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3.6 力的合成
[目标定位] 1.知道合力、分力，以及力的合成的概念.2.理解平行四边形定则是一切矢量合成的普遍法则，会用平行四边形定则求合力，知道分力与合力间的大小关系.3.知道共点力的概念，会用作图法、计算法求合力．
一、合力与分力
当一个物体受到几个力的共同作用时，我们经常可以求出一个力产生的效果跟原来几个力的共同作用效果相同，这个力叫做那几个力的合力，原来的几个力叫做分力．
想一想：
一个大人能够提起一桶水，两个小孩用力也可以提起这桶水．那么大人用的力和两个小孩用的力有什么关系？哪个是合力？哪些是分力？
答案 效果相同，可以等效替代；大人的力是两个小孩作用力的合力，两个小孩的作用力是分力．
二、力的合成
1．定义：求几个力的合力的过程叫做力的合成．
2．平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向．这个法则叫做平行四边形定则．
3．多力合成的方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把全部的力都合成进去，最终得到的结果就是这些力的合力．
想一想：
两个力的合力肯定大于其中任意一个分力的大小吗？
答案 不肯定；合力可以大于分力，也可以小于分力，比如：两个反向的大小相等的力，其合力为零，小于每一个分力．
三、共点力
假如一个物体受到两个或更多力的作用，有些状况下这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们的延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力．
想一想：
共点力肯定是作用在同一物体上吗？肯定作用在同一点吗？
答案 只有作用在同一物体上的力才可能是共点力，所以共点力肯定作用在同一物体上；但是不肯定作用在同一点，也可能是力的延长线交于一点.
一、力的合成
1．对合力和分力的理解
(1)等效性：合力与分力产生的效果相同，可以等效替代．
(2)同体性：各个分力是作用在同一物体上的．作用在不同物体上的力不能求合力．
图361
2．力的合成遵循平行四边形定则
力的合成遵守平行四边形定则如图361，F即表示F1与F2的合力．
3．合力和分力的大小关系
(1)两分力大小不变时，合力F随θ的增大而减小，随θ的减小而增大．
(2)当θ＝0时，F有最大值，Fmax＝F1＋F2；当θ＝180°时，F有最小值，Fmin＝|F1－F2|，合力大小的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
(3)合力F既可以大于，也可以等于或小于任意一个分力．
例1 两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F.以下说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小
B．合力F可能比任何一个分力都小
C．合力F总比任何一个分力都大
D．假如夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必定增大
解析 若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A错误；由力的合成方法可知，两力合力的范围|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，所以合力有可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两个分力都相等，故B正确，C错误；假如夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力可能增大，可能减小，如图所示，故D错误．
答案 B
二、合力的计算方法
求共点力的合力一般有两种方法：
1．作图法
作图法就是依据平行四边形定则作出标准的平行四边形，然后依据图形用测量工具确定出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
→→
→
留意：在同一个图上的各个力，必需接受同一标度，并且所选力的标度的比例要适当．
2．计算法
可以依据平行四边形定则作出力的示意图，然后由几何关系求解对角线，其长度即为合力大小．
图362
(1)相互垂直的两个力的合成(即α＝90°)：F合＝，F合与F1的夹角的正切值tan β＝，如图362所示．
(2)两个等大的力的合成：平行四边形为菱形，利用其对角线相互垂直平分的特点可解得F合＝2Fcos ，如
图364
图363所示．
图363
若α＝120°，则合力大小等于分力大小(如图364所示)．
例2 物体只受两个力F1和F2的作用，F1＝30 N，方向水平向左，F2＝40 N，方向竖直向下．求这两个力的合力F.
