2021高考数学(福建-理)一轮作业：3.4-定积分与微积分基本定理.docx

§3.4 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1．与定积分∫dx相等的是(　　)．
A.∫sindx B.∫dx
C. D．以上结论都不对
解析　∵1－cos x＝2sin2，∴∫dx＝
∫|sin|dx＝∫|sin|dx.
答案　B
2. 已知f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx＝(　　)
A．0 B．4 C．8 D．16
解析 －6f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.
答案 D
3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)．
A. m B. m
C. m D. m
解析　v＝40－10t2＝0，t＝2，(40－10t2)dt＝＝40×2－×8＝(m)．
答案　A
4．一物体以v＝9.8t＋6.5(单位：m/s)的速度自由下落，则下落后其次个4 s内经过的路程是(　　)
A．260 m B．258 m
C．259 m D．261.2 m

解析 (9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.
答案 D　
5．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
(　　)．
A. B．4
C. D．6
解析　由y＝及y＝x－2可得，x＝4，所以由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为(－x＋2)dx＝＝.
答案　C
6．已知a＝2，n∈N*，b＝x2dx，则a，b的大小关系是(　　)．
A．a>b B．a＝b
C．a<b D．不确定
答案　A
7．下列积分中
①dx；②－2x dx；③dx；
④∫0dx，积分值等于1的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　①＝1，
②＝0，
③dx＝(π22)＝1，
④∫0dx＝∫0(cos x＋sin x)dx
＝(sin x－cos)|0＝1.
答案　C
二、填空题
8．假如10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为______．

解析 由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，100xdx＝0.18(J)．
答案 0.18 J
9．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．
答案　－ln 2
10．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于_________．
解析 (2x－3x2)dx＝2xdx－3x2dx＝x2＝k2－k3＝0，
∴k＝0或k＝1.
答案 0或1
11． |3－2x|dx＝________.
解析　∵|3－2x|＝
∴|3－2x|dx＝∫1(3－2x)dx＋(2x－3)dx
＝1＋(x2－3x)|2＝.
答案　
12．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．
解析　如图所示，由于y′＝－2x＋4，y′|x＝1＝2，y′|x＝3＝－2，两切线方程为y＝2(x－1)和y＝－2(x－3)．
由得x＝2.

所以S＝[2(x－1)－(－x2＋4x－3)]dx＋[－2(x－3)－(－x2＋4x－3)]dx
＝(x2－2x＋1)dx＋(x2－6x＋9)dx
＝＋＝.
答案　
三、解答题
13．如图在区域Ω＝{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，假如落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估量落在图中阴影部分的豆子数．

解析　区域Ω的面积为S1＝16.
图中阴影部分的面积
S2＝S1－＝.
设落在阴影部分的豆子数为m，
由已知条件＝，
即m＝＝600.
因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．
14．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

解析　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝.
又
由此可得，
抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为
x3＝0，x4＝1－k，所以，
＝∫(x－x2－kx)dx
＝
＝(1－k)3.
又知S＝，
所以(1－k)3＝，
于是k＝1－ ＝1－.
15．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．
解析　设切点坐标为(x0，y0)
y′＝6x2－6x－2，
则y′|x＝x0＝6x－6x0－2，
切线方程为y＝(6x－6x0－2)，
则y0＝(6x－6x0－2)，
即2x－3x－2x0＋1＝(6x－6x0－2).
整理得x0(4x－6x0＋3)＝0，
解得x0＝0，则切线方程为y＝－2x＋1.
解方程组
得或
由y＝2x3－3x2－2x＋1与y＝－2x＋1的图象可知
S＝∫0[(－2x＋1)－(2x3－3x2－2x＋1)]dx
＝∫0(－2x3＋3x2)dx＝.
16. 已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0<t<1)，直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．
(1)求函数S(t)的解析式；
(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．

解析 (1)由得x2－(t＋1)x＝0，
所以x1＝0，x2＝t＋1.
所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.
由于0<t<1，所以1<t＋1<2.
所以S(t)＝∫[3tx－(3x2－3x)]dx＋t＋1[(3x2－3x)－3tx]dx
＝＋
＝(t＋1)3－6t＋2.
(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，
则h′(x)＝3(x＋1)2－6.
由于m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．
过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，
则3(x0＋1)2－6＝，
化简整理得2x－6x0＋m＝0，其有三个不等实根．
设g(x0)＝2x－6x0＋m，则g′(x0)＝6x－6.
由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1；
由g′(x0)<0，得－1<x0<1，
所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，
所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值；
当x0＝1时，函数g(x0)取微小值．
因此，关于x0的方程2x－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是
即即－4<m<4.
故实数m的取值范围是(－4,4)．