2021届高考文科数学二轮复习提能专训17-直线与圆.docx

提能专训(十七)　直线与圆　
一、选择题
1．(2022·广州综合测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1　 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
答案：A
解析：圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，半径还是1.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
2．(2022·上海静安一模)“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互直垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝或m＝－2，因此应选B.
3．(2022·皖南八校联考)已知数列{an}是等差数列，且a2＝15，a5＝3，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为(　　)
A．4　　　B.　　　C．－4　　　D．－
答案：C
解析：设等差数列{an}的公差为d，由于a2＝15，a5＝3，所以a5＝a2＋3d＝15＋3d＝3，所以d＝－4，所以a3＝a2＋d＝11，a4＝a5－d＝7，即P(3,11)，Q(4,7)，所以kPQ＝＝－4.
4．(2022·浙江温州联考)对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上三个选项均有可能
答案：C
解析：直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心C(1,0)，半径为，而|AC|＝<，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交，故选C.
5．(2022·陕西五校联考)过P(2,0)的直线l被圆(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为(　　)
A．± B．± C．±1 D．±
答案：A
解析：∵点P(2,0)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝9上，易知直线l的斜率存在，
∴可设直线l：y＝k(x－2)．圆心(2,3)到直线l的距离d＝＝，由d2＋12＝r2，得＋1＝9，解得k＝±.
6．(2022·山西高考信息优化卷)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
答案：A
解析：圆的半径为2，圆心(3,2)到直线kx－y＋3＝0的距离d＝＝.依题意得|MN|＝2≥2，∴d2≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1，即8k2＋6k≤0，解得－≤k≤0.
7．(2022·武汉五月模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
答案：A
解析：依题意C1(2,3)，C2(3,4)，C1关于x轴的对称点的坐标为C1′(2，－3)．当C1′，P，C2三点共线时，|PC1|＋|PC2|有最小值，其值为|C1′C2|＝＝5.又M，N分别是圆C1，C2上的动点，故|PM|＋|PN|的最小值应为5减去两圆的半径之和，从而得5－4.
8．(2022·河北保定一模)已知点A(－3,0)，B(0,3)，若点P在圆C：x2＋y2－2x＝0上运动，则△PAB面积的最小值为(　　)
A．6 B．6 C．6＋ D．6－
答案：D
解析：直线AB：x－y＋3＝0，圆C：(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)，半径r＝1.设与直线AB平行的方程为x－y＋m＝0，当直线x－y＋m＝0与圆C相切时，设切点为P，则这时△PAB的面积最小，由＝1，得m＝－1±.由题意知m＝－1.平行线间的距离即为△PAB的高，得＝2－1，所以△PAB的面积S＝|AB|×(2－1)＝×(2－1)＝×3×(2－1)＝6－.
9．(2022·北京朝阳一模)直线y＝x＋m与圆x2＋y2＝16交于不同的两点M，N，且||≥|＋|，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，－ ]∪[，2)
B．(－4，－2 ]∪[2，4)
C．[－2,2]
D．[－2，2]
答案：D
解析：设MN的中点为D，则＋＝2，||≥2||，
由||2＋||2＝16，得
16＝||2＋||2≥||2＋(2·||)2，
从而得||≤2，由点到直线的距离公式可得||＝≤2，解得－2≤m≤2.
10．(2022·广东揭阳一模)设点P是函数y＝－图象上任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为(　　)
A.－2 B.
C.－2 D.－2
答案：C
解析：将等式y＝－两边平方，得y2＝4－(x－1)2，即(x－1)2＋y2＝4.
由于y＝－ ≤0，故函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆，
设点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0.因此点Q是直线x－2y－6＝0上的动点，如图所示．

由于圆(x－1)2＋y2＝4的圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.故选C.
11．已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是(　　)
A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0
答案：A
解析：对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点P(2,3)．设圆心是C，则易知C(1,2)，所以kCP＝＝1，由垂径定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1.
又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.
12．圆心在曲线y＝(x>0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝25
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
答案：D
解析：设圆心坐标为C(a>0)，则半径r＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．
所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝，C(1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故选D.
二、填空题
13．(2022·江苏南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，则直线AB的方程为________．
答案：x＋y－3＝0
解析：由题意得圆心与点P连线垂直于AB，所以kAB·＝－1，kAB＝－1.而直线AB过点P，所以直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
14．(2022·江苏扬州中学月考)已知方程x2＋－＝0有两个不等实根a和b，那么过A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．
答案：相切
解析：由题意可知过A，B两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心到直线AB的距离为d＝而a＋b＝－，ab＝－，因此d＝，化简后得d＝1，故直线与圆相切．
15．(2022·上海崇明二模)已知圆O：x2＋y2＝c(0<c≤1)，点P(a，b)是该圆面(包括⊙O圆周及内部)上一点，则a＋b＋c的最小值等于________．
答案：－