解析 解法一 图解法
取单位长度为10 N的力，则分别取3个单位长度、4个单位长度，自O点引两条有向线段OF1和OF2分别表示力F1、F2.以OF1和OF2为两个邻边，作平行四边形如图所示，则对角线OF就是所求的合力F.量出对角线的长度为5个单位长度，则合力的大小F＝5×10 N＝50 N．用量角器量出合力F与分力F1的夹角θ为53°，方向斜向左下．
解法二 计算法
实际上是先运用数学学问，再回到物理情景中．在如图所示的平行四边形中，△OFF1为直角三角形，依据直角三角形的几何关系，可以求得斜边OF的长度和OF与OF1间的夹角，将其转化为物理问题，就可以求出合力F的大小和方向，则F＝＝50 N，tan θ＝＝，θ为53°，合力F与F1的夹角为53°，方向斜向左下．
答案 50 N，方向与F1的夹角为53°斜向左下
图365
针对训练 水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图365所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)( )
A．50 N
B．50 N
C．100 N
D．100 N
解析 重物处于静止状态，所以悬挂重物的绳的张力是FT＝mg＝100 N
对绳B点受力分析：
滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力，
因同一根绳张力处处相等，即F1＝F2＝100 N.
用平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则有合力F＝100 N，所以滑轮受绳的作用力为100 N．方向与水平方向成30°角斜向下，故选C.
答案 C
三、共点力及其平衡
图366
1．共点力：几个力同时作用在同一点上或者它们的延长线交于一点．有时物体受多个力作用，但是这些力不肯定是共点力，比如：人挑扁担时，扁担受到的三个力不是共点力．
2．平衡状态：物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动的状态，我们说这个物体处于“平衡状态”．
3．平衡条件：合外力等于0，即F合＝0.
4．推论
(1)若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力肯定等大、反向，是一对平衡力．
(2)若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
(3)若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等大、反向．
(4)三个分力的合力大小范围的确定
①最大值：当三个力同向时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：a.若其中两个较小分力之和(F1＋F2)大于等于第三个分力F3时，合力的最小值为零，即Fmin＝0；b.若其中两个较小分力之和(F1＋F2)＜F3时，合力的最小值Fmin＝F3－(F1＋F2)．
③合力的取值范围Fmin≤F≤Fmax.
例3 已知一个物体受到100个力的作用处于静止状态，现把其中一个大小为8 N的力转过90°，其余的力不变，求此时物体的合力．
解析 物体受到100个力的作用而处于静止状态时，合力为零，其中一个大小为8 N的力与其余99个力的合力大小相等，方向相反，即99个力的合力大小为8 N，方向与8 N的力相反．将8 N的力的方向转过90°时，与其余99个力的合力的夹角为90°，依据平行边形定则得到，物体的合力为F合＝8 N.
答案 8 N
图367
例4 如图367所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角为45°，日光灯保持水平，所受重力为G，左右两绳的拉力大小分别为( )
A．两绳对日光灯的合力大小为G
B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小分别为G和G
D．两绳的拉力大小分别为G和G
解析 两绳的拉力的作用线与重力的延长线交于一点，这三个力为共点力，B错误；对日光灯受力分析如图所示，
由平衡条件知，两绳拉力F1和F2的合力与重力等大反向．由力的矢量三角形知2Fsin 45°＝G，解得F＝G，A、C正确，D错误．
答案 AC
合力与分力的关系 力的合成
1．关于两个大小不变的力F1、F2及它们的合力F，下列说法中正确的是( )
A．合力F肯定与F1、F2共同作用产生的效果相同
B．两力F1、F2肯定是同一个物体受到的力
C．两力F1、F2与F是物体同时受到的三个力
D．F大小随F1、F2间夹角的增大而增大
解析 只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成．合力是对原来几个分力的等效替代，两力可以是不同性质的力，但合力与分力不能同时存在．所以，A、B正确，C错误．合力随两分力间夹角的增大而减小，D错误．
答案 AB
2．两个共点力的大小分别为F1＝6 N，F2＝10 N，则它们的合力可能为( )
A．3 N B．5 N C．10 N D．20 N
解析 两个力的合力最大值Fmax＝F1＋F2＝16 N，最小值为Fmin＝F2－F1＝4 N，F1与F2的合力范围为4 N≤F12≤16 N，故B、C正确．
答案 BC
合力的计算方法
3．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们之间的夹角为90°时合力的大小为20 N，则当它们之间夹角为120°时，合力的大小为( )
A．40 N B．10 N C．20 N D．10 N
解析 设F1＝F2＝F，当它们之间的夹角α＝90°时，如图甲所示，由画出的平行四边形(为正方形)得合力为
F合＝＝＝F.
