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第七节 数学归纳法
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
解析 总项数为n2－n＋1，f(2)＝＋＋.故选D.
答案 D
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析 1＋＋＋…＋＝>，
整理得2n>128，解得n>7.∴初始值至少应取8.
答案 B
3．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)的过程中，其次步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )
A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2
B．1＋3＋5＋…＋(2k＋3)＝(k＋2)2
C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2
D．1＋3＋5＋…＋(2k＋3)＝(k＋3)2
解析 当n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＋(2k＋3)＝(k＋1)2＋(2k＋3)＝(k＋2)2.
答案 B
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
解析 由于当n＝k时命题成立可推出n＝k＋1时成立，所以n＝5时命题不成立，则n＝4时命题也肯定不成立．
答案 C
5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，
得S2＝2(2×2－1)a2，
即a1＋a2＝6a2.
∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，同理可得a4＝.
答案 C
6．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )
A．6＋6·7k B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)
解析 (1)当k＝1时，明显只有3(2＋7k)能被9整除．
(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
这就是说，k＝n＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，命题对任意k∈N*都成立．故选D.
答案 D
二、填空题
7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当其次步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
解析 ∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．
答案 2k＋1
8．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系是__________．
解析 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
答案 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
9．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为__________，由此猜想Sn＝__________.
解析 由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，得2Sn＋1＝Sn＋2S1，
∵S1＝a1＝1，∴2Sn＋1＝Sn＋2.
令n＝1，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3，∴S2＝.
同理，分别令n＝2，n＝3，可求得S3＝，S4＝.
由S1＝1＝，S2＝＝，S3＝＝，
S4＝＝，猜想Sn＝.
答案 ，，
三、解答题
10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝×1×(4－1)＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)．
则当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2
＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋4k2＋4k＋1
＝k[4(k＋1)2－1]－k·4(2k＋1)＋4k2＋4k＋1
＝k[4(k＋1)2－1]＋(12k2＋12k＋3－8k2－4k)
＝k[4(k＋1)2－1]＋[4(k＋1)2－1]
＝(k＋1)[4(k＋1)2－1]．
即当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式都成立．
11．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，
∴a3＝.
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，
∴a4＝.
由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝，
那么n＝k＋1(k≥1且k∈N*)时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak
＝2＋ak－ak＋1.
∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝.
∴ak＋1＝，
由①②可知，对n∈N*，an＝都成立．
1．对于不等式<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即<k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析 在n＝k＋1时，没用n＝k时的假设，不是数学归纳法．∴从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．
答案 D
2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N*)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )
A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．34·34k＋1＋52·52k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
解析 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34·34k＋1＋52·52k＋1
＝(56＋25)·34k＋1＋52·52k＋1
＝56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．
答案 A
3．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n是自然数)
解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.
答案 4 n2－n＋2
4．(2022·陕西卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．
(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解 由题设得，g(x)＝(x≥0)．
(1)由已知得，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．
②假设n＝k时结论成立，
即gk(x)＝.
那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝.即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N*成立．
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，
即ln(1＋x)≥恒成立．
设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，
即φ′(x)＝－＝，
当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，
∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，
∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．
当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立，
综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．
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