解析：依题意可得a2＋b2≤c.令z＝a＋b＋c.所以a，b的关系如图所示．所以目标函数b＝－a＋z－c.所以当目标函数与圆相切且在圆下方时z最小．由圆心到直线的距离可得，z＝c－＝2－.
所以当且仅当c＝时，zmin＝－.
16．(2022·武汉武昌调研)已知过点M(－3,0)的直线l被圆x2＋(y＋2)2＝25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为________．
答案：x＝－3或5x－12y＋15＝0
解析：由于直线被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离d＝＝3.当直线斜率不存在时，恰好符合，此时直线l的方程为x＝－3；当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0，所以圆心(0，－2)到直线kx－y＋3k＝0的距离d＝＝3，解得k＝，所以直线l的方程为y＝(x＋3)，即5x－12y＋15＝0.
三、解答题
17．已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0，C2：x2＋y2－2y－4＝0交于A，B两点．
(1)求过A，B两点的直线方程；
(2)求过A，B两点且圆心在直线2x＋4y＝1上的圆的方程．
解：(1)联立两式相减并整理，得
x－y－1＝0，
∴过A，B两点的直线方程为x－y－1＝0.
(2)依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，其圆心坐标为，
由于圆心在直线2x＋4y＝1上，
所以2·＋4·＝1，解得λ＝.
∴所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
18．已知圆的方程是x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(2)在(1)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)由x2＋y2－2x－4y＋m＝0，得
D＝－2，E＝－4，F＝m，
∵D2＋E2－4F＝20－4m>0，
∴m<5，
联立
把x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
得5y2－16y＋8＋m＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
由OM⊥ON，得x1x2＋y1y2＝0，
∴5y1y2－8(y1＋y2)＋16＝0，
∴m＝.
(2)设圆心为(a，b)，
则a＝＝，b＝＝，
半径r＝|MN|＝＝，
圆的方程2＋2＝.
19．(2022·苏北四市一检)已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H.
(1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．
解：(1)线段AB的中垂线方程为x＝0，线段BC的中垂线方程为x＋y－3＝0.联立方程得外接圆的圆心H(0,3)，半径r＝.
故⊙H的方程为x2＋(y－3)2＝10.
设圆心H到直线l的距离为d，则
d＝＝3.
当直线l垂直于x轴时，其方程为x＝3，此时与⊙H的交点为(3,4)和(3,2)，得弦长为2，适合题意．
当直线不垂直于x轴时，可设l的方程为y－2＝k(x－3)，由圆心H到直线的距离d、半径、半弦长构成直角三角形，得
＝＝3.解得k＝.
此时直线l的方程为4x－3y－6＝0.
综上直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.
(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0.
设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，
∵点M是线段PN的中点，
∴M.
∵M，N都在半径为r的⊙C上，
∴
即
∵关于x，y的方程组有解，即以C(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m,4－n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，
∴(2r－r)2≤(m－3)2＋(n－2)2≤(2r＋r)2.
又∵3m＋n－3＝0，
∴r2≤10m2－12m＋10≤9r2.
而f(m)＝10m2－12m＋10＝102＋在[0,1]上的值域为，
故r2≤且9r2≥10.
又线段BH与圆C无公共点，
∴(m－3)2＋(3－3m－2)2>r2对任意m∈[0,1]恒成立，即r2<.因此得⊙C的半径的取值范围是.
20．(2022·郑州质检)已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线长相等)，动点C的轨迹为曲线M.
(1)求曲线M的方程；
(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．
解：(1)由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4>|AB|，
∴曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点)．
设曲线M：＋＝1(a>b>0，y≠0)，则2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴曲线M：＋＝1(y≠0)．
(2)留意到直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，如图．

设直线BC：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)．
由消x，得
(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
Δ＝36m2＋36(3m2＋4)>0.
y1＋y2＝－，y1y2＝－.
∵＝(my1＋2，y1)，
＝(my2＋2，y2)，
∴·＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4
＝－－＋4＝.
∵点A在以CD为直径的圆上，
∴·＝0，∴m＝±.
∴直线BC的方程为3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.