河北省正定中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题Word版含答案.docx

2022-2021学年第一学期高二期末考试
数学试卷
说明：
1.考试时间120分钟，满分150分。2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
试卷Ⅰ（共 60 分）
一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。请把答案涂在答题卡上）
1．用三段论推理：“指数函数是增函数，由于是指数函数，所以是增函数”，你认为这个推理
　 A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D． 是正确的
2．在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列命题是真命题的是
A．的充要条件 B．的充分条件
C． D．若为真命题，则为真
4．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为
A. B. C． D．
5．设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则
A． B．
C． D．
6．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四周体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四周体的体积为，则＝
A. B. C. D.
7．用数学归纳法证明 时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是
A. B. C． D.
8． 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=
A．9 B. 6 C. 4 D. 3
9．若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是
A． B. C. D.
10．如图，在边长为(为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为

A． B． C． D．
11．如图,有一个水平放置的透亮     无盖的正方体容器,容器高cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为cm,假如不计容器的厚度,则球的体积为
A． B． C． D．
12. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为

试卷Ⅱ（共 90 分）
二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）
13. ．
14.将一个白球，一个红球，三个相同的黄球摆放成一排，则白球与红球不相邻的放法有 _________种.
15. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________．
16. 若函数在区间是减函数，则的取值范围是________．
三、解答题（本题共6个小题 共计70分。请把解答过程写在答题纸上）
17．（本题满分10分）已知命题：关于的一元二次方程没有实数根，命题：函数的定义域为，若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.

18．(本题满分12分)△的内角所对的边分别为.
(1)若成等差数列，证明：；
(2)若成等比数列，求的最小值．

19．(本题满分12分)二次函数
(1) 若，求函数在内有且只有一个零点的概率；
(2) 若，求函数在上为减函数的概率.
20．（本小题满分12分）
如图，在梯形中，，四边形 为矩形，平面平面，.
(1)求证：平面；
(2)点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为的取值范围.

21．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条相互垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．

（第21题）

22．（本题满分12分）
已知函数
　 （Ⅰ）若，求的单调区间；
　 （Ⅱ）假如当且时，恒成立，求实数的范围．

高二班级数学答案
选择题ADBBD CCBDA CA
一、 填空题
13. 14. 12 15. (－ln 2，2) 16. (－∞，2]
三、解答题
17.解：由于的一元二次方程没有实数根
所以，解得，即命题： 3分
又函数的定义域为
所以，即命题： 6分
又或为真命题，且为假命题，所以和一真一假，
所以实数的取值范围 10分
18.解：(1)∵成等差数列，∴…………….2分
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．………………………………6分
(2)∵成等比数列，∴………………………8分
由余弦定理得
cos B＝＝≥＝…………………10分
当且仅当a＝c时等号成立，
∴cos B的最小值为. …………………12分
19. （1）从集合任取一个数，从几何任取一个数，组成全部数对为
共6个.由，即
满足的数对有共2个，所以，满足条件的概率.
（2）由已知：又即
试验全部结果所构成的区域为
大事“函数”构成区域
，如图

故所求概率为
20.（1）
证明：在梯形中，由于.又,所以 所以 所以
由于，
所以.
(2)由（1）可建立分别以直线为轴的空间直角坐标系如图所示.
令则
所以
设为平面的一个法向量.
由联立得

取，则
由于是平面的一个法向量.
所以
由于，所以当时，有最小值，当时，有最大值
所以.

21．（Ⅰ）由题意知，，则，，
所以．所以椭圆的方程为． ……………………………………4分
（Ⅱ）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知； …………………………5分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，
且设直线的方程为， 则直线的方程为．
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，
所以． ……………8分
同理，． …………………………9分
所以
，
当且仅当时取等号 …………11分
∴
综合①与②可知， …………………………………………12分
22. （1）当时 即，又定义域为，
所以单调增区间为和；单调减区间为……………4分
（2）可化为（※）
设，由（1）知：
① 当时，在上是增函数
若时，；所以
若时，。所以
所以，当时，※式成立--------------------------------------10分
② 当时，在是减函数，所以※式不成立
综上，实数的取值范围是．----------------------------12分
解法二 ：可化为
设
令

,

所以
在

由洛必达法则

所以