2021高考数学(文理通用)一轮阶段滚动检测3.docx

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阶段滚动检测(三)
第一～六章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(滚动交汇考查)已知集合M={x|x2-3x-4>0},N={x|4-x2≥0},则M∩N=(　　)
A.[2,4]　　　　　　　　　 B.[-2,2]
C.[-2,-1) D.(4,+∞)
2.(滚动单独考查)(2022·温州模拟)如图所示为函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,0≤φ≤π2的部分图象,其中A,B两点之间的距离为5,那么f(-1)=(　　)
A.-1 B.-3 C.3 D.1
3.(2022·泉州模拟)已知数列{an}满足a1=2,a2=1,2an=1an-1+1an+1,则a10=(　　)
A.1210 B.129 C.110 D.15
4.设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是(　　)
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
5.(滚动单独考查)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=52,则|b|=(　　)
A.5 B.10 C.5 D.25
6.(2021·广州模拟)已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为(　　)
A.6 B.339 C.22 D.4
7.(滚动单独考查)设sinα=35π2<α<π,tan(π-β)=12,则
tan(α-2β)=(　　)
A.-247 B.-724 C.247 D.724
8.若实数x,y满足2x-y≥0,y≥x,y≥-x+b且z=2x+y的最小值为3,则实数b的值为(　　)
A.49 B.94 C.74 D.2
9.(滚动交汇考查)已知a=(sinx,-cosx),b=(cosx,3cosx),函数f(x)=a·b+32.若0≤x≤π2,则函数f(x)的值域为(　　)
A.-12,1 B.12,1
C.-32,1 D.32,1
10.已知各项为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得am·an=4a1,则1m+4n的最小值为(　　)
A.4 B.23 C.9 D.32
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2021·青岛模拟)不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是　　　　　.
12.(滚动交汇考查)已知命题p:a-4<x<a+4,命题q:(x-2)(3-x)>0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　　.
13.(2022·湖州模拟)若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是　　　　.
14.(滚动交汇考查)(2022·温州模拟)已知角α的终边上有一点Pt,t2+14(t>0),则tanα的最小值为　　　　　.
15.(2022·嘉兴模拟)“蛟龙号”载人潜水器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜深度为7000米.6月24日,“蛟龙号”载人潜水器7000米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“蛟龙号”假如依据估量下潜的深度s(米)与时间t(分钟)之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2000,则平均速度的最小值是　　　　米/分钟.
16.已知区域D是由不等式组x-2y≥0,x+3y≥0所确定的,则圆x2+y2=4在区域D内的面积等于　　　　.
17.(2022·宁波模拟)已知函数f(x)=
12x-1(x≤0),-x2+2x(x>0)对于下列命题:
①函数f(x)的最小值是0;
②函数f(x)在R上是单调递减函数;
③若f(x)>1,则x<-1;
④若函数y=f(x)-a有三个零点,则a的取值范围是0<a<1;
⑤函数y=|f(x)|关于直线x=1对称.
其中正确命题的序号是　　　　　.(填上你认为正确的全部命题的序号)
三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(14分)(滚动单独考查)(2021·长沙模拟)已知函数f(x)=
2sinωx·cosωx+π6+12(ω>0)的最小正周期为4π.
(1)求正实数ω的值.
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bcosA=acosC+ccosA,求f(A)的值.
19.(14分)(2021·聊城模拟)已知函数f(x)=-aax+a(a>0且a≠1),
(1)证明:函数y=f(x)的图象关于点12,-12对称.
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
20.(14分)某地方政府预备在一块面积足够大的荒地上建一个如图所示的矩形综合性休闲广场,其总面积为3000平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地外形相同),塑胶运动场地占地面积为S平方米.
(1)分别写出用x表示y和用x表示S的函数关系式(写出函数定义域).
(2)怎样设计能使S取得最大值,最大值为多少?

21.(15分)(2021·威海模拟)已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)证明:数列an-12n为等差数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
22.(15分)(2022·温州模拟)已知平面对量a=(-3,1),b=12,32,
c=14a+mb,d=cos2xa+sinxb,f(x)=c·d,x∈R.
(1)当m=2时,求y=f(x)的取值范围.
(2)设g(x)=f(x)-m2+2m+5,是否存在实数m,使得y=g(x)有最大值2,若存在,求出全部满足条件的m值,若不存在,说明理由.

