明：如图所示，CD=AD-AC,BC=AC-AB,BD=AD-AB,T 2AB+CD-BC+DA)=AB+CD-BC-DA-2-2-2-2=AB+(AO-AC)-(AC-AB)2-AD2 2 2 2 2=AB+AD+AC AC-AC-AB+2AC AB-AD=2 AC(AB-AZ)=2 ACDB因止匕，ACBD ACDB=0 AB+CD=BC+DA3.6向量的向量积在几何证明题中的应用ax是一个向量，称为向量与Z?的向量积（或外积）.如果向量“，中 有一个等于零，或者W I b,那么装00,否则向量装房莫等于以向量7办为 邻边构成的平行四边形的面积，方向与该平行四边形所在平面垂直.它的长度为 I axb|=|a|b sinZ(a,b).我们经常用向量的向量积来处理几何中和面积有关的问题.用向量积时必 须注意axb bxa.例 13 已知空间三点A(l,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5),试求(1)三角形ABC的面积.(2)三角形ABC的AB边上的高.1 1T T解：(1)aABC的面积二5s平行四边形=5 ABxAC(如下图所示)AB=1,-3.2 AC=2,0,-8所以低 x/=24；+12，+6二 从而嬴it=)242+12?+6?=6所以aABC的面积为3瓦.(2)因为aABC的AB边上的高CH即是平行四边形ABCD的AB上的高，所以ABxAC&_ 3平行四边形ABCD ,AB AB又因为 AB=712+(-3)2+22=V14,所以,CH=ABxACAB%=3府 V14例14 已知二 2,3,1/=5,6,4,试求(1)以W工为边的平行四边形的面积;(2)这平行四边形的两条高长.解:31 12144523=6,-3-3)DO因为axZ?=所以I axb I=3V6,即以WE为边的平行四边形的面积为3痛.边上的高二用=%=坦 口m7V7 7-777、士3屈 376 37462Z?边上的图二丁丁 二03.7向量的混合积在几何证明题中的应用数量(qxZ?)c叫做三向量a,b,c的混合积，记作(a b c)或(a,b,c).显然，(a Z?c)=0的充要条件是a,b,c共面.混合积的几何意义：不共面的三向量7 b,1混合积的绝对值等于以1b,1为棱的平行六面体体积.所以三向量的混合积多用于证明和体积有关的问题，也可以证明共面问题.例15已知四面体ABCD的顶点坐标A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0),D(2,-1,3),求它的体积.解：由初等几何知道，四面体ABCD的体积V等于以AB,AC,和AD为棱的平行六面体 的体积的六分之一，因此1T T 1V=-(AB,AC,AD)但 AB=6,0,6,AC=4,3,0,Ab=2-1,3)所以(荒,就,晶)=-6,从而 V 二(A3,AC,AO)=1.6 例16 =弓+4 02+G 3,V=2 6+%2+。2 03，川=43 弓+为2+。3，试证明T T T(M,V,W)=axb G“2”2。2 a3b3 c3t (e19e2,e3).)证明：(，%W)二(WX V)W=(%,+仇+G 63)x(%e+b2e2+Q，+b3e2+c3 e3)=_(ab2-a2b)elxe2+(aic2-a2cl)elxe3+(blc2-b2cl)e2xe3 T T T Q e+b3 e2+c3 e3)=(%一。2瓦)c 3(e1,e2,e3)+(a1c2 2q)63(ex,e2,e3)-4-4+(/?!2-b2Ci)。3(6,62,63)-(。也一贴1)。3 一(。1。2-。2。1)&+(32-b2c l)a3(ej,e2,e3)axbx C a2b2 c2“303。34.总结总结在本文中主要讨论了利用向量法来证明有关线性运算，点共线，线共点，共面等几何问题，还有利用向量的向量积，数量积和混合积等性质来证明几何问 题。由这些方法表明了向量在证明几何题中的优越性，即把几何问题化为向量问 题来解决时可以使问题很容易解决。从上面的例子可以看出向量代数的很多知识完全可以作为一种工具来解决 几何证明问题.向量代数应用于几何证明题并不是简单的一题多解,而是一种知 16.王志学.浅谈向量法在立体几何中的应用【J】.科技创新导报，2012,1914,16期15.胡云浩.例析向量数量积的几何意义的应用【J】.数学通讯，2006年第学.）2012,7月第28卷第七期（上）14.张洪刚向量在线共点问题上的若干应用J.赤峰学院学报（自然科13.吕林根；许子道.解析几何（第四版）【M】.高等教育.，200612.廖奎华.解析几何教程（第1版）【M】科学.，2000,811.谢吉.空间向量及其在教学中的应用【J.教育理论研究,2009,1:123-124.10.舒梅.管窥向量法处理立体儿何问题【J.语数外学习，2008,9:1822.9.张凤莲.高中数学中的向量研究【D】.武汉：华中师范大学，2007.Teeching,2003,40（5）:487-509.aS cienceandS cientificInquiryJ.JournalofResearchinS 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生活、学习中给予的帮助和奉献。还有我要将我深深的感激之情献给我的父母，和我的朋友们，一直以来是你们的理解和支持，让我战胜生活中的每次挫折！最后，再一次真诚的感谢所有曾经给予我帮助的人，谢谢你们！