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单元质量评估(二)
其次章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·南昌高一检测)·等于( )
A.- B.- C. D.
2.函数y=(m2+2m-2)是幂函数,则m=( )
A.1 B.-3 C.-3或1 D.2
3.(2021·赣州高一检测)设y1=40.9,y2=lo4.3,y3=()1.5,则( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
4.已知log2m=2.013,log2n=1.013,则等于( )
A.2 B. C.10 D.
5.函数f(x)=+lg(2x+1)的定义域为( )
A.(-5,+∞) B.[-5,+∞)
C.(-5,0) D.(-2,0)
6.(2021·荆州高一检测)已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )
7.下列函数中,图象关于y轴对称的是( )
A.y=log2x B.y=
C.y=x|x| D.y=
8.下列各函数中,值域为(0,+∞)的是( )
A.y= B.y=
C.y=x2+x+1 D.y=
9.(2021·杭州高一检测)x=+的值属于区间( )
A.(-3,-2) B.(-2,-1)
C.(-1,0) D.(2,3)
10.设函数f(x)=已知f(a)>1,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,1)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
11.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若a=f(lo),b=f(lo),c=f(-2),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
12.(2021·临汾高一检测)若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈[-2,-1]即为“同族函数”.下面的函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是( )
A.y=x B.y=2x
C.y=|x-3| D.y=lox
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.已知=(a>0),则loa= .
14.(2021·洛阳高一检测)若函数f(x)=(3-a)x与g(x)=logax的增减性相同,则实数a的取值范围是 .
15.(2021·邵阳高一检测)如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lox,y=,y=()x的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为 .
16.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2-x1,已知函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算下列各题:
(1)0.008+()2+(-16-0.75.
(2)(lg5)2+lg2·lg50+.
18.(12分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),
(1)求函数f(x)的解析式及定义域.
(2)求f(14)÷f()的值.
19.(12分)(2021·克拉玛依高一检测)已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2ax-5在区间[-1,2]的最大值为10,求a的值.
20.(12分)(2021·襄阳高一检测)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1+2x.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)画出函数f(x)的图象.
(3)写出函数f(x)单调区间及值域.
21.(12分)设f(x)=
(1)求f(log2)的值.
(2)求f(x)的最小值.
22.(12分)(力气挑战题)已知函数f(x)的定义域是(-1,1),对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(),且当x<0时,f(x)>0.
(1)验证函数g(x)=ln,x∈(-1,1)是否满足上述这些条件.
(2)你发觉这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质?试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来,并加以证明.
答案解析
1. 【解析】选A.由题意得-a≥0,所以a≤0.
·=-(-a·(-a
=-(-a=-.
2.【解析】选B.由于函数y=(m2+2m-2)是幂函数,所以m2+2m-2=1且m≠1,解得m=-3.
3.【解析】选D.由于y1=40.9>40=1,
y2=lo4.3<lo1=0,
0<y3=()1.5<()0=1,所以y1>y3>y2.
【变式备选】(2021·广州高一检测)下列各式正确的是( )
A.43<33 B.log0.54<log0.56
C.()-3<()3 D.lg1.6>lg1.4
【解析】选D.由于函数y=x3在R上是增函数,
所以43>33,23>()3,即()-3>()3,故A,C错误.
由于函数y=log0.5x在(0,+∞)上是减函数,所以log0.54>log0.56,故B错误.
由于函数y=lgx在(0,+∞)上是增函数,lg1.6>lg1.4,故D正确.
4.【解析】选B.∵log2m=2.013,log2n=1.013,
∴m=22.013,n=21.013,∴==.
5.【解析】选A.由于所以x>-5,
函数f(x)的定义域是(-5,+∞).
6.【解析】选C.由于f(x)是函数y=log2x的反函数,所以f(x)=2x,y=f(1-x)=21-x=()x-1,其函数图象可由函数y=()x的图象向右平移1个单位得到,故选C.
7. 【解析】选D.由于y==是偶函数,
所以其图象关于y轴对称.
8. 【解析】选A.A,y==()x的值域为(0,+∞).
B,由于1-2x≥0,所以2x≤1,x≤0,
y=的定义域是(-∞,0],
所以0<2x≤1,所以0≤1-2x<1,
所以y=的值域是[0,1).
C,y=x2+x+1=(x+)2+的值域是[,+∞),
D,由于∈(-∞,0)∪(0,+∞),
所以y=的值域是(0,1)∪(1,+∞).
【误区警示】解答本题对于选项D简洁忽视指数≠0,而误认为函数y=的值域是(0,+∞).
9.【解析】选B.x=+
=+=+
=log32-log311=log3.
又∵<<,
∴log3<log3<log3,即-2<log3<-1,
所以x∈(-2,-1).
【变式备选】(2021·承德高一检测)已知log53=a,log54=b,则log2512是( )
A.a+b B.(a+b)
C.ab D.ab
【解析】选B.log2512==
=(log53+log54)=(a+b).
10.【解析】选B.(1)当a≤0时,f(a)>1可化为()a-3>1,()a>()-2,所以a<-2.
