高中数学(北师大版)必修五教案：1.2-等差数列前n项和公式的应用.docx

等差数列前n项和公式的应用
　　等差数列的前n项和公式是一个很重要的公式．对这个公式的形式和本质特征的争辩，将有助于提高我们的计算力气和分析、解决问题的力气．
　　一、分析公式的结构特征

　　难得出下面的结论：

　　中间项．
　　 2．当n是偶数时，a1与an的等差中项不是该数列的项，它的值等于数列前n项中正中间两项的算术平均数．
　　依据上述结论，可得：
　　 性质1 等差数列{an}中．S2n-1=(2n－1)an；S2n=n(an＋an+1)．
　　 (由于an是前2n－1项的正中间；an，an+1是前2n项的正中间两项)
　　 例1 (1)等差数列中，若a8=5，则S15=________．
　　 (2)等差数列{an}中，若a6=a3＋a8，S9=________．
　　 解 (1)依性质1，得
　　 S15=S2×8-1=(2×8－1)a8=15a8，
　　而a8=5，∴S15=15×5=75．
　　 (2)∵a6=a3＋a8，由通项公式，得
　　 a1－(6－1)d=[a1＋(3－1)d]＋[a1＋(8－1)d](d为公差)．
　　整理得 a1＋4d=0．即a1＋(5－1)d=0，
　　而a5=a1＋(5－1)d，
　　∴a5=0．
　　由性质1得S9=S2×5-1=(2×5－1)a5=9×0=0．
　　 例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S12＞0，S13＜0，指出：S1、S2、S3、…、S12中哪一个值最大，并说明理由．
　　 解 依题意，有

　　∴a6＞－a7＞0，而a7＜0(公差d＜0)，
　　故S1，S2，S3，…，S12中S6的值最大．
　　二、留意公式的变形

　　我们有：

　　 例3 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项为100，则它的前3m项和为 [ ]
　　A．30 B．170 C．210 D．260
　　 解 已知Sm=30，S2m=100，求S3m=？

　　均成等差数列．则

　　∴S3m=210．故选(C)．

　　 S3m－S2m成等差数列．
　　 性质3 等差数列中依次每m项和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
　　 例4 等差数列{an}的前n项和为S1，次n项和为S2，后n项和为S3，

　　 证明 由性质3，知：S1，S2，S3成等差数列，