所以F＝F合＝×20 N＝10 N.
当两分力F1和F2之间夹角变为β＝120°时，同理画出平行四边形，如图乙所示．由于平行四边形的一半为一等边三角形，因此其合力F′＝F1＝F2＝10 N.
答案 B
共点力及其平衡
4．小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图368所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是( )
图368
A．当θ为120°时，F＝G
B．不管θ为何值，F＝
C．当θ＝0时，F＝
D．θ越大，F越小
解析 由力的合成可知，两分力相等时，θ＝120°，F合＝F分＝G，θ＝0时，F分＝F合＝，故A、C对，B错．θ越大，在合力肯定时，分力越大，故D错．
答案 AC
(时间：60分钟)
题组一 合力与分力 力的合成
1．下列物理量在运算时不遵循平行四边形定则的有( )
A．时间 B．位移 C．速度 D．加速度
解析 时间是标量，位移、速度、加速度是矢量，矢量的运算遵循平行四边形定则，故选A.
答案 A
2．关于合力，下列说法正确的是( )
A．几个力的合力就是这几个力的代数和
B．几个力的合力肯定大于这几个力中的任何一个力
C．几个力的合力可能小于这几个力中最小的力
D．几个力的合力可能大于这几个力中最大的力
解析 力是矢量，力的合成不能简洁的进行代数加减，故A错误；合力可以大于分力，可以等于分力，也可以小于分力，故B错误，C、D正确．
答案 CD
3．如图369所示，吊床用绳子拴在两棵树上等高位置．某人先坐在吊床的中间，后躺在吊床上并尽量伸直躯体，两种状况下人都处于静止状态．设吊床两端系绳中的拉力为F1、吊床对该人的作用力为F2，则下面推断正确的是( )
图369
A．坐着比躺着时的F1大，坐着比躺着时的F2大
B．坐着比躺着时的F1大，躺着与坐着时的F2相等
C．躺着比坐着时的F1大，躺着比坐着时的F2大
D．躺着比坐着时的F1大，坐着与躺着时的F2相等
解析 吊床对人的作用力与重力等值反向，所以躺着和坐着时，F2相等．坐在吊床上时，吊床两端绳的拉力与竖直方向上的夹角较大，合力肯定，夹角越大，绳子的拉力越大，所以坐着比躺着时的F1大．B正确．
答案 B
4．已知两个力的合力为20 N，则这两个力的大小不行能是( )
A．8 N、7 N B．10 N、20 N
C．18 N、18 N D．20 N、28 N
解析 依据两个力的合力范围满足|F1－F2|≤F≤F1＋F2关系，所以合力不行能为20 N的一组为A.
