圆锥曲线题型归纳(经典含答案)教学提纲.doc

圆锥曲线题型归纳(经典含答案)精品文档 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题(一) 定义:1. 命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹是（ D ）A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( B )A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4. 椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的值是 4 。5. 选做：F1是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1），求的最小值。解：(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k的取值范围，使方程表示圆，椭圆，双曲线。（略）2. ( C )A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限是（ A ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .5. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 k1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求椭圆方程.2. 简单几何性质1 求下列椭圆的标准方程（1）； （2）过（3，0）点，离心率为。 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。3过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为_（四）椭圆系共焦点，相同离心率1 椭圆与的关系为（ A ） A相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距2、求与椭圆有相同焦点，且经过点的椭圆标准方程。 （五）焦点三角形4a1. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 8 。2. 已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 20 。3. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 。（六）焦点三角形的面积： 1. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，求点到轴的距离。解：设则解得，所以求点到轴的距离为2. 设是椭圆上的一点，、为焦点，求的面积。解：当，S=3. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，若，则的面积为 。4. 已知AB为经过椭圆的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则AFB的面积的最大值为 cb 。（七）焦点三角形1. 设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大值，并求此时点的坐标。2. 椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 2 ； 120O 。3. 椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为 。（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：1. 点M(x,y)满足，求点M的轨迹方程。（）2. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.3. 已知圆,圆，动圆与外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.解：由题所以点的轨迹是：以，为焦点的距离之和为12的椭圆。，方程为4. 已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 5. 已知A(0,-1),B(0,1),ABC的周长为6，则ABC 的顶点C的轨迹方程是 。直接法6. 若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹方程为 。相关点法7. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点在上，并且，求点M的轨迹。8. 已知圆，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹方程是 。二、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系1 当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。解：由消去y得，判别式：所以，当时直线与椭圆相交；当时直线与椭圆相切；当时直线与椭圆相离。2 若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 。 (二)弦长问题1. 设椭圆的左右两个焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为。（1） 求椭圆的方程；（2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求的面积。解：由（1）点B（0，），直线BF2的方程为：消去y得：，解得所以点N的坐标为（，）所以(三)点差法定理 在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.1. 已知一直线与椭圆 相交于、两点,弦的中点坐标为，求直线AB的方程. 解：设交点，则有，（2）-（1）得即，又直线AB过点（1，1）所以直线AB的方程为：2. 直线l经过点A(1，2)，交椭圆于两点P1、P2，（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；（2）求P1P2的中点的轨迹解：（1）设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则*A(1，2)是线段P1P2的中点，x1+x2=2，y1+y2=4，即。l的方程为，即2x+9y-20=0（2）设P1P2的中点M(x，y)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y，代入*式，得，又直线l经过点A(1，2)，整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0，P1P2的中点的轨迹：。 (四) 定值、定点问题1、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值.证明：设交点由消去y得则有所以为定值 19. 已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标解: （）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则 解得 椭圆C的标准方程为 4分（）由方程组 消去，得 6分由题意，整理得： 7分设，则， 8分由已知， 且椭圆的右顶点为， 10分即，也即 ，整理得解得 或 ，均满足 11分当时，直线的方程为 ，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为 ，过定点， 故直线过定点，且定点的坐标为 13分20. 在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和(1) 求轨迹的方程；(2) 当时，求与的关系，并证明直线过定点解：（1）点到，的距离之和是4，M的轨迹是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为 3分（2）将，代入曲线的方程，整理得5分因为直线与曲线交于不同的两点和， 所以 设，则， 7分且 显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，由，得将、代入上式，整理得，10分所以，即或经检验，都符合条件当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点即直线经过点，与题意不符当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点综上，与的关系是：，且直线经过定点点13分三、最值问题5. 