答案解析
1.C　由已知得M={x|x<-1或x>4},N={x|-2≤x≤2},故M∩N={x|-2≤x<-1}.
2.A　由A,B两点之间的距离为5知,函数的半周期为3,
因此T=6,ω=2πT=π3,
又函数过点(0,1),所以sinφ=12,
因0≤φ≤π2知φ=π6,
所以函数解析式为f(x)=
2sinπ3x+π6,
故f(-1)=2sin-π3+π6=
2sin-π6=-1.
3.D　由等差中项可知1an是等差数列,
且首项为12,公差d=1a2-1a1=12,
所以1an=12+(n-1)×12=n2,
所以an=2n,所以a10=15.
4.C　由于函数f(x)图象的对称轴是x=-12,f(0)=a>0,所以由f(m)<0得-1<m<0,
于是m+1>0,故f(m+1)>f(0)>0.
5.C　由于a=(2,1),
所以|a|=5.
又由于|a+b|=52,|a+b|2=a2+b2+2a·b,
所以(52)2=(5)2+|b|2+2×10,
即|b|2=25,所以|b|=5.
6.A　3x+27y=3x+33y≥23x+3y=29=6,当且仅当3x=33y,
即x=3y=1时等号成立.
7.D　由于sinα=35,α∈π2,π,
所以cosα=-45,
所以tanα=-34.
又由于tan(π-β)=12,
所以tanβ=-12,
所以tan2β=2tanβ1-tan2β=-43,
所以tan(α-2β)=tanα-tan2β1+tanαtan2β
=-34--431+-34×-43=724.
【方法技巧】条件求值的一般思路
(1)先化简所求式子或所给条件.
(2)观看已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
8.【思路点拨】画出可行域及目标函数图象,观看确定经过的点可解.
B　在坐标平面内画出不等式组

2x-y≥0,y≥x,y≥-x+b,表示的大致平面区域,在坐标平面内平移直线2x+y=0,留意到当直线平移到经过直线2x-y=0与y=-x+b的交点时,目标函数z=2x+y取得最小值,再结合z=2x+y的最小值为3,分析确定b=94.
9.C　f(x)=a·b+32=(sinx,
-cosx)·(cosx,3cosx)+32
=sinxcosx-3cos2x+32
=12sin2x-32(cos2x+1)+32
=12sin2x-32cos2x
=sin2x-π3.
由于0≤x≤π2,
所以-π3≤2x-π3≤2π3,
所以-32≤sin2x-π3≤1,
即f(x)的值域为-32,1.
10.【思路点拨】求出数列{an}的公比,由等比数列的性质得到m,n的关系式,再利用常值代换,运用基本不等式求最值.
D　设{an}的公比为q,则有a5q2=a5q+2a5,即q2-q-2=0,解得q=2(q=-1舍去).
由am·an=4a1可得
am·an=16a12=(a1·q2)2=a32,
所以m+n=6.
于是1m+4n
=16(m+n)1m+4n
=165+nm+4mn≥32,当且仅当nm=4mn,即m=2,n=4时,1m+4n取最小值32.
11.【解析】由题意可知Δ=a2-16>0,得a<-4或a>4.
答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)
12.【思路点拨】p是q的充分不必要条件等价于q是p的充分不必要条件.
【解析】由题知,q是p的充分不必要条件,p:a-4<x<a+4,命题q:2<x<3,则a-4≤2,a+4≥3,且不等式中的等号不能同时成立,所以-1≤a≤6.
答案:[-1,6]
13.【解析】不等式可化为x2-1>k(x-1),由于x∈(1,2),所以x-1>0,于是x+1>k,当x∈(1,2)时,x+1∈(2,3),因此k的取值范围是k≤2.
答案：k≤2
14.【解析】依题意知tanα=t2+14t=t+14t,由于t>0,
所以t+14t≥2t·14t=1,
当且仅当t=14t,即t=12时,tanα取最小值1.
答案：1
15.【解析】平均速度为v(t)=st=0.2t2-14t+2 000t
=0.2t+2 000t-14≥20.2t·2 000t-14=2×20-14=26(米/分钟),当且仅当0.2t=2 000t,即t=100分钟时,v(t)取得最小值.
答案：26
16.【思路点拨】关键是求出平面区域被圆截得的弧所对应的圆心角的弧度数,可以依据边界直线的斜率得到倾斜角,再求出圆心角的大小.
【解析】画出可行域如图,依题意可知,
tan∠AOx=12,tan∠BOx=13,于是tan∠AOB=12+131-12×13=1,因此∠AOB=π4.
又圆的半径等于2,所以弧长l=π4×2=π2.