答案 A
题组二 合力的计算方法
5．一个重为20 N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F＝5 N的力竖直向上拉该物体时，物体受到的合力为( )
A．15 N B．25 N C．20 N D．0
解析 由于物体的重力大于拉力，则地面对物体有支持力．对物体，所受三个力的合力必为零．
答案 D
6．如图3610所示为两个共点力的合力F随两分力的夹角θ变化的图象，则这两个分力的大小分别为( )
图3610
A．1 N和4 N B．2 N和3 N
C．1 N和5 N D．2 N和4 N
解析 由题图知，两力方向相同时，合力为5 N．即F1＋F2＝5 N；方向相反时，合力为1 N，即|F1－F2|＝1 N．故F1＝3 N，F2＝2 N，或F1＝2 N，F2＝3 N，B正确．
答案 B
7．在图3611中，给出六个力F1、F2、F3、F4、F5、F6，它们作用于同一点O，大小已在图中标出．相邻的两个力之间的夹角均为60°，它们的合力大小为________N，方向为________．
图3611
解析 依据多个力求合的步骤，先将F1与F4、F2与F5、 F3与F6合成，三组力的合力均为20 N，如图所示：
依据两个相等的互成120°的力的合力大小等于分力的大小，方向沿其角平分线，故可知六个力的合力为40 N，方向与F6相同．
答案 40 与F6同向
图3612
8．如图3612所示，在动摩擦因数为0.1的水平面上向右运动的物体，质量为20 kg，在运动过程中，还受到一个水平向左、大小为10 N的拉力F作用，则物体受到的合力为(g＝10 N/kg)( )
A．10 N，向右 B．30 N，向左
C．30 N，向右 D．20 N，向左
解析 物体的受力如图所示，则合力F合＝F＋Ff＝F＋μFN＝F＋μmg＝30 N，方向向左，故B对，A、C、D都错．
答案 B
9．两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为F.假如它们的夹角为60°时，合力为多大？
解析 当F1和F2的夹角为90°时且F1＝F2，
此时F＝＝F1，即F1＝F.
当F1和F2的夹角为60°时，作力的合成的平行四边形如图所示，合力F′是平行四边形的对角线，则
F′＝2F1cos 30°＝F.
答案 F
题组三 共点力及其平衡
10．如图3613为节日里悬挂灯笼的一种方式，A、B两点等高，O为结点，轻绳AO、BO长度相等，拉力分别为FA、FB，灯笼受到的重力为G.下列表述正确的( )
图3613
A．FA肯定小于G
B．FA与FB大小相等
C．FA与FB是一对平衡力
D．FA与FB大小之和等于G
解析 由等高等长知，左右两个拉力大小相等，B正确．绳子与竖直方向夹角不确定，所以拉力与重力的大小无法确定，A错误；FA与FB矢量之和等于G，不是大小之和，D错误；这两个力的矢量和与重力是平衡力，C错误．
答案 B
11．同一物体在下列几组共点力作用下可能处于静止状态的是( )
A．3 N、4 N、5 N B．3 N、5 N、9 N
C．4 N、6 N、11 N D．5 N、6 N、12 N
解析 处于静止状态的物体所受到的合力为零，依据三个共点力的合力范围可知：3 N、4 N、5 N的合力范围是0≤F合≤12 N，故A可能；3 N、5 N、9 N的合力范围是1 N≤F合≤17 N，故B不行能；4 N、6 N、11 N的合力范围是1 N≤F合≤21 N，故C不行能；5 N、6 N、12 N的合力范围是1 N≤F合≤23 N，故D不行能．
答案 A
12．用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图3614所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为( )
图3614
A.mg，mg B.mg，mg
C.mg，mg D.mg，mg
答案 A
13．如图3615所示，物体A、B都处于静止状态，其质量分别为mA＝5 kg，mB＝10 kg，OB呈水平，OP与竖直方向成45°角．(g取10 m/s2)求：
图3615
(1)三根细绳OP、OA、OB的拉力分别为多大？
(2)物体B与桌面间的摩擦力为多大？
解析 (1)先以A为争辩对象，
可得拉力TOA＝mAg＝50 N
再以结点为争辩对象，进行受力分析，如图所示：
由几何关系可知，TOB＝TOA＝50 N；TOP＝＝TOA＝50 N.
(2)对物体B受力分析，
依据平衡条件B受桌面对它的摩擦力f＝TOB＝50 N.
答案 (1)50 N 50 N 50 N (2)B与桌面间的摩擦力为50 N
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