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双基限时练(二十八)
1．已知cosα＝－，且α∈，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵π<α<，∴<<，∴cos<0.
由cosα＝2cos2－1＝－，得cos2＝，
∴cos＝－.
答案 B
2．设α∈(π，2π)，则 等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析 ∵α∈(π，2π)，∴∈，∴cos<0.
∴ ＝ ＝|cos|
＝－cos.
答案 D
3．函数y＝8sinxcosxcos2x的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝4 B．T＝，A＝4
C．T＝π，A＝2 D．T＝，A＝2
解析 y＝8sinxcosxcos2x＝4sin2xcos2x＝2sin4x，
∴最小正周期T＝＝，最大值A＝2.
答案 D
4．若3sinα＋cosα＝0，则的值为( )
A. B.
C. D．－2
解析 ∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－.
＝
＝＝＝＝.
故应选择A.
答案 A
5．若f(x)＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是( )
A．最大值是9，最小值是－9
B．最大值不存在，最小值为7
C．最大值是7，最小值是－9
D．最大值是7，最小值不存在
解析 f(x)＝cos2x＋8sinx＝1－2sin2x＋8sinx
＝－2(sin2x－4sinx)＋1＝－2(sinx－2)2＋9.
∵x∈R，－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝1时，f(x)有最大值7；
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9.
答案 C
6．使f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在区间上是减函数的θ的一个值是( )
A．－ B.
C.π D.π
解析 f(x)＝2sin，当θ取－时，为奇函数，但在上递增；θ取和π时为非奇非偶函数；当θ取时，f(x)＝－2sin2x符合题意．
答案 C
7.2＋2sin2的值等于__________．
解析 原式＝1＋sinα＋2·
＝1＋sinα＋1－sinα
＝2.
答案 2
8．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－的最大值为________．
解析 y＝sin2x＋3×－
＝sin2x＋cos2x
＝sin≤ .
答案
9．化简：＝________.
解析 原式＝
＝＝tanA.
答案 tanA
10．若tanx＝，则＝________.
解析
＝＝
＝＝2－3.
答案 2－3
11．已知tan2θ＝－2，π<2θ<2π，求.
解 ＝＝，
∵tan2θ＝－2，∴＝－2.
∴tan2θ－tanθ－＝0.∴tan2θ－tanθ－1＝0.
∴tanθ＝或tanθ＝－.∵π<2θ<2π，
∴<θ<π，∴tanθ<0.
∴tanθ＝－.∴原式＝＝3＋2.
12.
如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，试求其外接矩形EFGH面积的最大值．
解 设∠CBF＝θ，则∠EAB＝θ，EB＝asinθ，BF＝bcosθ，AE＝acosθ，HA＝bsinθ，
所以S矩形EFGH＝(bsinθ＋acosθ)(bcosθ＋asinθ)＝b2sinθcosθ＋absin2θ＋abcos2θ＋a2sinθcosθ＝sin2θ＋ab.由|sin2θ|≤1，知当θ＝45°时，S矩形EFGH取得最大值为(a2＋b2)＋ab.
13．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin2α的值．
分析 (1)先利用余弦的二倍角公式和帮助角公式将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．再求解．
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．
解 (1)由已知f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos.
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(x)＝cos＝，
∴cos＝.
∴cosα－sinα＝，平方得1－sin2α＝.
∴sin2α＝.
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