所以S=12lR=12×π2×2=π2.
答案：π2
17.【解析】画出分段函数的图象,

函数无最小值,在R上单调性不单一,故①②错误;③正确;y=f(x),y=a有三个不同的交点,故0<a<1,④正确;函数y=|f(x)|的图象是将y=f(x)的图象中x轴下方的翻折上去,但在x<0和x>2上的图象不对称,故⑤错误.
答案：③④
18.【解析】(1)由于f(x)=2sinωxcosωx·cosπ6-sinωx·sinπ6+12
=3sinωxcosωx-sin2ωx+12
=32sin2ωx-12·(1-cos2ωx)+12
=sin2ωx+π6,
又f(x)的最小正周期T=2π2ω=4π,且ω>0,所以ω=14.
(2)由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得
2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C).
又A+B+C=π,
故2sinBcosA=sinB.
而sinB≠0,故cosA=12.
又A∈(0,π),故A=π3.
由(1)得f(x)=sinx2+π6,
从而f(A)=sinπ3×12+π6
=sinπ3=32.
【加固训练】
已知函数f(x)=2cosxsinx+π3-3sin2x+sinxcosx+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)求函数f(x)的最大值及最小值.
【解析】f(x)=
2cosx12sinx+32cosx-3sin2x+sinxcosx+1
=2sinxcosx+3(cos2x-sin2x)+1
=sin2x+3cos2x+1
=2sin2x+π3+1.
(1)函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
(2)由于-1≤sin2x+π3≤1,
所以-1≤2sin2x+π3+1≤3,
所以当2x+π3=π2+2kπ,k∈Z,
即x=π12+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值3.
当2x+π3=-π2+2kπ,k∈Z,
即x=-5π12+kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值-1.
19.【解析】(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点(x,y),它关于点12,-12对称的点的坐标为(1-x,-1-y).
由已知得y=-aax+a,
则-1-y=-1+aax+a=-axax+a,
f(1-x)=-aa1-x+a
=-aaax+a=-a·axa+a·ax
=-axax+a,
所以-1-y=f(1-x),
即函数y=f(x)的图象关于点12,-12对称.
(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x),
即f(x)+f(1-x)=-1.
所以f(-2)+f(3)=-1,
f(-1)+f(2)=-1,
f(0)+f(1)=-1.
则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+
f(2)+f(3)=-3.
20.【解析】(1)由已知xy=3000,2a+6=y,
则y=3 000x(6<x<500).
S=(x-4)a+(x-6)a
=(2x-10)a
=(2x-10)·y-62
=(x-5)(y-6)
=3030-6x-15 000x(6<x<500).
(2)S=3030-6x-15 000x
≤3030-26x·15 000x
=3030-2×300=2430(平方米),
当且仅当6x=15 000x,即x=50时,“=”成立,
此时x=50,y=60,Smax=2430.
即设计x=50米,y=60米时,运动场地面积最大,最大值为2430平方米.
21.【思路点拨】(1)利用等差数列定义证明.
(2)利用错位相减法求和.
【解析】(1)设bn=an-12n,
所以b1=5-12=2,
则bn+1-bn=an+1-12n+1-an-12n
=12n+1·[(an+1-2an)+1]
=12n+1[(2n+1-1)+1]=1.
所以数列an-12n是首项为2,公差为1的等差数列.
(2)由(1)知,an-12n=2+(n-1)×1,
所以an=(n+1)·2n+1.
由于Sn=(2·21+1)+(3·22+1)
+…+(n·2n-1+1)+[(n+1)·2n+1]
=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n+n.
设Tn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,　①
2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,　②
②-①,得
Tn=-2·21-(22+23+…+2n)+(n+1)·2n+1
=-4-4-2n+11-2+(n+1)·2n+1
=n·2n+1.
所以Sn=n·2n+1+n=n·(2n+1+1).
22.【解析】由于a=(-3,1),b=12,32,
所以a·b=0,
|a|=2,|b|=1,f(x)=c·d=·(cos2xa+sinxb)
=14cos2xa2+14sinx+mcos2xa·b+msinxb2
=cos2x+msinx.
(1)当m=2时,
f(x)=cos2x+2sinx=1-sin2x+2sinx=-(sinx-1)2+2.
由于-1≤sinx≤1,
所以sinx=-1时,
ymin=-2,sinx=1时,ymax=2,
所以y=f(x)的取值范围是[-2,2].
(2)g(x)=f(x)-m2+2m+5=cos2x+msinx-m2+2m+5
=1-sin2x+msinx-m2+2m+5
=-sinx-m22-34m2+2m+6.
①当m2<-1,即m<-2时,g(x)max=-m2+m+5,由-m2+m+5=2,得m=1±132(舍去).
②当-1≤m2≤1,即-2≤m≤2时,
g(x)max=-34m2+2m+6,
由-34m2+2m+6=2得m=-43或m=4(舍去).
③当m2>1,即m>2时,
g(x)max=-m2+3m+5,
由-m2+3m+5=2,得m=3+212或m=3-212(舍去).
综上所述,存在m=-43或m=3+212,使得y=g(x)有最大值为2.
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