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双基限时练(二十三)
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长快速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析 一次函数匀速增长，二次函数和指数型函数都是开头增长慢，以后增长越来越快，只有对数型函数增长先快后慢．
答案 D
2．一辆匀速行驶的火车90 min行驶180 km，则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( )
A．y＝2t B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)
解析 90 min＝1.5 h，∴y＝t＝120t(t≥0)，故选D.
答案 D
3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y之间的函数关系为( )
A．y＝0.9576 B．y＝0.9576100x
C．y＝()x D．y＝1－0.042
解析 特殊值法，取x＝100代入选项，只有A正确．
答案 A
4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析 将题中所给三个数据代入解析式知，函数y＝较为接近．
答案 C
5．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lgx B．2x>lgx>x
C．x>2x>lgx D．lgx>x>2x
解析 结合y＝2x，y＝x及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lgx.
答案 A
6．甲、乙两人沿着同一方向去B地，途中两人的速度都是v1或v2(v1<v2)．甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半的时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，则其中可能正确的图示分析为( )
A．① B．③
C．①或④ D．①或②
解析 ∵v1<v2，甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用v2，则甲到B地所用时间长一些，因此图①、图②可能正确．
答案 D
7．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化状况如下表：
x
1.00
3.00
5.00
7.00
9.00
11.00
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40
其中x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．
答案 y3 y2 y1
8．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．
解析 设1月份产量为a，则12月份的产量为7a，月平均增长率为x，
∴a×(1＋x)11＝7a，∴x＝－1.
答案 －1
9．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2021年以180万的价格购物得一套新居子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．
解析 一年后的价格为180＋180·x＝180(1＋x)．
两年后的价格为180(1＋x)＋180(1＋x)·x
＝180(1＋x)(1＋x)＝180(1＋x)2，
由此可推得10年后的价格为180(1＋x)10.
答案 180(1＋x)10
10．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
解 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题意知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；
当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；
当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；
当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；
当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
11．某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系．
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么安排资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解 (1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，所以f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
即f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20－x)万元．
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)
＝＋(0≤x≤20)
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，最大收益是3万元．
因此，当投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时，收益最大，最大收益是3万元．
12．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了猜测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
解 依题意，得
即解得
∴甲：y1＝x2－x＋52，
又
①－②，得p·q2－p·q1＝2 ④
②－③，得p·q3－p·q2＝4 ⑤
⑤÷④，得q＝2，
将q＝2代入④式，得p＝1，
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
∴乙：y2＝2x＋50，
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好．
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