已知P为椭圆上任意一点，M（m，0）（mR），求PM的最小值。目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM，利用二次函数思想求最小值。解：设P(x,y)，PM=，x-2,2，结合相应的二次函数图像可得（1）-2，即m2，即m时，(PM)min=|m-2|.说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b，最远的点是长轴端点，最大值为a；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c；6. 在椭圆求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆的切线与直线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆相切，则，消去x，得8y2+4my+m2-4=0,=0,解得m=.当m=时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为=，此时点P的坐标是(,)；当m=-时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为=，此时点P的坐标是(,)。解法二：设椭圆上任意一点P(2cos,sin),0,2)则P到直线l的距离为=当=时，P到直线l的距离最大，最大为此时点P的坐标是(,)； 当=时，P到直线l的距离最小，最小为，此时点P的坐标是(,)。说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。7. 设AB是过椭圆中心的弦，F1是椭圆的上焦点，（1）若ABF1面积为4，求直线AB的方程；（2）求ABF1面积的最大值。解：（1）设AB：y=kx，代入椭圆，得x2=，x1=-x2=，又，SABF1=|OF1|x1-x2|=2|x1-x2|=4，|x1-x2|=2，=5，k=，直线AB的方程为y=x。（2）SABF1=|OF1|x1-x2|=4，当k=0时，(SABF1)Max=12。9. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点，与椭圆相交于、两点（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值（1）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为， 如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或 （2）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为， 又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为 解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为 ，当时，上式取等号所以的最大值为 四、垂直关系10.（上海春季）已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、。(1) 若为等边三角形，求椭圆的方程；(2) 若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。解：（1）设椭圆的方程为（）。根据题意知，解得，故椭圆的方程为。（2）容易求得椭圆的方程为。当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为。由，得。设，则，因为，所以，即，解得，即。故直线的方程为或。11. 如图，设椭圆的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l使得F为的垂心。若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。解：由已知可得，B(0，1)，F(1，0)，kBF=-1。BFl，可设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程整理，得。设，则，。BNMF，即。，。即，或。由，得又时，直线l过B点，不合要求，故存在直线l：满足题设条件。双曲线题型总结一. 定义的应用1动点与点与点满足，则点的轨迹方程为_2已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A B C或 D 3.已知平面上两定点及动点M，命题甲：（为常数），命题乙：“点M轨迹是以为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的 （ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件4双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离等于 .5设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为6已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为_7.已知双曲线的两个焦点为，是双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是 （ ） 8. 已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且；则9双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到 轴的距离为 10.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x00)到左焦点距离为4，则x0= .11若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为12动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（）A抛物线来源:学.科.网B圆 C双曲线的一支 D椭圆13是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为二. 双曲线的几何性质1“ab0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2aB C4a D 6在抛物线 内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是_7过抛物线y2=x的焦点F的直线l的倾斜角,直线l交抛物线于A,B两点，且点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）A（,1+ B. （,1 C . ,+) D.,+)8.抛物线y2=4x的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2,y10,y2x2,y10,y20 由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，|=x1+x2+2=+2=|k2=从而k=，故直线AB的方程为y=(x-1)，即4x-3y-4=01(1) ；(2)是，；.【解析】试题解析：（1）把点代入拋物线方程得.（2）设点,直线,则直线,联立方程组,消去得：,联立方程组,消去得：,得.故.设直线,联立方程组,消去得：,两点分别在直线的两侧, 故,设分别为点到直线的距离,四边形面积的取值范围是.3（1）；（2）证明见解析【解析】（1）解：设，联立方程组，消元得，所以，2分又，4分所以，从而5分（2）因为，所以，6分因此8分又，9分所以11分即为定值12分6（）；（）存在点或，使得对任意直线，直线，的斜率始终成等差数列 【解析】试题解析：（）焦点直线的斜率不为，所以设， 由得， ， 直线的斜率， 直线的方程为 （）设， 同理，直线，的斜率始终成等差数列，恒成立，即恒成立， 把，代入上式，得恒成立，存在点或，使得对任意直线，直线，的斜率始终成等