(2)当a>0时,f(a)>1可化为>1所以a>1,
综上知a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).
11.【解析】选C.由于lo<lo<lo2=2,
0<lo<lo=1,
所以lo<lo<2.
由于f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(lo)<f(lo)<f(2),
由于f(x)是偶函数,所以
a=f(lo)=f(-lo)=f(lo),
b=f(lo)=f(-lo)=f(lo),
c=f(-2)=f(2).所以c>a>b.
12.【解析】选C.A,B,D中的函数在其定义域上都是单调函数,解析式相同,定义域不同时,值域必定不同.对于C中的函数,由于函数y=|x-3|,x∈[1,2]与函数y=|x-3|,x∈[4,5]的解析式相同,定义域不同,值域都是[1,2],所以是“同族函数”.故选C.
13.【解析】∵=(a>0),
∴()2=[()2]2,即a=()4,
∴loa=lo()4=4.
答案:4
14.【解析】由题意得或
所以1<a<2.所以实数a的取值范围是(1,2).
答案:(1,2)
15.【解析】由图象可知,点A(xA,2)在函数y=lox的图象上,
所以2=loxA,xA=()2=.
点B(xB,2)在函数y=的图象上,
所以2=,xB=4.
点C(4,yC)在函数y=()x的图象上,
所以yC=()4=.又xD=xA=,yD=yC=,
所以点D的坐标为(,).
答案:(,)
16.【解析】作出函数y=2|x|的图象(如图所示)
当x=0时,y=20=1,
当x=-1时,y=2|-1|=2,
当x=1时,y=21=2,
所以当值域为[1,2]时,区间[a,b]的长度的最大值为2,最小值为1,它们的差
为1.
答案:1
【拓展提升】巧用图象解题
函数的图象与性质是一一对应的,在解函数问题时,经常用到函数的图象,这体现了一种思想方法——数形结合,“数”是函数的特征,它精确、量化、具有说服力;而“形”是函数的图象,它形象、直观,能降低思维难度,简化解题过程.
17.【解析】(1)原式=(0.34++-24×(-0.75)=0.3+2-3+2-2-2-3
=0.55.
(2)原式=(lg5)2+lg2·lg(2×52)+2·
=(lg5)2+lg2·(lg2+2lg5)+2
=(lg5+lg2)2+2=1+2.
18.【解析】(1)∵函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),
∴即
∴解得
∴f(x)=log3(2x-1),定义域为(,+∞).
(2)f(14)÷f()=log327÷log3
=3÷=6.
【变式备选】已知函数f(x)=2x+2ax+b,且f(1)=,f(2)=.
(1)求a,b.
(2)推断f(x)的奇偶性.
【解析】(1)由于f(1)=,f(2)=,
所以即
解得a=-1,b=0.
(2)由(1)知f(x)=2x+2-x,其定义域是R.
又由于f(-x)=2-x+2x=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
19.【解析】当0<a<1时,f(x)在[-1,2]上是减函数,
当x=-1时,函数f(x)取得最大值,则由2a-1-5=10,得a=,
当a>1时,f(x)在[-1,2]上是增函数,
当x=2时,函数取得最大值,则由2a2-5=10,
得,a=或a=-(舍),
综上所述,a=或.
20.【解析】(1)由于y=f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-0)=-f(0),所以f(0)=0,
由于x<0时,f(x)=1+2x,
所以x>0时,f(x)=-f(-x)=-(1+2-x)=-1-,所以f(x)=
(2)函数f(x)的图象为
(3)依据f(x)的图象知:
f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);
值域为{y|1<y<2或-2<y<-1或y=0}.
21.【解题指南】(1)要留意log2与1的大小关系和=N的应用.
(2)要留意分段函数要在x∈(-∞,1]和x∈(1,+∞)时分别求最小值并取其中最小的为函数的最小值.当x∈(1,+∞)时,求最小值要留意利用换元法先求t=log3x的范围,再求f(x)的最小值.
【解析】(1)由于log2<log22=1,
所以f(log2)===.
(2)当x∈(-∞,1]时,f(x)=2-x=()x在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(1)=.
当x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2),
令t=log3x,则t∈(0,+∞),
f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t-)2-,
所以f(x)的最小值为g()=-.
综上知,f(x)的最小值为-.
22.【解析】(1)由于g(x)+g(y)=ln+ln
=ln(·)=ln,
g()=ln=ln,
所以g(x)+g(y)=g()成立,
又当x<0时,1-x>1+x>0,∴>1,
∴g(x)=ln>0成立,
综上g(x)=ln满足这些条件.
(2)发觉这样的函数f(x)在(-1,1)上是奇函数,由于x=y=0代入条件得,f(0)+f(0)=f(0),
所以f(0)=0,
由于y=-x代入条件得,f(x)+f(-x)=f(0)=0⇒f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)在(-1,1)上是奇函数.
又发觉这样的函数f(x)在(-1,1)上是减函数.
由于f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f().
当-1<x<y<1时,<0,由条件知
f()>0,即f(x)-f(y)>0⇒f(x)>f(y),
所以函数f(x)在(-1,1)上是减函数.
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