江苏省扬州中学2020-2021学年高一上学期期中考试-数学-Word版含答案.docx

江苏省扬州中学2022—2021学年度第一学期期中考试
高一数学试卷 2022.11
一、填空题（每小题5分，共70分）
1．已知全集，集合，则等于 ▲ ．
2．集合的子集个数为 ▲ ．
3．函数定义域为 ▲ ．
4．若函数在上递减，在上递增，则实数= ▲ ．
5．下列各组函数中，表示相同函数的是 ▲ ．
①与 ② 与
③与 ④ 与
6．若函数，则 ▲ ．
7．已知幂函数的图象经过点，则 ▲ ．
8．假如函数的零点所在的区间是，则正整数 ▲ ．
9．已知偶函数在单调递减，，若，则实数的取值范围是 ▲ ．
10．假如指数函数在上的最大值与最小值的差为，则实数
▲ ．
11．若，则实数 ▲ ．
12.对于函数定义域中任意的，给出如下结论：
①； ②；
③当时，；
④当时，，
那么当时，上述结论中正确结论的序号是 ▲ ．
13．已知函数，若 （其中），
则的取值范围是 ▲ ．
14．已知实数满足，，则 ▲ ．

16．（本小题满分14分）
已知函数，
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围.

17．（本小题满分14分）
已知函数 (其中且).
（1）推断函数的奇偶性并证明；
（2）解不等式.

18．（本小题满分16分）
某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格（单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．
（1）写出月销售量Q关于销售价格的函数关系式；
（2）假如该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10
万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．

19. （本小题满分16分）
已知函数，
（1）推断的奇偶性并说明理由；
（2）当时，推断在上的单调性并用定义证明；
（3）当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

20．（本小题满分16分）
已知二次函数（其中）满足下列3个条件:
①的图象过坐标原点； ②对于任意都有成立；
③方程有两个相等的实数根，
令（其中），
（1）求函数的表达式；
（2）求函数的单调区间（直接写出结果即可）；
（3）争辩函数在区间上的零点个数.

命题、校对：高二数学备课组
高一数学试卷答案 2022.11
一、填空题
1． {1} 2． 4 3． 4． 5 5．③
6． 7． 8． 2 9． 10．或
11． 36 12. ①③ 13． 14． -2
二、解答题
15．解：由题意得 ，解得或，
当时，，满足要求，此时；
当时，，不满足要求，
综上得：， 。 ……………………………14分
16．解：（1）当时，由题意得，
即，即
∴定义域为。 ……………………………6分
（2）由题意得不等式对一切都成立
当时，，满足要求； ……………………………9分
当时，，解得，
综上可得：实数的取值范围是。 ……………………………14分
17．解：（1）由得，所以定义域为； ……………………3分

∴为奇函数 ……………………7分
（2）时，由，得，得
时，由，得，得 ……………13分
综上得，时，；时， ……………………14分
18． 解：（1）由题设知，当时，
当时，
所以……………………6分
（2）月利润为
即
…………10分
所以当时，当时，
所以当时，取得最大值6．
答：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元。 …………16分
19. 解：（1）当时，为偶函数； …………2分
当时，,,
故且，所以无奇偶性.
综上得：当时，为偶函数；当时，无奇偶性. …………5分
（2），
任取，则，
∵∴，，
∴，所以在区间上递减. …………9分
（3）由题意得，
由（2）知在区间上是递减，同理可得在区间上递增，
所以， …………12分
所以，即，
令，则，解得，故，
即，即。 …………16分
20．解： (1)由题意得，即. …………1分
∵对于任意R都有,
∴对称轴为，即，即.
∴，
∵方程仅有一根，即方程仅有一根，
∴，即，即．
∴． …………4分
(2)
① 当时，函数的对称轴为，
若，即，函数在上单调递增；
若，即，函数在上单调递增，在上递减．
② 当时，函数的对称轴为，
　则函数在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，
当时，函数增区间为，减区间为；
当时，函数增区间为、，减区间为
、． …………9分
(3) ① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，
又，
故函数在区间上只有一个零点． …………12分
② 当时，则，而，，
（ⅰ）若，由于，
且，
此时，函数在区间上只有一个零点；
　（ⅱ）若，由于且，此时在区间
上有两个不同的零点．
综上所述，
当时，函数在区间上只有一个零点；
当时，函数在区间上有两个不同的零点． …………16分

高一数学试卷答案 2022.11
一、填空题
1． {1} 2． 4 3． 4． 5 5．③
6． 7． 8． 2 9． 10．或
11． 36 12. ①③ 13． 14． -2
二、解答题
15．解：由题意得 ，解得或，
当时，，满足要求，此时；
当时，，不满足要求，
综上得：， 。 ……………………………14分
16．解：（1）当时，由题意得，
即，即
∴定义域为。 ……………………………6分
（2）由题意得不等式对一切都成立
当时，，满足要求； ……………………………9分
当时，，解得，
综上可得：实数的取值范围是。 ……………………………14分
17．解：（1）由得，所以定义域为； ……………………3分

∴为奇函数 ……………………7分
（2）时，由，得，得
时，由，得，得 ……………13分
综上得，时，；时， ……………………14分
18． 解：（1）由题设知，当时，
当时，
所以……………………6分
（2）月利润为
即
…………10分
所以当时，当时，
所以当时，取得最大值6．
答：每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元。 …………16分
19. 解：（1）当时，为偶函数； …………2分
当时，,,
故且，所以无奇偶性.
综上得：当时，为偶函数；当时，无奇偶性. …………5分
（2），
任取，则，
∵∴，，
∴，所以在区间上递减. …………9分
（3）由题意得，
由（2）知在区间上是递减，同理可得在区间上递增，
所以， …………12分
所以，即，
令，则，解得，故，
即，即。 …………16分
20．解： (1)由题意得，即. …………1分
∵对于任意R都有,
∴对称轴为，即，即.
∴，
∵方程仅有一根，即方程仅有一根，
∴，即，即．
∴． …………4分
(2)
① 当时，函数的对称轴为，
若，即，函数在上单调递增；
若，即，函数在上单调递增，在上递减．
② 当时，函数的对称轴为，
　则函数在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，
当时，函数增区间为，减区间为；
当时，函数增区间为、，减区间为
、． …………9分
(3) ① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，
又，
故函数在区间上只有一个零点． …………12分
② 当时，则，而，，
（ⅰ）若，由于，
且，
此时，函数在区间上只有一个零点；
　（ⅱ）若，由于且，此时在区间
上有两个不同的零点．
综上所述，
当时，函数在区间上只有一个零点；
当时，函数在区间上有两个不同的零点． …………16分